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新高考数学二轮复习考点突破课件 第1部分 专题突破 专题6 第2讲 圆锥曲线的方程与性质（含解析）
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这是一份新高考数学二轮复习考点突破课件 第1部分 专题突破 专题6 第2讲 圆锥曲线的方程与性质（含解析），共60页。PPT课件主要包含了考情分析，考点一，核心提炼，易错提醒，考点二，考向2离心率问题，规律方法，在△AF1F2中，双曲线的渐近线方程为，抛物线的几何性质等内容，欢迎下载使用。
高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题.
圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
设椭圆的半焦距为c，因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以AP⊥PF1.又因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1.又因为|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2B是等腰直角三角形，于是△F1AP也是等腰直角三角形，
延长F2M交PF1于点Q，由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点.根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，即|QF1|＝2a，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.
∵2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.
设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，线段AB的中点为M.如图，分别过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为C，D，N，连接AF，BF.因为线段AB的中点到y轴的距离为3，抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2，所以|MN|＝5.因为|AB|≤|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MN|＝10，当且仅当A，B，F三点共线时取等号，所以|AB|max＝10.
椭圆、双曲线的几何性质
1.求离心率通常有两种方法
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
焦点F2(c，0)，c2＝a2＋b2，因为以F2为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，则圆的半径r等于圆心到切线的距离，
当两个交点M，N在双曲线两支上时，如图1所示， 设过F1的直线与圆D相切于点P，连接OP，由题意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，所以|F1P|＝b.过点F2作F2Q⊥F1N，交F1N于点Q.由中位线的性质，可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.
由双曲线的定义可知|NF1|－|NF2|＝2a，
两边平方得4b2＝9a2，即4(c2－a2)＝9a2，
当两个交点M，N都在双曲线上的左支上时，如图2所示，同理可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.
(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，
设|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|＝2m，则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝3m，由双曲线的定义知，|AF1|－|AF2|＝2m－m＝2a，即m＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，即|BF1|－2m＝2a，∴|BF1|＝3m＝|AB|，∠AF1B＝∠F1AB，故选项A正确；由余弦定理知，在△ABF1中，
化简整理得12c2＝11m2＝44a2，
故选项C错误；若原点O在以F2为圆心，|AF2|为半径的圆上，
抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.
设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B.由抛物线的定义知，|MM′|＝|FM|.
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p，0).若|AF|＝|AM|，则A.直线AB的斜率为B.|OB|＝|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM＋∠OBM<180°
因为|AF|＝|AM|，且M(p，0)，
对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析，
所以∠OAM<90°，∠OBM<90°，所以∠OAM＋∠OBM<180°，故D正确.综上所述，选ACD.
利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px (p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥ OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为__________.
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，渐近线的方程为x＝－1，
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图所示，作BE垂直准线于点E，准线交x轴于点N，则|BF|＝|BE|，
所以直线AB的方程为y＝x－1，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
整理可得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，所以BC的中点的横坐标为3，则线段BC的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.
一、单项选择题1.(2022·中山模拟)抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为A.y2＝4x B.y2＝8xC.y2＝12x D.y2＝16x
因抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
所以由m＋1＝32，得m＝8，
3.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于
方法一 由题意可知F(1,0)，
因为|BF|＝3－1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2).
方法二 由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，
4.(2022·潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线＝1(a>0，b>0)上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为
如图所示，设|AF1|＝4x，则|AB|＝3x，因为AF1⊥AB，
由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝12x，
由勾股定理可得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
二、多项选择题7.(2022·临沂模拟)2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则
记∠AOF＝θ，则S△ABF＝S△AOF＋S△OBF
＝|OA|sin θ＋2sin θ＝(|OA|＋2)sin θ，
对于A，在△PA1A2中，根据三角形两边之差小于第三边，可知||PA1|－|PA2||<|A1A2|＝2a，故A错误； 对于B，焦点F2(c，0)，
设F2关于双曲线C的渐近线的对称点为(m，n)，
将c2＝a2＋b2代入，化简整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，
对于C，双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)，设P(x0，y0)(y0≠0)，
对于D，双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，设∠PA1A2＝θ，∠A1PA2＝3θ，则∠PA2x＝4θ，根据C的结论 ＝1，即有tan θ·tan 4θ＝1，
∴cs 5θ＝0，∵θ＋3θ∈(0，π)，
三、填空题9.写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：______________________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，…，P8(x8，y8), P1，P2，P3，…，P8是抛物线x2＝4y上不同的点，点F(0,1)，准线为y＝－1，
＝(x1＋x2＋…＋x8，(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y8－1))＝0，所以(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y8－1)＝0，即y1＋y2＋y3＋…＋y8＝8，
＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋…＋(y8＋1)＝y1＋y2＋…＋y8＋8＝16.
依题意，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝12，而|PF1|＝7，则|PF2|＝5，因为点F2是抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线l过点F1，如图，过点P作PQ⊥l于点Q，由抛物线定义知|PQ|＝|PF2|＝5，而F1F2∥PQ，则∠PF1F2＝∠F1PQ，
由题意可知，F(－c，0)，A(a，0)，
因为直线AM经过OP的中点，
则2b2＝ac＋c2,2(c2－a2)＝ac＋c2，即c2－ac－2a2＝0，则e2－e－2＝0，解得e＝－1 (舍)或e＝2.
因为△F1AB是等边三角形，
由已知，F1(－2,0)，F2(2,0).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－2).显然k≠0.
因为l与双曲线交于两点，所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0.设AB的中点为M(xM，yM).
高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题.
圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
设椭圆的半焦距为c，因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以AP⊥PF1.又因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1.又因为|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2B是等腰直角三角形，于是△F1AP也是等腰直角三角形，
延长F2M交PF1于点Q，由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点.根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，即|QF1|＝2a，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.
∵2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.
设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，线段AB的中点为M.如图，分别过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为C，D，N，连接AF，BF.因为线段AB的中点到y轴的距离为3，抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2，所以|MN|＝5.因为|AB|≤|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MN|＝10，当且仅当A，B，F三点共线时取等号，所以|AB|max＝10.
椭圆、双曲线的几何性质
1.求离心率通常有两种方法
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
焦点F2(c，0)，c2＝a2＋b2，因为以F2为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，则圆的半径r等于圆心到切线的距离，
当两个交点M，N在双曲线两支上时，如图1所示， 设过F1的直线与圆D相切于点P，连接OP，由题意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，所以|F1P|＝b.过点F2作F2Q⊥F1N，交F1N于点Q.由中位线的性质，可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.
由双曲线的定义可知|NF1|－|NF2|＝2a，
两边平方得4b2＝9a2，即4(c2－a2)＝9a2，
当两个交点M，N都在双曲线上的左支上时，如图2所示，同理可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.
(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，
设|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|＝2m，则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝3m，由双曲线的定义知，|AF1|－|AF2|＝2m－m＝2a，即m＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，即|BF1|－2m＝2a，∴|BF1|＝3m＝|AB|，∠AF1B＝∠F1AB，故选项A正确；由余弦定理知，在△ABF1中，
化简整理得12c2＝11m2＝44a2，
故选项C错误；若原点O在以F2为圆心，|AF2|为半径的圆上，
抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.
设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B.由抛物线的定义知，|MM′|＝|FM|.
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p，0).若|AF|＝|AM|，则A.直线AB的斜率为B.|OB|＝|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM＋∠OBM<180°
因为|AF|＝|AM|，且M(p，0)，
对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析，
所以∠OAM<90°，∠OBM<90°，所以∠OAM＋∠OBM<180°，故D正确.综上所述，选ACD.
利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px (p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥ OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为__________.
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，渐近线的方程为x＝－1，
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图所示，作BE垂直准线于点E，准线交x轴于点N，则|BF|＝|BE|，
所以直线AB的方程为y＝x－1，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
整理可得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，所以BC的中点的横坐标为3，则线段BC的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.
一、单项选择题1.(2022·中山模拟)抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为A.y2＝4x B.y2＝8xC.y2＝12x D.y2＝16x
因抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
所以由m＋1＝32，得m＝8，
3.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于
方法一 由题意可知F(1,0)，
因为|BF|＝3－1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2).
方法二 由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，
4.(2022·潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线＝1(a>0，b>0)上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为
如图所示，设|AF1|＝4x，则|AB|＝3x，因为AF1⊥AB，
由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝12x，
由勾股定理可得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
二、多项选择题7.(2022·临沂模拟)2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则
记∠AOF＝θ，则S△ABF＝S△AOF＋S△OBF
＝|OA|sin θ＋2sin θ＝(|OA|＋2)sin θ，
对于A，在△PA1A2中，根据三角形两边之差小于第三边，可知||PA1|－|PA2||<|A1A2|＝2a，故A错误； 对于B，焦点F2(c，0)，
设F2关于双曲线C的渐近线的对称点为(m，n)，
将c2＝a2＋b2代入，化简整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，
对于C，双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)，设P(x0，y0)(y0≠0)，
对于D，双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，设∠PA1A2＝θ，∠A1PA2＝3θ，则∠PA2x＝4θ，根据C的结论 ＝1，即有tan θ·tan 4θ＝1，
∴cs 5θ＝0，∵θ＋3θ∈(0，π)，
三、填空题9.写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：______________________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，…，P8(x8，y8), P1，P2，P3，…，P8是抛物线x2＝4y上不同的点，点F(0,1)，准线为y＝－1，
＝(x1＋x2＋…＋x8，(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y8－1))＝0，所以(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y8－1)＝0，即y1＋y2＋y3＋…＋y8＝8，
＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋…＋(y8＋1)＝y1＋y2＋…＋y8＋8＝16.
依题意，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝12，而|PF1|＝7，则|PF2|＝5，因为点F2是抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线l过点F1，如图，过点P作PQ⊥l于点Q，由抛物线定义知|PQ|＝|PF2|＝5，而F1F2∥PQ，则∠PF1F2＝∠F1PQ，
由题意可知，F(－c，0)，A(a，0)，
因为直线AM经过OP的中点，
则2b2＝ac＋c2,2(c2－a2)＝ac＋c2，即c2－ac－2a2＝0，则e2－e－2＝0，解得e＝－1 (舍)或e＝2.
因为△F1AB是等边三角形，
由已知，F1(－2,0)，F2(2,0).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－2).显然k≠0.
因为l与双曲线交于两点，所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0.设AB的中点为M(xM，yM).
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