新高考数学二轮复习专项训练27 最值、范围问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专项训练27 最值、范围问题（2份，原卷版+解析版），共8页。
一、最值问题
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法
一是几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
二、范围问题
范围问题的求解策略
解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，其方法有：
(1)利用判别式来构造不等式；
(2)利用已知参数的取值范围；
(3)利用隐含的不等关系；
(4)利用已知不等关系构造不等式；
(5)利用函数值域的求法．
一、单选题
1．（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（ ）
A．B．4C．6D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2023·山东烟台·二模）已知双曲线C经过点，且与椭圆有公共的焦点，点M为椭圆的上顶点，点P为C上一动点，则（ ）
A．双曲线C的离心率为B．
C．当P为C与的交点时，D．的最小值为1
4．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（ ）
A．若，则的面积为
B．使为直角三角形的点有6个
C．的最大值为
D．若，则的最大、最小值分别为和
三、填空题
5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为 .
6．（22-23高三上·安徽阜阳·期末）已知椭圆 C的焦点为 为 C 上一点满足，则C 的离心率取值范围是 ．
四、解答题
7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为12．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
8．（22-23高二下·浙江杭州·期末）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.

(1)求抛物线的标准方程.
(2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，.
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（ ）
A．5B．C．D．6
2．（21-22高二上·陕西西安·期末）已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
3．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点，记与的面积分别为和，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是（ ）
A．B．3C．6D．8
5．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（ ）
A．B．
C．1D．2
6．（21-22高二·江苏·假期作业）已知双曲线：，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的焦点到渐近线的距离为
C．与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线一定没有交点
D．若直线与双曲线没有交点，则的取值范围为
三、填空题
7．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若P是椭圆上一动点，，则的最大值为 ．
8．（2024·全国·模拟预测）已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为 .
9．（2023·浙江·一模）已知，分别是双曲线的左右焦点，且C上存在点P使得，则a的取值范围是 ．
四、解答题
10．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．
(1)求直线的斜率k的取值范围；
(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．
11．（2022·江苏盐城·三模）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
12．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，且当，时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)若，求面积的最小值．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（22-23高三上·山西·阶段练习）已知点F为抛物线C：的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为（ ）
A．64B．54C．50D．48
2．（2023·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（ ）
A．B．2C．4D．16
3．（2023·安徽蚌埠·一模）若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2022·河北唐山·二模）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．当n过时，光由所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若，直线PT与C相切，则
5．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1
B．的最小值为
C．若为直角三角形，则的面积为
D．的范围为
6．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，则（ ）
A．的最小值为8
B．为定值
C．若直线与双曲线相切，则点的纵坐标之积为；
D．若直线经过，且与双曲线交于另一点，则的最小值为.
三、填空题
7．（2023·辽宁·一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为 .
8．（21-22高二上·江西抚州·阶段练习）椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，，则的取值范围是 .
9．（2022高二上·全国·专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ．
四、解答题
10．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为12．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
11．（2023·广西柳州·二模）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同交点，且直线交轴于，直线交轴于.
(1)求直线斜率的取值范围；
(2)证明：存在定点，使得，且.
12．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.
(1)求的离心率；
(2)若△的重心为，点，求的最小值；
(3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程.
13．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
14．（2024·山东济宁·一模）已知椭圆，直线与椭圆交于A、B两点，为坐标原点，且，，垂足为点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)求面积的取值范围．