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《新高考数学大二轮复习课件》专题六 第2讲 圆锥曲线的方程与性质
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这是一份《新高考数学大二轮复习课件》专题六 第2讲 圆锥曲线的方程与性质，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，专题强化练等内容，欢迎下载使用。
KAO QING FEN XI
高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题.
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.
(2)(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C： ＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为_____.
解析 根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.
跟踪演练１ (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知F1，F2是椭圆C： ＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13 B.12 C.9 D.6
(2)已知A，B是抛物线y2＝8x上两点，当线段AB的中点到y轴的距离为3时，|AB|的最大值为
解析 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，线段AB的中点为M.如图，分别过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为C，D，N，连接AF，BF.因为线段AB的中点到y轴的距离为3，抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2，所以|MN|＝5.
因为|AB|≤|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MN|＝10，当且仅当A，B，F三点共线时取等号，所以|AB|max＝10.
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
解析 由题意知|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以点P，F1，F2在以O为圆心，|F1F2|为直径的圆上，连接PF1，则∠F1PF2＝90°.设|PQ|＝4m，
所以|PF1|＝3m＝a，则|PF2|＝a.又∠F1PF2＝90°，所以△PF1F2为等腰直角三角形，可得b＝c.由题意知b＝1，又b2＋c2＝a2，所以a2＝12＋12＝2，
分别将x＝2a，代入可得y＝±2b，即D(2a,2b)，E(2a，－2b)，
∴C的焦距的最小值为2×2＝4.
即c2＋2ac－a2＝0，所以e2＋2e－1＝0，
解析 方法一 依题意，B(0，b)，设P(acs θ，bsin θ)，θ∈[0,2π)，因为|PB|≤2b，所以对任意θ∈[0,2π)，(acs θ)2＋(bsin θ－b)2≤4b2恒成立，即(a2－b2)sin2θ＋2b2sin θ＋3b2－a2≥0对任意θ∈[0,2π)恒成立.令sin θ＝t，t∈[－1,1]，f(t)＝(a2－b2)t2＋2b2t＋3b2－a2，则原问题转化为对任意t∈[－1,1]，恒有f(t)≥0成立.
方法二 依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，
因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，
(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求 的值.
跟踪演练2 (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为
解析 设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，
解析 如图，MF2⊥MF1，因为E，O分别为MF1，F1F2的中点，所以OE∥MF2，所以EF1⊥EO，由点到直线的距离公式求得|EF1|＝b，所以|MF1|＝2b，又|MF2|＝b，|F1F2|＝2c，所以(2b)2＋b2＝4c2，即5b2＝4c2，所以5(c2－a2)＝4c2，
考点三 抛物线的几何性质
抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则
例4 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
解析 如图所示，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为E，M，连接EF.抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，
又AE∥x轴，∴∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，故A正确；
∵∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；
利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
跟踪演练3 (1)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MH⊥l于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为A.y2＝16x B.y2＝8xC.y2＝4x D.y2＝2x
解析 因为抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以|MF|＝|MH|＝4，又∠HFM＝60°，所以△MHF为正三角形，所以|HF|＝4，记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°，所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝4sin 30°＝2，所以该抛物线方程为y2＝4x.
解析 方法一 抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
1.(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于A.2 B.3 C.6 D.9
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
解析 设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，
因为椭圆的焦点在y轴上，
解析 设点F的坐标为(－c,0)，
即b2＝ac，c2－ac－a2＝0，整理得e2－e－1＝0，
解析 由题意设，F1(－c,0)，F2(c,0)，若M(0，b)，N(x，y)，
5.(2021·哈尔滨模拟)已知直线l过抛物线E：y2＝4x的焦点F，且依次交抛物线E及其准线于点A，B，C(点B在点A，C之间).若|BC|＝2|BF|，则|AF|等于A.2 B.1 C.4 D.3
解析 y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1，过B点向准线作垂线，垂足为D，过A点向准线作垂线，垂足为E，准线与x轴交点为H，根据抛物线定义可知|BD|＝|BF|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠C＝30°，∠EAC＝60°，又∵|AF|＝|AE|，∴∠FEA＝60°，∴|AF|＝|AE|＝|EF|，∵|EF|＝2|HF|＝4，即有|AF|＝4.
7.(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
解析 由题意，可知F2(4,0)，所以c＝4.又由题意，知|PF1|＝|PQ|，所以2a＝||PF1|－|PF2||＝||PQ|－|PF2||＝|QF2|＝4<8＝2c，
设△PF1F2的内切圆与x轴相切于点A(x0,0)，则由双曲线定义得2a＝||PF1|－|PF2||＝||AF1|－|AF2||＝|(x0＋c)－(c－x0)|＝2|x0|，所以x0＝±a＝±2，即△PF1F2内切圆圆心的横坐标为±2，所以D正确.̉
解析 抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，故双曲线的一个焦点坐标为(－2,0)，
解析 由三个数1，b2,7成等差数列，得2b2＝8，解得b＝±2.
11.抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(3,2)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF的周长的最小值为________.
解析 由抛物线y2＝4x可得焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由题意可知求△PAF周长的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值.设点P在准线上的射影为点D.则根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，因此求|PA|＋|PF|的最小值即|PA|＋|PD|的最小值.易知当P，A，D三点共线时，|PA|＋|PD|最小.所以(|PA|＋|PD|)min＝xA－(－1)＝3＋1＝4.
解析 ∵抛物线y2＝2px(p>0 )的焦点为F(4,0)，∴p＝8，∴抛物线的方程为y2＝16x，方法一 设直线l的方程为x＝my＋4，如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴y1＋y2＝16m，y1y2＝－64，
即|NF|＝6时取等号.
(1)求C1的离心率；
解 由已知可设C2的方程为y2＝4cx，
不妨设A，C在第一象限，
C，D的纵坐标分别为2c，－2c，
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程.
由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，
即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，或c＝3.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
解 连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
解 由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，
即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
KAO QING FEN XI
高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题.
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.
(2)(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C： ＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为_____.
解析 根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.
跟踪演练１ (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知F1，F2是椭圆C： ＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13 B.12 C.9 D.6
(2)已知A，B是抛物线y2＝8x上两点，当线段AB的中点到y轴的距离为3时，|AB|的最大值为
解析 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，线段AB的中点为M.如图，分别过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为C，D，N，连接AF，BF.因为线段AB的中点到y轴的距离为3，抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2，所以|MN|＝5.
因为|AB|≤|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MN|＝10，当且仅当A，B，F三点共线时取等号，所以|AB|max＝10.
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
解析 由题意知|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以点P，F1，F2在以O为圆心，|F1F2|为直径的圆上，连接PF1，则∠F1PF2＝90°.设|PQ|＝4m，
所以|PF1|＝3m＝a，则|PF2|＝a.又∠F1PF2＝90°，所以△PF1F2为等腰直角三角形，可得b＝c.由题意知b＝1，又b2＋c2＝a2，所以a2＝12＋12＝2，
分别将x＝2a，代入可得y＝±2b，即D(2a,2b)，E(2a，－2b)，
∴C的焦距的最小值为2×2＝4.
即c2＋2ac－a2＝0，所以e2＋2e－1＝0，
解析 方法一 依题意，B(0，b)，设P(acs θ，bsin θ)，θ∈[0,2π)，因为|PB|≤2b，所以对任意θ∈[0,2π)，(acs θ)2＋(bsin θ－b)2≤4b2恒成立，即(a2－b2)sin2θ＋2b2sin θ＋3b2－a2≥0对任意θ∈[0,2π)恒成立.令sin θ＝t，t∈[－1,1]，f(t)＝(a2－b2)t2＋2b2t＋3b2－a2，则原问题转化为对任意t∈[－1,1]，恒有f(t)≥0成立.
方法二 依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，
因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，
(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求 的值.
跟踪演练2 (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为
解析 设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，
解析 如图，MF2⊥MF1，因为E，O分别为MF1，F1F2的中点，所以OE∥MF2，所以EF1⊥EO，由点到直线的距离公式求得|EF1|＝b，所以|MF1|＝2b，又|MF2|＝b，|F1F2|＝2c，所以(2b)2＋b2＝4c2，即5b2＝4c2，所以5(c2－a2)＝4c2，
考点三 抛物线的几何性质
抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则
例4 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
解析 如图所示，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为E，M，连接EF.抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，
又AE∥x轴，∴∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，故A正确；
∵∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；
利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
跟踪演练3 (1)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MH⊥l于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为A.y2＝16x B.y2＝8xC.y2＝4x D.y2＝2x
解析 因为抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以|MF|＝|MH|＝4，又∠HFM＝60°，所以△MHF为正三角形，所以|HF|＝4，记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°，所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝4sin 30°＝2，所以该抛物线方程为y2＝4x.
解析 方法一 抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
1.(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于A.2 B.3 C.6 D.9
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
解析 设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，
因为椭圆的焦点在y轴上，
解析 设点F的坐标为(－c,0)，
即b2＝ac，c2－ac－a2＝0，整理得e2－e－1＝0，
解析 由题意设，F1(－c,0)，F2(c,0)，若M(0，b)，N(x，y)，
5.(2021·哈尔滨模拟)已知直线l过抛物线E：y2＝4x的焦点F，且依次交抛物线E及其准线于点A，B，C(点B在点A，C之间).若|BC|＝2|BF|，则|AF|等于A.2 B.1 C.4 D.3
解析 y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1，过B点向准线作垂线，垂足为D，过A点向准线作垂线，垂足为E，准线与x轴交点为H，根据抛物线定义可知|BD|＝|BF|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠C＝30°，∠EAC＝60°，又∵|AF|＝|AE|，∴∠FEA＝60°，∴|AF|＝|AE|＝|EF|，∵|EF|＝2|HF|＝4，即有|AF|＝4.
7.(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
解析 由题意，可知F2(4,0)，所以c＝4.又由题意，知|PF1|＝|PQ|，所以2a＝||PF1|－|PF2||＝||PQ|－|PF2||＝|QF2|＝4<8＝2c，
设△PF1F2的内切圆与x轴相切于点A(x0,0)，则由双曲线定义得2a＝||PF1|－|PF2||＝||AF1|－|AF2||＝|(x0＋c)－(c－x0)|＝2|x0|，所以x0＝±a＝±2，即△PF1F2内切圆圆心的横坐标为±2，所以D正确.̉
解析 抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，故双曲线的一个焦点坐标为(－2,0)，
解析 由三个数1，b2,7成等差数列，得2b2＝8，解得b＝±2.
11.抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(3,2)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF的周长的最小值为________.
解析 由抛物线y2＝4x可得焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由题意可知求△PAF周长的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值.设点P在准线上的射影为点D.则根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，因此求|PA|＋|PF|的最小值即|PA|＋|PD|的最小值.易知当P，A，D三点共线时，|PA|＋|PD|最小.所以(|PA|＋|PD|)min＝xA－(－1)＝3＋1＝4.
解析 ∵抛物线y2＝2px(p>0 )的焦点为F(4,0)，∴p＝8，∴抛物线的方程为y2＝16x，方法一 设直线l的方程为x＝my＋4，如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴y1＋y2＝16m，y1y2＝－64，
即|NF|＝6时取等号.
(1)求C1的离心率；
解 由已知可设C2的方程为y2＝4cx，
不妨设A，C在第一象限，
C，D的纵坐标分别为2c，－2c，
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程.
由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，
即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，或c＝3.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
解 连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
解 由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，
即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
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