新高考数学二轮复习专项训练13 空间向量与距离、探究性问题（2份，原卷版+解析版）

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一、空间距离
(1)点到直线的距离
直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设eq \(AP,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离d＝eq \r(a2－a·u2).
(2)点到平面的距离
平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
二、探究性问题
空间向量求解探究性问题：
(1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论；
(2)在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解、是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．
一、单选题
1．（2024·河北沧州·二模）已知四面体满足，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高二下·江苏徐州·期末）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．B．与所成的角可能是
C．是定值D．当时，点到平面的距离为1
4．（2024·江西鹰潭·二模）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）

A．
B．若为线段上的一个动点，则的最大值为3
C．点到直线的距离是
D．直线与平面所成角正弦值的最大值为
三、填空题
5．（23-24高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，平面平面ACD，O是AD的中点，若棱长，且，则点D到平面ABC的距离为 ，点O到平面ABC的距离为 .
6．（2024·辽宁·一模）已知空间中的三个点，则点到直线的距离为 ．
四、解答题
7．（22-23高二下·江苏南京·期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．

(1)证明：平面；
(2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
8．（22-23高三下·湖南·阶段练习）如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且.现将沿翻折到，如图2.
(1)证明：.
(2)已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（22-23高二上·河南新乡·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
2．（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ）.
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·黑龙江·二模）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．两条异面直线和所成的角为
B．直线与平面所成的角等于
C．点到面的距离为
D．四面体的体积是
4．（2024·福建·模拟预测）已知正方体的棱长为2，棱的中点分别为E，F，点G在底面上，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若存在λ使得，则
B．若，则平面
C．三棱锥体积的最大值为2
D．二面角的余弦值为
5．（2024·河北承德·二模）如图，在正四棱柱中，是棱的中点，为线段上的点（异于端点），且，则下列说法正确的是（ ）

A．是平面的一个法向量
B．
C．点到平面的距离为
D．二面角的正弦值为
6．（2024·安徽池州·模拟预测）已知正方体的棱长为1，是侧面内的一个动点，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则（ ）
A．平面平面
B．点到平面的距离的最大值为
C．当点在线段上时，异面直线与所成的角为
D．当三棱锥的体积最大时，球的表面积为
三、填空题
7．（2023·广东江门·一模）已知直线l过点，且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为 .
四、解答题
8．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
9．（2024·天津·二模）如图，在多面体中，，，，平面，，，.
(1)求证：直线平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
10．（22-23高三上·山东济南·期末）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面.
(1)证明：；
(2)已知，，平面与平面的交线为.在上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求线段的长度；若不存在，试说明理由.
11．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面.

(1)求证：平面平面.
(2)求二面角的余弦值.
(3)为平面内一点，若平面，求的长.
12．（2024·贵州黔西·一模）如图所示为直四棱柱，，分别是线段的中点.
(1)证明:平面；
(2)求直线BC与平面所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·天津南开·一模）在长方体中，，，其外接球体积为，则其外接球被平面截得图形面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高二下·江苏南京·期中）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则点到平面ABD的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·江西上饶·一模）如图，棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．直线与底面所成的角为30°B．到直线的距离为
C．平面D．平面
4．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，几何体的底面是边长为6的正方形底面，，则（ ）
A．当时，该几何体的体积为45
B．当时，该几何体为台体
C．当时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为
D．当点到直线距离最大时，则
三、填空题
5．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）正方体棱长为2，E，F分别是棱，的中点，M是正方体的表面上一动点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为 ．
6．（2024·北京通州·二模）如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧的中点，点H是圆弧上的动点，，给出下列四个结论：
①不存在点H，使得平面平面CEG；
②存在点H，使得平面CEG；
③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于；
④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
7．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，为的中点，.
(1)证明：平面平面；
(2)若与平面所成的角为，过点作平面的垂线，垂足为，求点到平面的距离.
8．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示的空间几何体是以为轴的圆柱与以为轴截面的半圆柱拼接而成，其中为半圆柱的母线，点为弧的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)当，平面与平面夹角的余弦值为时，求点到直线的距离.
9．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别是棱、的中点．

(1)在底面内是否存在点M，满足平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由；
(2)设平面CPQ交棱于点T，平面CPTQ将四棱台，分成上、下两部分，求上、下两部分的体积比．
10．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)在截面内是否存在点，使平面，并说明理由．
11．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）正方体中，，点在线段上.
(1)当时，求异面直线与所成角的取值范围；
(2)已知线段的中点是，当时，求三棱锥的体积的最小值.