专题04 二元一次方程组-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版2024）(原卷版+解析版)

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题型一：二元一次方程组的错解复原问题（易错）
1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
把小李、小张计算结果代入方程，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值．
【详解】解：将、代入得：
得：，
把代入①得：，
解得：．
故选：B
2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解．
【详解】解：把代入二元一次方程组得，
，
∴由得，，
∵小强看错了系数得到，
∴，
∴，
①②得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴，
故答案为：11．
3．（23-24七年级下·海南海口·期末）甲、乙两名同学解方程组由于甲同学看错了系数，得到方程组的解是，由于乙同学看错了系数，得到方程组的解是求原方程组中的的值．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程组的错解复原问题
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的概念是解题的关键．
根据甲同学看错了系数，把代入可求得的值，乙同学看错了系数，把代入可求出的值．
【详解】解：∵ 甲同学看错了系数，得到的方程组的解是 ，
是方程的解，
∴，
∴；
∵ 乙同学看错了系数，得到的方程组的解是，
是方程的解，
∴，
∴．
4．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．
(1)求a，b的值；
(2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值．
【答案】(1)，；
(2)；
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，以及代数式求值．
（1）根据甲由于看错了方程组中的a，把得到的方程组的解代入可得出，即可求出b的值，根据乙由于看错了b，把得到方程组的解代入可得出，即可求出a的值
（2）由（1）得到方程组并求解，把解代入，再解出m，n的值，代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为
∴，
解得；
∵乙由于看错了b，得到方程组的解为
∴，
解得；
（2）由（1）得方程组为，
解得，
∵方程组的解与方程组的解相同，
∴，
解得，
∴．
5．（23-24七年级下·四川德阳·期末）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．试计算的值．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题
【分析】本题考查了二元一次方程组错解问题，关键是将解代入没看错的方程即可求出参数的值．
将代入，求得的值，将代入，求得的值，即可求出最后结果．
【详解】解：将代入，得，
解得，
将代入，得，
解得，
∴．
题型二：构造二元一次方程组求解（重点）
6．（情境题）（23-24七年级下·河南信阳·期末）某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，下表是本次购买图书的发票，部分数据看不清，根据其他数据求出购买爱的教育、边城的数量分别为（ ）
A．15，10B．10，15C．12，13D．13，12
【答案】A
【知识点】构造二元一次方程组求解
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设购买爱的教育x本，边城y本，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案．
【详解】解：设购买爱的教育x本，边城y本，
根据题意有：，
解得：，
则购买爱的教育15本，边城10本，
故选：A．
7．（情境题）（23-24七年级下·广东汕头·期末）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为，，例如1，2对应的密文是，4．当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（ ）
A．，1B．1，1C．1，3D．3，1
【答案】D
【知识点】构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据接收方收到的密文是1，7可得，求解即可．
【详解】解：根据题意，得
，解得，
∴解密得到的明文是3，1．
故选：D
8．（新定义）（23-24七年级下·四川乐山·期末）对于有理数x、y，定义新运算：，其中是常数，例：．已知，，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是得出关于a、b的方程组，难度一般，根据题意求出，即可求解．
【详解】由题意得：，解得
∴
故选：C．
9．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在等式中，当时，；当时，，则的值为 ．
【答案】10
【知识点】构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查解二元一次方程组，根据题意，得到关于的二元一次方程组，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，解得：，
∴；
故答案为：10．
10．（新定义）（23-24七年级下·江苏南通·期末）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“互助点”，例如：点的一对“互助点”是点与，若点Q的一对“互助点”之一为，则点Q的坐标为 ．
【答案】或
【知识点】构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组，设点，根据新定义列方程组求解即可．
【详解】设点，
∵点Q的一个“互助点”的坐标为，
∴或，
∴或，
∴或．
故答案为：或．
11．（新定义）（23-24七年级下·河北邯郸·期末）定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点．
(1)在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有______________；（填序号）
(2)已知A，C两点是方程图象的关联点，B，C两点是方程图象的关联点．若点A在x轴上，点B在y轴上，求四边形的面积．
(3)若，，三点是二元一次方程图象的关联点，探究m，n，p，q之间的关系，请直接写出你的结论．
【答案】(1)①③；
(2)；
(3)．
【知识点】二元一次方程的解、构造二元一次方程组求解、坐标与图形
【分析】（1）将①；②；③三点，分别代入方程，利用图象的关联点定义即可解决问题；
（2）根据图象的关联点定义，解方程组求出点，，三点坐标，进而可以利用割补法求四边形的面积；
（3）将，，三点分别代入二元一次方程即可求得与的大小关系．
【详解】（1）解：将①；②；③三点，分别代入方程，
①，
②，
③，
在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有①③，
故答案为：①③；
（2）∵，两点是方程图象的关联点，，两点是方程图象的关联点，
，
解得，
，
点在轴上，
当时，，
，
，
点在轴上，
当时，，
，
，，
四边形的面积；
（3），，三点是二元一次方程图象的关联点，
将，代入
得
整理，得①，
将代入
得②，
①②得，
解得
将代入
得
即
解得，
将代入
得
即
解得，
．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，二元一次方程组的解及其直线方程的图象，解题的关键是学会利用图象法解决问题．
题型三：已知二元一次方程组的解的情况求参数（常考）
12．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如果关于，的二元一次方程组的解，满足，那么是（ ）
A．15B．C．14D．
【答案】A
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查了解二元一次方程组，用②减①求出，然后得出即可求出k的值．
【详解】解：，
，得，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选A．
13．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）关于，的方程组的解满足，则的值为
【答案】3
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解本题的关键．由可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：，
由得：，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：3
14．（23-24七年级下·山西临汾·期末）若方程组 的解满足，则等于 ．
【答案】5
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查已知二元一次方程组的情况求参数，所给两个方程作差可得，进而得到关于k的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：
得：，
，
，
解得，
故答案为：5．
15．（22-23七年级下·浙江·期末）已知关于，的方程组
(1)若方程组的解满足，求的值；
(2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？
(3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．
（1）将与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得、的值，再代入第二个方程中可得的值；
（2）当含项为零时，取，代入可得固定的解．
（3）根据方程组可以求得，的关系式，根据为整数，可以求解的值；
【详解】（1）由题意得：，解得，
把代入，解得；
（2），
∴当，时，，
即固定的解为：，
（3），
得：，
，
，
为整数，
∴，，，
且为自然数，
∴或或，
或或．
题型四：方程组相同解问题（常考）
16．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】方程组相同解问题
【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可．
【详解】解：∵方程组与有相同的解，
∴与的解相同，
由，解得，
∴，解得，
∴；
故选D．
17．（22-23七年级下·北京·期末）已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解，则 ．
【答案】
【知识点】方程组相同解问题、加减消元法
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，依据题意重新组成方程组求得x，y的值，再将x，y值代入得到关于a，b的方程组，解方程组再代入求值即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组与方程组有相同的解，
∴，解得：，
把分别代入与得，，
解得：，
∴．
故答案为：．
18．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知方程组与方程组解相同．
(1)求a，b的值
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)1
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、方程组相同解问题
【分析】此题考查同解方程组问题，以及代数式求值，解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解．再把x和y的值代入求出a和b的值．
（1）因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可；
（2）根据（1）的结论代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
将代入，
得：，
解得：，
（2）解：
19．（22-23七年级下·河南许昌·期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】方程组相同解问题
【分析】本题考查同解方程组：
（1）将两个不含参数的方程组成新的方程组，解方程组即可；
（2）根据（1）中的解求出参数的值，再代入代数式计算即可．
【详解】（1）解：由题意：方程组的解与两个方程组的解也相同，
解，得：；
∴相同的解为：．
（2）解：由题意，可知：方程组的解也为，
∴，解得：，
∴．
题型五：二元一次方程组的特殊解法（难点）
20．（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知x、y是二元一次方程组，那么的值是（ ）
A．B．5C．3D．
【答案】C
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
①②，得，
∴，
故选C．
21．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将原方程组变形为，设，，利用换元法求解即可．
此题考查了利用换元法解二元一次方程组，正确的换元是解题的关键．
【详解】解：将方程组中每一个方程两边同除以4，得，
设，，
则，
∵方程组的解是，
∴，
即，
解得，
∴方程组的解为，
故选：D．
22．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．熟练掌握二元一次方程组的解，解二元一次方程组是解题的关键．
由题意得，关于，的方程组的解是，进而可得关于，的方程组的解．
【详解】解：∵关于，的方程组的解是，
∴关于，的方程组的解是，即，
∴关于，的方程组的解是，
故选：B．
23．（23-24七年级下·广东广州·期末）已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（ ）个．
①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④．
【详解】解：①当时，原方程组为，
解得：，故该项正确；
②，
由，得：．
∵，即，
∴，
解得：，即的最大值为2，故该项错误；
③，
由，得：，
∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确；
④原方程组可改为：，
∴，
整理，得：．
∵，即，
∴，
解得：，
，
∴，即存在实数，使成立，故该项错误．
综上可知正确的有2个．
故选B．
24．（23-24七年级下·浙江台州·期末）有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
则写有最大数卡片的编号是( )
A．②B．③C．④D．⑤
【答案】A
【分析】本题考查了等式的性质，由题意得关于①②③④⑤的方程，利用等式的性质求出它们的值，最后根据题意得结论．
【详解】解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤ ，
，得③①，，得⑤③ ．
，得⑤①．
，得⑤，，得①．
⑤，①．
把⑤①的值代入、、、得②，③，④．
故选：A．
25．（23-24七年级下·山东德州·期末）已知关于x、y的方程，则方程的正整数解是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了解二元一次方程．熟练掌握解二元一次方程是解题的关键．
由，可得，则或，然后求解作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
当时，；
当时，；
∴方程的正整数解是或，
故答案为：或．
26．（23-24七年级下·海南海口·期末）已知a、b满足，，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据二元一次方程组的特点灵活选用恰当的方法是解题的关键．
观察可知将两个方程相加得，化简即可求得答案.
【详解】根据题意得
，得，
，
故答案为：2．
27．（情境题）（23-24七年级下·北京·期末）某段高速公路全长200千米，交警部门在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔18千米处都设置一个摄像头；此外，交警部门还在高速公路上距离入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5千米处都设置一块限速标志牌（如图）．小糖糖坐在后座从入口开始数经过的摄像头和标志牌个数，数到7时发现此处同时设置有标志牌和摄像头．小糖糖此时离入口的距离是 千米．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设第块限速标志牌与第个摄像头离入口距离相等（，均为大于1的整数），根据二者离入口的距离相等，即可列出关于，的二元一次方程，进而得出，结合，均为整数即可得出，的值，再将的值代入，即可求解，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【详解】解：∵数到7时发现此处同时设置有标志牌和摄像头，
∴此时小糖糖数了块标志牌，
设第块限速标志牌与第个摄像头离入口距离相等（，均为大于1的整数），
依题意得：，
∴，
∵，均为整数，
∴为5的倍数，
∴的个位数字为2或7，
当时，，此时，
∵，
∴小糖糖此时离入口的距离是千米，
当时，，
∵，（不合题意，舍去），
故答案为：．
28．（23-24七年级下·山东滨州·期末）（1）若关于的二元一次方程组的解是，试求关于的二元一次方程组的解．
（2）阅读下列材料：我们知道面积是5的正方形边长是，因为，且更接近于2，所以设，将正方形边长分为2与两部分，如图所示．由面积公式，可得．因为较小，略去，得方程，解得．请类比所给方法，探究的近似值．（画出示意图，表明数据，并写出求解过程，结果保留两位小数）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和估算无理数的大小，熟练掌握解二元一次方程组的常用方法，以及运用数形结合的思想，画出示意图是解题的关键．
（1）根据题意，可知关于、的二元一次方程组的解为方程组的解，解该方程组，即可获得答案；
（2）根据题意，画一个边长为的正方形，将正方形边长分为4与两部分，列方程并求出的值，从而得到的近似值．
【详解】解：（1）∵关于的二元一次方程组的解是，
∴关于、的二元一次方程组的解为方程组的解，
解方程组，可得，
∴关于、的二元一次方程组的解为；
（2）因为，且更接近于4，
所以设，
如下图，将正方形边长分为4与两部分，
由面积公式，可得，
因为较小，略去，得方程，
解得，
∴．
29．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数．
(1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值；
(2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)没有，理由见详解
【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可；
（2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答．
本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
【详解】（1）解：依题意，
由①得，，③
将③代入②得，
整理得出，④
∵方程组有无穷多组解
∴且时，
即，则，
∴，
（2）解：没有，理由如下：
由（1）得
∵
∴
整理得
①当时，即，
∵
∴此时方程组为
则
∵为整数
∴原方程没有整数解
②当时，即，此时，
若时，显然无解，
若时，，代入得
∵a为整数，
∴不可能为整数，
∴原方程无整数解；
综上：原方程没有整数解
30．（22-23七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，，，，且，满足．
(1)求点的坐标；（用含的式子表示）
(2)过点作交轴于点，当时，
①求的面积；
②若点在直线上，且点的横坐标为5，求点的纵坐标．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）运用加减消元法，分别求得，，即可求解；
（2）①连接，根据题意求得，设，根据平行线的性质可得，列式求得，即可求解；
②设的纵坐标为，连接，根据，列式求解可得，即可求解．
【详解】（1）解：由①+②，得：，
∴，
由①−②，得，
∴，
∴
（2）解：①如图，连接，
，
，
，
，
设，
根据图象，得点在轴正半轴
，
，
，
，
，
，
②设的纵坐标为，如图，连接，

根据图象，得点在第一象限
，
即点的纵坐标为．
【点睛】本题考查了解含参的二元一次过程——加减消元法，平行线的性质，割补法求三角形的面积，熟练掌握割补法求面积是解题的关键．
题型六：方案问题(二元一次方程组的应用)（难点）
31．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）为进一步美化校园，学校决定在校园内的空地处栽种部分桂花树和樱花树，通过与园林部门联系，每棵樱花树苗的价格比每棵桂花树苗的价格贵50元，购买2棵樱花树苗和2棵桂花树苗其需1000元，求樱花树苗和桂花树苗每棵分别为多少元？
【答案】每棵樱花树苗的价格为275元，每棵桂花树苗的价格为225元
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每棵樱花树苗的价格为x元，每棵桂花树苗的价格为y元，根据“每棵樱花树苗的价格比每棵桂花树苗的价格贵50元，购买2棵樱花树苗和2棵桂花树苗其需1000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每棵樱花树苗的价格为x元，每棵桂花树苗的价格为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每棵樱花树苗的价格为275元，每棵桂花树苗的价格为225元．
32．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）列二元一次方程组解决实际问题：为拓展学生视野，某中学组织七年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
【答案】参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，根据题意找到等量关系是解题的关键．设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车，根据题意列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．
根据题意，得，
解得，
答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车．
33．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）某网站在一段两分钟的视频广告内，计划播放时长为15秒和30秒的两种广告，要求每种广告播放不少于两次，两种广告的播放次数有几种安排方式？
【答案】有两种安排方式：方案一、15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次；方案二、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次．
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程的应用．设15秒的广告播放次，30秒的广告播放次，根据两种视频的播放长度之和为两分钟列出方程，再根据每种广告播放不少于两次求出下，，的值．
【详解】解：设15秒的广告播放次，30秒的广告播放次，
根据题意得，
化简得，
，均不小于2的整数，
∴，或，
有两种安排方式：
方案一、15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次；
方案二、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次．
34．（23-24七年级下·云南昆明·期末）3月12日是我国的植树节，某学校计划组织七年级名师生到林区植树，决定租用当地租车公司小客车，大客车两种型号客车作为交通工具．已知满员时，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；用1辆小客车和辆大客车每次可运送学生人．
(1)1辆小客车和辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？
(2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金元，大客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【答案】(1)1辆小客车坐满后一次可送20名学生，辆大客车坐满后一次可送45名学生
(2)①方案一：租小客车11辆，大客车4辆；方案二：租小客车2辆，大客车8辆；方案三：租小客车20辆；
②方案二最省钱，最少租金3040元
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，以及二元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
（1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐x，y名学生，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（2）①根据题意列出二元一次方程，找出整数解即可．
②分别计算费用比较即可．
【详解】（1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐，名学生，
根据题意得：，
解得：，
则1辆小客车坐满后一次可送20名学生，辆大客车坐满后一次可送45名学生；
（2）①根据题意得：，
整理得：，
当时，；当时，，当时，，
方案一：租小客车11辆，大客车4辆；方案二：租小客车2辆，大客车8辆；方案三：租小客车20辆．
②各种租车费用：方案一租金：(元)；
方案二租金： (元) ；
方案三租金： (元)．
∵．
∴方案二最省钱，最少租金3040元．
题型七：行程问题(二元一次方程组的应用)（难点）
35．（23-24七年级下·吉林·期末）甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分钟各跑多少圈？
【答案】甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；
设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，根据相遇问题和追击问题的等量关系列方程组求解即可．
【详解】解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，
由题意得，
解得：，
答：甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈．
36．（23-24七年级下·河南郑州·期末）张老师每天下班后沿街匀速步行回家，途经新兴路大桥．他发现每隔20分钟从背后驶过一辆7路公交车，每隔12分钟迎面驶来一辆7路公交车．假设每辆7路公交车行驶速度相同，而且7路公交车终点站每隔固定时间发一辆车．问：
（1）7路公交车行驶速度是张老师行走速度的 倍．
（2）7路公交车终点站每间隔 分钟发一辆车．
【答案】 4 15
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了含参数的二元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键．
设7路公交车行驶速度米分钟，张老师匀速行走的速度米分钟，7路公交车发出时间间隔为分钟，等量关系式：20分钟公交车行驶的路程分钟张老师走的路程两站之间的距离，12分钟公交车行驶的路程分钟张老师走的路程两站之间的距离；据此列出方程组，即可求解．
【详解】解：设7路公交车行驶速度米分钟，张老师匀速行走的速度米分钟，7路公交车发车时间间隔为分钟，由题意得
，
解得：，
7路公交车行驶速度是张老师行走速度的4倍，7路公交车终点站每间隔15分钟发一辆车．
故答案为：（1）4；（2）15．
37．（23-24七年级下·吉林白城·期末）一艘轮船在相距120千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用了6小时，逆流航行比顺流航行多用了4小时．求该轮船在静水中的速度和水流速度．
【答案】该轮船在静水中的速度为，水流速度为
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用——航行问题．熟练掌握船顺水速度、逆水速度与静水中速度和水流速度的关系，列出二元一次方程组，是解题的关键．
设该轮船在静水中的速度是，水流速度是，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设该轮船在静水中的速度为，水流速度为．
依题意，得，
解得，．
答：该轮船在静水中的速度为，水流速度为．
38．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）用二元一次方程组解决问题：
A、B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度．
【答案】甲的速度为，乙的速度为
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键；
设甲的速度为，乙的速度为，根据“第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙剩余路程的8倍”即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】设甲的速度为，乙的速度为．
由题意，得
解得
答：甲的速度为，乙的速度为．
题型八：工程问题(二元一次方程组的应用)（难点）
39．（23-24七年级下·吉林·期末）为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，年月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行．已知甲工程队天，乙工程队天共修路米；甲工程队天，乙工程队天共修路米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？
【答案】甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】根据题意设甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米列方程解答即可．本题考查了二元一次方程组与实际问题，审清题意列出二元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米，根据题意得，
，
解得：，
答：甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米．
40．（23-24七年级下·福建厦门·期末）某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物．已知台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克，台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克．求每台型机器人和每台型机器人每小时分别搬运货物多少千克？
【答案】型机器人每小时搬运千克，型机器人每小时搬运千克．
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意列出二元一次方程组并求解．
设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克，根据题意列出二元一次方程组后求解即可．
【详解】解：设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克．
依题得，
解得．
答：型机器人每小时搬运千克，型机器人每小时搬运千克．
41．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？
【答案】4天；2天
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组在工程问题中的应用，解题的关键是审清题意，正确列出方程组．
①工程类问题中相等关系一般都比较明显，常见的一组相等关系是：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量．2在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”．
根据题目中提供的信息找出两个相等关系建立方程求解即可．
【详解】解：设乙、丙两队合作了天，甲队加入后又做了天
根据题意有解得
答：乙、丙两队合作了4天，甲队加入后又做了2天．
42．（23-24七年级下·河北承德·期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天，
(1)小明、小华两位同学提出解题思路如下：
小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，
小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________；
得
请补全括号及横线部分的内容．
(2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程）
【答案】(1) ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间；
(2)甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米．
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义；
（2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论．
【详解】（1）小明同学：
设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．
根据题意，得；
小华同学：
设整治任务完成后，表示甲工程队工作的时间，表示乙工程队工作的时间．
根据题意，得：．
故答案为： ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间；
（2）小明同学：
设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．
根据题意，得，
解之，得．
答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米．
小华同学：
设整治任务完成后，甲工程队工作了天，乙工程队工作了天，
根据题意，得，
解之，得，
，．
答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米．
43．（23-24七年级下·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．
(1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？
(2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由．
【答案】(1)甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元
(2)安排甲乙合作施工更有利于商店经营，理由见解析
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，列出方程组，解方程组即可；
（2）分别求出三种情况下的费用，然后进行比较得出答案即可．
【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，
依题意得：，
解得：，
所以，甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元．
（2）解：设甲、乙装修组的工作效率分别为m，n，
由题意得，
解得：，
所以，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要24天．
选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）；
选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）；
选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）．
因为，所以，安排甲乙合作施工更有利于商店经营．
题型九：数字问题(二元一次方程组的应用)（重点）
44．（数学文化）（22-23七年级下·吉林长春·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则m与n的和是（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】D
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
∴左下角的数为：，
∴最中间的数为：或，
右下角的数为：或，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
45．（新定义）（22-23七年级下·重庆江津·期末）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，，所以．若，都是“相异数”，其中，（，，，都是正整数），规定：，当时，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据方程求解；
由、结合，即可得出关于、的二元一次方程，解之即可得出、的值，再根据“相异数”的定义结合的定义式，即可求出、的值，将其代入中，找出最大值即可.
【详解】解：，都是“相异数”，，，
，
．
，
，
．
，，且，都是正整数，
或或或或或，
是“相异数”，
，．
，．
或或，
或或，
或或，
的最大值为：
故答案为：
46．（新定义）（23-24七年级下·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且），则点Q的坐标为．例如，点的“2级关联点”为点，即点．若点P的“5级关联点”点Q的坐标为，则点P的坐标为 ．
【答案】
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)、坐标与图形
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据关联点的定义，结合点的坐标建立二元一次方程组求解即可得出结果；
【详解】解：设点P的坐标为，
∵点P的“5级关联点”点Q的坐标为，
∴根据题意有：，
解得：，
故点P的坐标为，
故答案为：．
47．（数学文化）（23-24七年级下·河北承德·期末）“九宫图”又称“龟背图”，数学上的“九宫图”所体现的是一个弐格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则：
(1)____________________；
(2)的值为__________．
【答案】(1)
(2)
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
（1）根据题意和表格中的数据，可以先求出的值；
（2）设第一列从上往下第三个数为，则，再求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
解得，
故答案为：；
（2）设第一列从上往下第三个数为，
则，
解得，，
，
故答案为：．
48．（数学文化）（23-24七年级下·浙江宁波·期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ．
【答案】3
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出对应的方程组求解是解题的关键．根据内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等列出方程组求解即可．
【详解】解：由题意得，，
即，
两式相加得：
，
故答案为：3．
题型十：年龄问题(二元一次方程组的应用)（重点）
49．（22-23七年级下·湖南常德·期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁．
【答案】29
【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的年龄−学生今年的年龄=学生今年的年龄；老师42岁−老师今年的年龄=老师今年的年龄−学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答．
【详解】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，
由题意得：，
解得：，
故数学老师今年的年龄是29岁，
故答案为：29．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
50．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁．
【答案】今年李老师24岁，该学生13岁
【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可．
【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则
相据该学生和李老师的年龄差不变，
可得
解得
答：今年李老师24岁，该学生13岁．
题型十一：分配问题(二元一次方程组的应用)（难点）
51．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下例题：某车间有名工人，每人每天可以生产个螺柱或个螺母．个螺柱需要配个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为 ．
【答案】
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)、根据实际问题列二元一次方程组
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，根据题意，列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，
由题意可得，，
故答案为：．
52．（23-24七年级下·山东威海·期末）某工厂生产两种产品，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，现要生产46件产品，26件产品，恰好需要甲、乙两种板材各多少块？
【答案】需甲种钢板10块，乙种钢板8块．
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设需甲种钢板x块，乙种钢板y块，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，根据要生产46件产品，26件产品，据此列出二元一次方程组，解出甲、乙两种钢板的数量即可．
【详解】解：设需甲种钢板x块，乙种钢板y块，
根据题意得
解得，
∴需甲种钢板10块，乙种钢板8块．
53．（23-24七年级下·河南南阳·期末）某眼镜生产车间有18名工人，若每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片．为使每天生产的镜框和镜片刚好配套，生产车间应该安排生产镜框和镜片的工人各多少名？
【答案】安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名，根据生产车间有18名工人，每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名，由题意，得：
，
解得：；
答：安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名．
54．（23-24七年级下·广东广州·期中）列方程或方程组解应用题
福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？多少名工人制作裤子？
【答案】安排18名工人制作衬衫，6名工人制作裤子
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题．
设安排x名工人制作衬衫，y名工人制作裤子，根据“现有24名制作服装的工人”和“要求每天获得利润2100元”列出二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：设安排x名工人制作衬衫，y名工人制作裤子，根据题意，得
，
解得，
答：安排18名工人制作衬衫，6名工人制作裤子．
55．（22-23七年级上·广西贺州·期末）某校预计安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍，求该校七年级男寄宿生有多少人？预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有多少间？
【答案】该校七年级男寄宿生有394人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有65间
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该校七年级男寄宿生有x人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有y间，根据“若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设该校七年级男寄宿生有x人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有y间，
根据题意得：，
解得：．
答：该校七年级男寄宿生有394人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有65间．
56．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案．
【答案】见解析
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．先设计出两种方案图，然后根据甲、乙两种作物的总产量的比是2：1列出方程组，求出方程的解即可．
【详解】解：方案1：如图①，将长方形分割为两个长方形和长方形，
设米，米，
由题意得，，解得
所以，过长方形土地边长上离一端160米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物．
方案2：如图②，将长方形分割为两个长方形和长方形，
设米，米，由题意得，
，解得．
所以，过长方形土地边长上离A一端80米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物．
题型十二：销售、利润问题(二元一次方程组的应用)（难点）
57．（23-24七年级下·全国·期末）为鼓励居民节约用电，广州市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，比第二档的单价每千瓦时提高0．05元． 海珠区的李白同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的另一位居民杜甫家今年4、5月份的家庭用电量分别为200和 490千瓦时，请你依据题目条件，计算杜甫家4、5月份的电费分别为多少元？
【答案】杜甫家四月份的电费为122元，五月份的电费为327元
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时，根据2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元，列方程组求解．
【详解】解：设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时，
由题意得， ，
解得： ，
元
则四月份电费为：（元），
五月份电费为：
（元）．
答：杜甫家四月份的电费为122元，五月份的电费为327元．
58．（23-24七年级下·广东汕头·期末）为庆祝“六一”儿童节，某商场全部商品打折出售．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元．求该商场商品打几折？
【答案】该商场商品打 9 折
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，折后价与原价和折率的关系，是解题的关键．
设没打折时，一件A商品x元，一件B商品y元，由买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，列出二元一次方程组，解方程组求出x，y的值；再设做活动时，商品打m折，由打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元，列出一元一次方程，解方程求出m的值即可．
【详解】解：设没打折时，一件A商品x元，一件B商品y元，
由题意得：，
解得：，
设做活动时，商场商品打m折，
由题意得：，
解得：．
答：做活动时，该商场商品打9折．
59．（24-25七年级下·全国·期末）某学校计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子的单价是元，手套的单价是元，并且学校用于购买帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件）
(1)第一次购买的帽子和手套共件，求第一次学校购买帽子和手套各多少件．
(2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折；手套件起售，超过件的部分每件优惠元，经过学校统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学校第二次需要准备多少资金用来购买手套和帽子？
【答案】(1)帽子件，手套件；
(2)元．
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）设第一次学校购买件帽子，件手套，结合题意列出二元一次方程组后求解即可；
（2）设第二次学校购买了件帽子，件手套，结合题意列出二元一次方程组后求解即可．
【详解】（1）解：设第一次学校购买件帽子，件手套，
由题意得，
解得，
答：第一次学校购买帽子件，手套件．
（2）解：设第二次学校购买了件帽子，件手套，
由题意得，
解得，
（元），
该学校第二次需要准备元用来购买手套和帽子．
答：该学校第二次需要准备元用来购买手套和帽子．
【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键正确理解题意并列出二元一次方程组．
60．（23-24七年级下·河北保定·期末）小明、小刚、小强与小亮打算周末郊游，他们去了同一家超市．
(1)小明买了两个鸡腿与三个汉堡，花费了88元； 小刚买了三个鸡腿与五个汉堡花费了142元，小强打算买一个鸡腿与两个汉堡，请你通过列方程（组）帮助解答，小强一共需要花费多少元呢？
(2)小亮买了葡萄汁、果粒橙与可乐三种饮料共10瓶，花费了187元，葡萄汁每瓶20元，果粒橙每瓶18元，可乐每瓶15元，聪明的你计算一下，葡萄汁买了多少瓶？
【答案】(1)小强一共需要花费54元
(2)葡萄汁买了5瓶
【知识点】二元一次方程的解、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组是解题关键．
（1）设一个鸡腿价格为元，一个汉堡的价格为元，根据买了三个鸡腿与五个汉堡花费了142元，小强打算买一个鸡腿与两个汉堡，建立二元一次方程组，再求解即可；
（2）设葡萄汁买了a瓶，果粒橙买了b瓶，则可乐买了瓶，得到关于、的二元一次方程，结合、是正整数求解即可．
【详解】（1）设一个鸡腿价格为元，一个汉堡的价格为元，
根据题意，得，
由得：，
小强一共需要花费54元；
（2）设葡萄汁买了a瓶，果粒橙买了b瓶，则可乐买了瓶，
根据题意，得，
化简得：，
，
，均为正整数，
当时，，
葡萄汁买了5瓶．
61．（23-24七年级下·福建厦门·期末）当季是西瓜成熟的季节，西瓜也具有解暑的作用，市场上西瓜的销量也与日俱增，某西瓜种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的西瓜，对总计1000斤的麒麟瓜、黑美人西瓜这两个品种的西瓜进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：麒麟瓜每筐8斤，售价200元；黑美人西瓜每筐18斤，售价360元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜（筐数为整数且两种西瓜至少各有一筐）．
(1)若这批西瓜全部售完，共收入21400元，请问麒麟瓜共包装了多少筐，黑美人西瓜共包装了多少筐；
(2)当销售总收入为22840元时，若西瓜种植大户留下y（）筐麒麟瓜送人，其余的西瓜全部售出，求y的值．
【答案】(1)麒麟瓜共包装了35筐，黑美人西瓜共包装了40筐
(2)9
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用：
（1）设麒麟瓜共包装了m筐，黑美人西瓜共包装了n筐，根据“用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜，且全部售出后共收入21400元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设麒麟瓜共包装了x筐，则黑美人西瓜共包装了筐，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，均为正整数，即可求出结论．
【详解】（1）解：设麒麟瓜共包装了m筐，黑美人西瓜共包装了n筐，
根据题意得：，
解得：．
答：麒麟瓜共包装了35筐，黑美人西瓜共包装了40筐；
（2）设麒麟瓜共包装了x筐，则黑美人西瓜共包装了筐，
根据题意得：，
∴．
又∵x，y，均为正整数，
∴．
答：y的值为9．
题型十三：和差倍分问题(二元一次方程组的应用)（重点）
62．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知1辆甲种车和1辆乙种车一次共可运土20立方米，5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米．
【答案】甲种车辆一次运土8立方米，乙种车辆一次运土12立方米
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，找到等量关系列方程．设甲种车辆一次运土x立方米，乙种车辆一次运土y立方米，根据题意所述的两个等量关系得出方程组，解出即可得出答案．
【详解】解：设甲种车辆一次运土x立方米，乙种车辆一次运土y立方米，
由题意得，，
解得：．
答：甲种车辆一次运土8立方米，乙种车辆一次运土12立方米．.
63．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）为响应政府号召，陵水县圣女果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售圣女果，已知线上零售40千克、线下批发圣女果80千克共获得销售额4000元；线上零售60千克和线下批发80千克圣女果的销售额相同．求线上零售和线下批发圣女果的单价分别为每千克多少元？
【答案】线上零售圣女果单价为每千克40元，线下批发圣女果单价为每千克30 元
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设线上零售圣女果单价为每千克x元，线下批发圣女果单价为每千克y 元，根据线上零售40千克、线下批发圣女果80千克共获得销售额4000元，线上零售60千克和线下批发80千克圣女果的销售额相同，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设线上零售圣女果单价为每千克x元，线下批发圣女果单价为每千克y 元．
根据题意得：
解得：
答：线上零售圣女果单价为每千克40元，线下批发圣女果单价为每千克30 元．
64．（23-24七年级下·湖南永州·期末）2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某商家购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍．
(1)商家购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？
(2)若商家购进“元元”和“宵宵”各1000个，先按进价的120%标价销售，宵宵很快就售完，剩下的200个按照标价的八折销售完，请问商家共盈利多少元？
【答案】(1)“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元
(2)商家共盈利17120元
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、有理数乘法的实际应用
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，有理数运算的应用：
（1）设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元，根据一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍，列出方程组进行求解即可；
（2）分别求出“元元”和“宵宵”的利润，再求和即可．
【详解】（1）解：设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：商家购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元．
（2）宵宵的利润：（元）
元元的利润：（元）
（元）
答：商家共盈利17120元．
题型十四：几何问题(二元一次方程组的应用)（难点）
65．（24-25七年级下·全国·期末）如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5，宽为4的大长方形中，则图中一个小长方形的面积等于 ．
【答案】2
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用：设小长方形的长，宽分别为，用小长方形的长和宽，与大长方形的长和宽的关系，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设小长方形的长，宽分别为．根据题意可得：
解得
∴小长方形面积为：．
故答案为：2．
66．（23-24七年级下·浙江温州·期末）若关于x、y方程的解满足，以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ．
【答案】
【知识点】单项式乘多项式的应用、几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查的是二元一次方程的解，三角形的面积和代数式求值，解决本题的关键是利用整体替换思想．先求出y的值，再根据该图案的面积等于一个长方形的面积加上两个平行四边形的面积再减去一个三角形的面积，据此列出代数式，再把x，y分别用a和数值替换进行化简即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得方程组：
，
解得：，
该图案的面积为：
，
故答案为：．
67．（23-24七年级下·全国·期末）在长方形中放入六个完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽为 ．
【答案】
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程组求解．
设小长方形的宽为，小长方形的长是，根据长方形的长和宽列出方程组求解．
【详解】解：设小长方形的宽为，小长方形的长是，
根据图形，大长方形的宽可以表示为，或者，则，
大长方形的长可以表示为，则，
，解得．
故答案是：．
68．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，八块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的宽等于 ．
【答案】15
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组在几何问题中的应用，结合图形找到两组等量关系是关键．假设小长方形的长、宽分别为、，通过图形中大长方形的边长关系，可列出二元一次方程组，求得a、b的值即可．
【详解】解：设小长方形的长、宽分别为、．
由题意可列方程组：，
解得：，
每块小长方形地砖的宽为：，
故答案为：．
69．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点与点，点与点，点与点分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
(1)点的坐标是（ ），点的坐标（ ），______．
(2)连接，直接写出与之间的数量关系______；
(3)若点题三角形内一点，它随三角形按（1）中的方式平移后得到的对应点为点，求的值．
【答案】(1)；；4
(2)
(3)
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用平移的性质求解、几何问题(二元一次方程组的应用)、坐标与图形
【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据平移前后点的坐标判断平移方式，平移的性质，二元一次方程；
（1）根据点在坐标轴的位置得到点的坐标为，点的坐标，根据正方形减去三个三角形的面积即可求解；
（2）由平移的性质可得，则，再根据轴，得到，则；
（3）根据平移方式可以得到，由此求解即可．
【详解】（1）解：由题图知，点的坐标是，点的坐标，
（2）与之间的数量关系为，
解：由平移的性质可得，
∴，
∵点B的坐标为，点的坐标为，
∴轴，
∴，
∴，
∴与之间的数量关系为；
（3）由平移可得：向左平移3个单位，向下平移3个单位
∴
∴
∴
题型十五：图表信息题(二元一次方程组的应用)（难点）
70．（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）小方、小红和小军三人玩飞镖游戏，各投四支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是 ．
【答案】32分
【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用)
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．设大圈内，小圈内得分分别为，分，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可，根据小方、小军一次各得分数乘以各自的次数，计算出总分即可．
【详解】解：设大圈内，小圈内得分分别为，分，
依题意得：，
解这个方程组得：，
答：小方、小军一次各得5分、9分，
则小红的得分是（分）．
故答案为：32分．
71．（23-24七年级下·青海西宁·期末）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值是 ．
【答案】
【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用；根据题意列出关于a与b的二元一次方程组，解方程组即可求得a的值．
【详解】解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
故；
故答案为：．
72．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图(甲)中，各行、各列及对角线上的三个数之和都相等.
甲
乙
(1)通过计算求x与y的值；
(2)把满足（甲）的其他6个数填入图（乙）中的方格内.
【答案】(1)x与y的值分别为与1
(2)见解析
【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用)
【分析】解答本题的关键是找出等量关系，列方程组求出、的值，再根据各行、各列及对角线上的三个数之和都相等这个已知条件求解即可．
（1）由题意可以知道等量关系：即各行、各列及对角线上的三个数之和都相等．据此列方程组分别求得、的值；
（2）根据题意，分别求得方格内的数即可．
【详解】（1）由题意可列方程组
解得．
x与y的值分别为与1；
（2）由题意可知：图中对角线从上到下的数依次为，，；
设第二行最前面的数位，第三行第一个和第二个数分别为、．
由第一行数的和第二行数的和得：，解得；
由第二列数的和第三列数的和得：，解得；
由第一列数的和第二列数的和得：，解得．
故第一行应填：；第二行依次应填：5，1；第三行依次应填：0，，4．
如图
73．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示：
请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元
【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，
由题意得，
解得，
则（元），（元），
答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元．
74．（23-24七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
(1)求a，b的值；
(2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案．
【答案】(1)a，b的值分别为800，600
(2)方案一：中学生7人，小学生4人；方案二：中学生4人，小学生8人；方案三：中学生1人，小学生12人
【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
（1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可．
（2）利用九年级的捐款额8000列方程求人数．
【详解】（1）解：由题意得
解得：
∴a，b的值分别为800，600；
（2）由题意得捐款总额为：（元）
设九年级资助贫困的中学生人数为x，资助贫困的小学生人数为y；
可得：；整理得：，
即；
又∵x、y均为正整数 ，
∴ ；
即方案一：中学生7人，小学生4人；
方案二：中学生4人，小学生8人；
方案三：中学生1人，小学生12人；
题型十六：古代问题(二元一次方程组的应用)（新考向）
75．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”若设有鸡只，兔只，则可得方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键．
根据题意，鸡头数与兔头数的和为，鸡足数与兔足数的和为，由此列式即可求解．
【详解】解：设有鸡只，兔只，
∴，
故选：B ．
76．（22-23七年级下·吉林长春·期中）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，解答即可．
本题考查了方程组的应用，正确理解题是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，列方程组得，
故选：A．
77．（23-24七年级下·河南许昌·期末）在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组即可；
【详解】解：由题意可得，
图②所示的算筹图可以表述为：，
故选：B．
78．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是，类似的，图2所示的算筹图我们可以用方程组形式表述为 ．
【答案】
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查的是列二元一次方程组，读懂题意，得到所给未知数的系数及相加结果是解题的关键．
由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果；前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式．
【详解】解：第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程为．
故答案为：．
卡片编号
①②
②③
③④
④⑤
①⑤
两数的和
x
P
2
1
y
3
2
y
3
2
捐款数额/元
资助贫困中学生人数/名
资助贫困小学生人数/名
七年级
4000
2
4
八年级
4200
3
3
九年级
4000