新高考数学二轮复习核心考点精讲精练专题18 圆锥曲线的几何性质问题（练）（2份，原卷版+解析版）

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【对点演练】
一、单选题
1．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线焦半径公式列出方程，求出的值.
【详解】由抛物线定义知：，所以，解得：.
故选：A
2．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上不同两点，且中点的横坐标为，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】D
【分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.
【详解】解：由题知，即，设，
因为中点的横坐标为，所以，
所以，由抛物线焦半径公式得
故选：D．
3．（2023·高三课时练习）已知椭圆的左准线为l，左、右焦点分别为、，抛物线的准线也为l，焦点是，与的一个交点为点P，则的值等于（ ）
A．B．C．4D．8
【答案】B
【分析】由椭圆方程得出，即可得椭圆的离心率，设到准线的距离为，由是抛物线上的点得，由是椭圆上的点得，且，从而可求得．
【详解】椭圆中，，，，因此左准线的方程为即，又，设到准线的距离为，
由是抛物线上的点得，
由是椭圆上的点得，且，解得．
故选：B．
4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点，记与的面积分别为和，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出直线，联立，得到两根之和，两根之积，得，，，利用基本不等式即可求出最值.
【详解】由题意得：，设直线，联立得：
，设，不妨令，
则，
故，
，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B
5．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线l交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、第二象限，为等边三角形，则双曲线的离心率（ ）
A．B．5C．D．7
【答案】C
【分析】设,由图形性质结合双曲线的定义求出，取的中点，利用勾股定理求出，从而得出答案.
【详解】设题意，设，则
则，
由双曲线的定义可得，所以
取的中点，连接,由为等边三角形，则,且
所以，
所以，所以
故选：C
6．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为，点是双曲线在第二象限的部分上一点，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【分析】由角平分线的性质可得及双曲线的定义，化简方程即可求双曲线的离心率.
【详解】如图，
因为，所以，由可得，
由双曲线定义可知，
由知：平分，
所以，即，整理得：，
由，，可化简为，
即，可得，解得或（舍去），
故选：B
二、多选题
7．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知非零常数a，若点A的坐标为，点B的坐标为，直线与相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数，那么下列说法中正确的有（ ）．
A．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆
B．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆
C．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线
【答案】BD
【分析】设点P的坐标为，根据已知条件，求得轨迹方程，然后根据平方项的系数的正负，同号异号，同号时相等与否分类讨论即可判断.
【详解】设点P的坐标为，则，所以.
当时，，即，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆，故A错误.
当时，，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆，故B正确.
当时，，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆，故C错误.
当时，，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线，故D正确.
故选：BD
三、填空题
8．（2023·高三课时练习）已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P在双曲线E上，且，则=______.
【答案】9
【分析】根据双曲线的定义即可求得.
【详解】因为双曲线E，所以，则，
又因为，则，即或，
又，故.
故答案为：9.
9．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
10．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2023秋·江西·高三校联考期末）如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据求出的坐标，然后得的方程，令，得的坐标，利用直角梯形的面积求出，可得抛物线方程.
【详解】易知，直线AB的方程为，四边形OCMN为直角梯形，且.
设，，，则，
所以，所以，，∴.
所以MC直线方程为，∴令，∴，∴.
所以四边形OCMN的面积为，∴.
故抛物线E的方程为.
故选：B.
2．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点，在上（位于第一象限），且点，关于原点对称，若，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知四边形是矩形，其中，进而根据，结合勾股定理与椭圆定义求解即可.
【详解】解：因为，点，关于原点对称
所以，线段互相平分，且相等，
所以四边形是矩形，其中，
设，
所以，，
所以椭圆离心率为
故选：C
3.（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若，且双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知条件和双曲线的定义可得， ，，，由，应用余弦定理，化简可得
【详解】由双曲线定义和题设条件，得，，．
如图所示，因为，所以．
又由双曲线定义，得,因为，所以．
在和中，，有，
应用余弦定理，得，
得，化简得，所以．
故选：B．
二、多选题
4．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知双曲线的上、下焦点分别为，点P在双曲线上且位于x轴上方，则下列结论正确的是（ ）
A．线段的最小值为1
B．点P到两渐近线的距离的乘积为
C．若为直角三角形，则的面积为5
D．的内切圆圆心在直线上
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出双曲线的焦点坐标及实轴长，再结合双曲线的范围、定义计算判断ABC；作图结合定义求出双曲线内切圆圆心纵坐标判断D作答.
【详解】双曲线的焦点，实轴长，设点，有，
对于A，，则，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，双曲线渐近线，则点P到两渐近线的距离的乘积为：
，B正确；
对于C，为直角三角形，
当时，，解得，
，
当时，，解得，
，C不正确；
对于D，如图，圆C是的内切圆，切点分别为，设点，
由双曲线的定义及圆的切线性质得：，
解得，而，即直线方程为：，
所以的内切圆圆心在直线上，D正确.
故选：ABD
5．（2023秋·山西太原·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点，则的最小值是3
B．的最小值是2
C．若，则直线的斜率为
D．过点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为，则点的横坐标为
【答案】ACD
【分析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，进而根据抛物线的定义判断A；根据判断B；设直线的方程为，，进而联立方程，结合韦达定理，根据解方程即可得判断C；根据直线与曲线的位置关系得过点，分别与抛物线相切的直线方程为，，进而联立方程解得可判断D.
【详解】解：由题知，，准线方程为，
对于A选项，如图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，故，故正确；
对于B选项，设，故，故错误；
对于C选项，当直线的斜率不存在时，，不成立；
故直线的斜率存在，设方程为，与抛物线方程联立得，
所以，
因为，
所以，即，解得，故正确；
对于D选项，设过点与抛物线相切的直线方程为，
与抛物线方程联立得，
所以，整理得，
所以，故即为，整理得
同理得过点与抛物线相切的直线方程为，
所以，联立方程，解方程得，
因为，所以
所以，即点的横坐标为，故正确.
故选：ACD
三、填空题
6．（2023·高三课时练习）已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且，若的面积为9，则b=______．
【答案】3
【分析】利用三角形的面积列方程，由此求得.
【详解】设，
由于，所以，
，
所以.
故答案为：
7．（2023·广西柳州·统考模拟预测）双曲线的一条渐近线与曲线交于M、N两个不同的点，则__________．
【答案】##
【分析】根据题意先求出双曲线的一条渐近线方程，然后与曲线联立，求出交点、的坐标，代入两点间距离公式即可求解.
【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程为：，
不妨取，即，
因为曲线可化为，
联立方程组，解得：或，取，
所以，
故答案为：.
8．（2023·高三课时练习）设平面直角坐标系中，O为原点，N为动点，，，过点M作轴于点，过点N作轴于点，M与不重合，N与不重合，设，则点T的轨迹方程是______.
【答案】
【分析】设出点的坐标，根据，可以知道点的横坐标和纵坐标之间的关系， 可以求出的坐标，进而根据已知的条件，求出、的坐标，设出点的坐标，通过，可以得到的坐标和的坐标之间的关系，再根据点的横坐标和纵坐标之间的关系，求出点的轨迹方程.
【详解】设点，因为，所以有，因为，所以有，由题意可知：，，因为与不重合，与不重合，所以且，设，因为，所以有，而，所以，又因为且，
故答案为：（且）
9．（2023秋·海南·高三统考期末）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________．
【答案】
【分析】如图，延长，与椭圆交于点L，连接，设可得，在中，用余弦定理可得到，继而得到，即可求解
【详解】设椭圆的半焦距为，
如图，延长，与椭圆交于点L，连接，
由，所以根据对称性可知，，
设，则，，
从而，故，
在中，，所以，
在中，，即，
所以，所以，所以离心率，
故答案为：
10．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知抛物线的焦点为F，若在抛物线C上，且满足，则的最小值为______.
【答案】9
【分析】设直线的倾斜角为，用表示出，由此建立关于的函数，再换元利用导数求解作答.
【详解】抛物线的焦点为，依题意，不妨设直线的倾斜角为，且，
由抛物线定义得：，即，
同理，
，
因此，
令，，令，
，由得或，由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，此时，
于是得，所以当时，取得最小值9.
故答案为：9
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
四、解答题
11．（2023·高三课时练习）已知、是双曲线的左、右焦点.
(1)求证：双曲线C上任意一点M到双曲线两条渐近线的距离之积为常数；
(2)过且垂直于x轴的直线交C于P、Q两点，，且C过点（1，0），求双曲线C的方程.
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）设是双曲线上任一点，则，即，计算点到两渐近线的距离之积即可得证；
（2）由题意得，令代入双曲线方程求得坐标得，由得，从而求得，得双曲线方程．
【详解】（1）设是双曲线上任一点，则，即，
双曲线的两条渐近线方程为，
∴到两条渐近线的距离之积为为常数．
（2），
由得，，，
由题意，又，则，而，所以，
，即，
双曲线过点（1，0），则，
所以，解得（负值舍去），，
双曲线方程为．
12．（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）如图，点A是椭圆的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，P在y轴上，且轴，.
(1)若点P的坐标为（0，1），求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为（0，t），求t的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合共线向量的性质进行求解即可；
（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合共线向量的性质、椭圆标准方程中关系进行求解即可.
【详解】（1）由，因为过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，所以直线的方程为，因为P的坐标为（0，1），轴，
所以，因而，，
由（舍去），即，
又因为在该椭圆上，所以有，
所以该椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可知：，点P的坐标为（0，t），显然，
所以，，，
由，即，代入椭圆标准方程中，得，
因为，所以有，
所以t的取值范围为.