新高考数学二轮复习专项训练26 直线与圆锥曲线的位置关系（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专项训练26 直线与圆锥曲线的位置关系（2份，原卷版+解析版），共8页。
一、弦长、面积问题
判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．
弦长公式：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，
或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
二、中点弦问题
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
1．根与系数的关系法：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
2．点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量．
三、圆锥曲线中二级结论的应用
1．椭圆焦点三角形面积为b2tan eq \f(α,2)(α为|F1F2|的对角)．
2．双曲线焦点三角形面积为eq \f(b2,tan \f(α,2))(α为|F1F2|的对角)．
3．抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为直线l的倾斜角)．
(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
(3)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
一、单选题
1．（22-23高三上·湖北武汉·期末）已知A是椭圆：的上顶点，点，是上异于A的两点，是以A为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的有且仅有1个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高二上·天津和平·期末）双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（21-22高二上·安徽淮北·期中）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点， 若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
5．（2023·云南昆明·模拟预测）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·广东深圳·二模）设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（ ）
A．轴B．C．D．
三、填空题
7．（2022高三·全国·专题练习）过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则 ．
8．（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，为椭圆：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是 ．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（21-22高二下·海南·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高三下·海南海口·期中）已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（ ）
A．B．C．4D．
3．（2023·浙江宁波·二模）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2023·云南·二模）已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（ ）
A．周长为8B．
C．面积为D．
5．（2022·全国·模拟预测）双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（ ）
A．B．C．4D．2
6．（23-24高二上·江苏·阶段练习）设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为，则直线方程为
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若直线方程为，则
三、填空题
7．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 .
8．（2023高三·全国·专题练习）已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为
9．（22-23高二下·陕西榆林·期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 .
四、解答题
10．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程．
11．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积．
12．（23-24高二上·安徽滁州·阶段练习）已知圆的圆心是抛物线的焦点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·山东临沂·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支分别交于点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山西·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则（ ）
A．B．4C．D．
3．（21-22高二上·江苏盐城·期末）椭圆中以点为中点的弦所在直线斜率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2023·山东临沂·一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）
A．
B．延长交直线于点，则，，三点共线
C．
D．若平分，则
5．（2022·湖南永州·二模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（ ）
A．直线与蒙日圆相切
B．的蒙日圆的方程为
C．记点到直线的距离为，则的最小值为
D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为
6．（23-24高三上·湖北武汉·阶段练习）直线过抛物线的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．抛物线E的准线方程是
C．以MN为直径的圆与定直线相切D．的大小为定值
三、填空题
7．（2024·辽宁大连·一模）已知抛物线的焦点分别为，点分别在(上，且线段平行于x轴.若是等腰三角形，则 .
8．（2023·湖北·模拟预测）已知为抛物线的焦点，直线与交于，，与的另一个交点为，与的另一个交点为.若与的面积之比为，则 .
9．（21-22高二上·上海杨浦·期末）过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为 .
四、解答题
10．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．
(1)求椭圆的方程；
(2)倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．
11．（22-23高二下·陕西安康·期中）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
12．（23-24高二上·河北·期中）已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值．
13．（2023·广东肇庆·二模）设抛物线方程为，过点的直线分别与抛物线相切于两点，且点在轴下方，点在轴上方.
(1)当点的坐标为时，求；
(2)点在抛物线上，且在轴下方，直线交轴于点.直线交轴于点，且.若的重心在轴上，求的取值范围.
14．（2024·全国·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.
15．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为F，直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)若，且直线l的斜率为4，求直线(点为坐标原点)的斜率．
(2)若直线，的斜率互为相反数，且直线l不与x轴垂直，探究：直线l是否过定点?若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．