新高考数学二轮复习专题训练六 解析几何 第2讲　圆锥曲线的方程与性质（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题训练六 解析几何 第2讲　圆锥曲线的方程与性质（2份，原卷版+解析版），共8页。
目录
【真题自测】2
【考点突破】3
【考点一】圆锥曲线的定义与标准方程3
【考点二】椭圆、双曲线的几何性质5
【考点三】抛物线的几何性质及应用6
【专题精练】7
考情分析：
高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．
2．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
3．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
4．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．
三、填空题
10．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
11．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
12．（2022·全国·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
考点突破
【考点一】圆锥曲线的定义与标准方程
核心梳理：
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(00，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn0，则C是两条直线
4．（2024·重庆·三模）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．直线PF1的斜率为
C．的周长为D．的外接圆半径为
三、填空题
5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）直线与抛物线交于两点，若，则中点到轴距离的最小值是 ．
6．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知抛物线为抛物线内一点，不经过点的直线与抛物线相交于两点，连接分别交抛物线于两点，若对任意直线，总存在，使得成立，则该抛物线方程为 .
规律方法：
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置．
【考点二】椭圆、双曲线的几何性质
核心梳理：
1．求离心率通常有两种方法
(1)求出a，c，代入公式e＝eq \f(c,a).
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
2．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
一、单选题
1．（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在直线上运动，则的最小值为（ ）
A．7B．9C．13D．15
2．（2023·安徽蚌埠·三模）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6B．或C．D．或
二、多选题
3．（2024·浙江·二模）已知椭圆左右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆左焦点与椭圆交于两点，且的最大值为8，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．离心率D．若，则
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知是等轴双曲线C的方程，P为C上任意一点，，则（ ）
A．C的离心率为
B．C的焦距为2
C．平面上存在两个定点A，B，使得
D．的最小值为
三、填空题
5．（2024·湖北·二模）已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则 ；当取最小值时，的面积为 ．
6．（2024·广东深圳·二模）已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为 ；的取值范围为 ．
规律方法：
(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求eq \f(b,a)或eq \f(a,b)的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．
【考点三】抛物线的几何性质及应用
核心梳理：
抛物线的焦点弦的几个常见结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.
一、单选题
1．（22-23高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ）
A．B．64C．D．80
2．（23-24高三上·山东青岛·开学考试）设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．抛物线关于轴对称
C．抛物线的准线方程为
D．抛物线的焦点到准线的距离为4
4．（2024·河北·二模）已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则（ ）
A．B．
C．D．直线与抛物线的准线相交于点
三、填空题
5．（2024·河南郑州·二模）抛物线的准线方程为，则实数a的值为 .
6．（2024·河南·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，直线与的另一个交点为，则 .
规律方法：
利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．
专题精练
一、单选题
1．（2023·江苏南通·三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．D．
2．（23-24高三上·全国·开学考试）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·辽宁·三模）设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（ ）
A．0B．2C．4D．6
4．（2024·辽宁抚顺·三模）过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线交于两点．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（ ）
A．3B．12C．15D．3或15
6．（2024·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·江苏南通·二模）设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·广东·模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、多选题
9．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（ ）
A．的周长为4
B．PF1的取值范围是
C．PQ的最小值是3
D．若点在椭圆上，且线段中点为，则直线的斜率为
10．（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ）
A．是它的一条对称轴B．它的离心率为
C．点是它的一个焦点D．
11．（2024·全国·二模）已知圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且的面积为1，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的长轴长为2B．椭圆C的短轴长为2
C．椭圆C的离心率为D．点P的坐标为
三、填空题
12．（23-24高三下·上海·阶段练习）若抛物线的焦点到它的准线距离为1，则实数m=
13．（2024·江苏南京·模拟预测）已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为 ．
14．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为 .
四、解答题
15．（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）已知椭圆经过点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积.
16．（2024·浙江·模拟预测）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．
(1)设过点1,0的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；
(2)过的直线与相交于点三点，求证：．
17．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知是抛物线上任意一点，且到的焦点的最短距离为.直线与交于两点，与抛物线交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.
(1)求抛物线的方程.
(2)证明：
(3)设的面积分别为，其中为坐标原点，若，求.