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新高考数学二轮复习巩固练习08 导数压轴小题（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学二轮复习巩固练习08 导数压轴小题（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习巩固练习08导数压轴小题原卷版doc、新高考数学二轮复习巩固练习08导数压轴小题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
一、导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：
①切点坐标满足原曲线方程；
②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.
二、不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数 SKIPIF 1 < 0 恒成立( SKIPIF 1 < 0 即可)或 SKIPIF 1 < 0 恒成立（ SKIPIF 1 < 0 即可）；
② 数形结合( SKIPIF 1 < 0 图象在 SKIPIF 1 < 0 上方即可)；
③ 讨论最值 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
三、根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合适的抽象函数.常见的构造方法：（1）若出现 SKIPIF 1 < 0 形式，可考虑构造 SKIPIF 1 < 0 ；（2）若出现 SKIPIF 1 < 0 ，可考虑构造 SKIPIF 1 < 0 ；（3）若出现 SKIPIF 1 < 0 ，可考虑构造 SKIPIF 1 < 0 ；（4）若出现 SKIPIF 1 < 0 ，可考虑构造 SKIPIF 1 < 0 .
四、函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
五、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
六、对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
【典型例题】
例1．（2023·重庆市朝阳中学高三月考）设 SKIPIF 1 < 0 ，若关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解决本题主要利用导数研究恒成立问题，利用导数求极值，并要运用分类讨论的思想.
例2．（2023·广东·佛山一中高三月考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，在函数 SKIPIF 1 < 0 图象上任取两点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的绝对值都不小于 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立， 则 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，将题目中直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的绝对值都不小于 SKIPIF 1 < 0 的为题，转化为函数单调递减的问题来解决，属于难题.
例3．（2023•杭州模拟）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，当实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 变化时， SKIPIF 1 < 0 最小值为 ，当 SKIPIF 1 < 0 取到最小值时， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】解： SKIPIF 1 < 0 ，
上述函数可理解为当横坐标相同时，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 图象上点的纵向距离，则 SKIPIF 1 < 0 即为函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，
由图象可知，当函数 SKIPIF 1 < 0 的图象刚好为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为2，此时 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：2， SKIPIF 1 < 0 ．
例4．（2023春•湖州期末）若存在正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】解：记 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ．
记 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
另解：正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时不等式取等号，
又 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时不等式取等号，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
例5．（2023·河北冀州中学高三期中（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 _________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ,
例6．（2023·全国·高三课时练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导数，经过探究发现，任意一个三次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象都有对称中心 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2021B． SKIPIF 1 < 0 C．2022D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
例7．（2023·河北武强中学高三月考）已知定义在R上的可导函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为偶函数， SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
解：令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在定义 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；①
又 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则不等式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由①得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
例8．（2023·全国·高三课时练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 既无极大值也无极小值，故选D.
例9．（2023•天河区二模）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为任意实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B．18C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】解： SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径 SKIPIF 1 < 0 的圆上，
SKIPIF 1 < 0 表示点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 的距离的平方，
设过切点 SKIPIF 1 < 0 的切线与过 SKIPIF 1 < 0 的法线垂直，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，且 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
可得切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心与切点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
例10．（2023•湖北模拟）设 SKIPIF 1 < 0 ．其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】解：由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 表示两点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离，
而 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离和 SKIPIF 1 < 0 与准线的距离的和再加上1，
由抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离和 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离的和再加上1，
由图象可得当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 的法线， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
即 SKIPIF 1 < 0 为切点，设为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
可得切点 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
构造 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
故选：B
【过关测试】
一、单选题
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）若e是自然对数的底数， SKIPIF 1 < 0 ，则整数m的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
从而 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 的最小值 SKIPIF 1 < 0 ，从而整数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是2.
故选：C.
2．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）若存在实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 对其公共定义域上的任意实数 SKIPIF 1 < 0 都满足： SKIPIF 1 < 0 恒成立，则称直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的一条“划分直线”．列命题正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间没有“划分直线”
B． SKIPIF 1 < 0 是函 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间存在的唯一的一条“划分直线”
C． SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间的一条“划分直线”
D．函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间存在“划分直线”，且 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间存在“划分直线”，则该直线必过点 SKIPIF 1 < 0 ，
设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，过点 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 的直线方程有且只有 SKIPIF 1 < 0 ，
下证 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间存在的唯一的一条“划分直线” SKIPIF 1 < 0 ，故A选项错误，B选项正确；
对于C选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，显然不满足 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故错误；
对于D选项，当 SKIPIF 1 < 0 时，显然满足 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：B
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若有且只有两个整数解使 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 无解；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 （舍）或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 如下图所示：
因为有且只有两个整数解使 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．（2023秋·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考期末）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，对于任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为当 SKIPIF 1 < 0 时，对于任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以有： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 显然恒成立；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
为使 SKIPIF 1 < 0 恒成立，只需 SKIPIF 1 < 0 恒成立；即 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选： SKIPIF 1 < 0
5．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 存在零点（参考数据 SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围充分不必要条件为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的图象恒在 SKIPIF 1 < 0 上方，
SKIPIF 1 < 0 若满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象必有交点，即 SKIPIF 1 < 0 存在零点.
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
有当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增.
SKIPIF 1 < 0 .
即当 SKIPIF 1 < 0 时，一定存在 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 存在零点，
因此 SKIPIF 1 < 0 是满足题意 SKIPIF 1 < 0 的取值范围的一个充分条件.
由选项可得，只有 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的取值范围的一个充分不必要条件.
故选： SKIPIF 1 < 0 .
6．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有且只有两个整数解，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】显然 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 区间 SKIPIF 1 < 0 内为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有且只有两个整数解，
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
因为关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有且只有两个整数解，
结合图形可知，满足题意的整数解只能是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
7．（2023·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极大值B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极小值
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上既有极大值又有极小值D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上没有极值
【答案】D
【解析】根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上没有极值.
故选项ABC说法错误，选项D说法正确.
故选：D
8．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为60°的单位向量，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】已知向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 的单位向量，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
9．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
其几何意义表示点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离的平方不超过 SKIPIF 1 < 0 ，即最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 上一点，
∴设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，且与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，由导数的几何意义， SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
∴解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的点与曲线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值即点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值集合为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
10．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，下列四个说法：
① SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
③任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ；
④若曲线 SKIPIF 1 < 0 上存在不同两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率均为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】B
【解析】对于①，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，取到等号，故①不正确；
对于②， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 恒成立，故②正确；
对于③，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
对于④，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
则可以得 SKIPIF 1 < 0 的图象如下：
因为曲线 SKIPIF 1 < 0 上存在不同两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率均为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 应存在两个不同的交点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故④不正确.
综上，②③正确，①④不正确.
故选：B.
11．（2023·江西·校联考一模）已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时，在同一坐标系中作出函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象，
显然，由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 不恒成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时，在同一坐标系中作出函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象，
显然，由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 不恒成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时，在同一坐标系中作出函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象，
由图可知，临界条件是直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的图象相切时，
由 SKIPIF 1 < 0 ，求导 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 的切线斜率为2时，切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
求导 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 取到最大值，且 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
12．（2023·全国·模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
要使函数 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点，则需 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 趋向于正无穷时，指数函数 SKIPIF 1 < 0 的增长速率远远超过一次函数 SKIPIF 1 < 0 ，且趋向于正无穷，则 SKIPIF 1 < 0 趋向于正无穷，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点，
故选：A
二、多选题
13．（2023春·全国·高三竞赛）设直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并记点 SKIPIF 1 < 0 ．下列命题中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项
C．存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值
D．存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值
【答案】ABC
【解析】对于选项A：
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 无法相切，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项A正确；
对于选项B：
设切点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入点 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，
故选项B正确；
对于选项C与选项D：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，代入 SKIPIF 1 < 0 化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点时， SKIPIF 1 < 0 为定值4， SKIPIF 1 < 0 无法确定，
故选项C正确，选项D错误，
综上所述：选项ABC正确，
故选：ABC.
14．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 上一动点， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有（ ）．
A．直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的公切线；
B．曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的公切线有且仅有一条；
C． SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
D．当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】ACD
【解析】对于A，对函数 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切且斜率为1的直线切曲线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去x得： SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的公切线，A正确；
对于B，设曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的公切线与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，由选项A知，该切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去x得： SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，因此函数 SKIPIF 1 < 0 有0和 SKIPIF 1 < 0 两个零点，
显然当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 的解有0和 SKIPIF 1 < 0 两个，即曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的公切线有两条，B错误；
对于C，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时取等号，
而 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 在R上都递增，因此函数 SKIPIF 1 < 0 在R上递增，而 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 ，点Q为线段 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的交点时， SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确;
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因此函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确．
故选：ACD
15．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 存在两个极小值点,则 SKIPIF 1 < 0 的取值可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】解:由题知 SKIPIF 1 < 0 ,
定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
若 SKIPIF 1 < 0 存在两个极小值点,
则 SKIPIF 1 < 0 至少有三个变号零点,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以需 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上至少有两个不等于1的零点,
即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点,
故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递增,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递减,
因为指数函数增长比幂函数增长快,
所以当 SKIPIF 1 < 0 趋向于正无穷时, SKIPIF 1 < 0 远远大于 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 趋向于正无穷时, SKIPIF 1 < 0 趋向于0,
又因为 SKIPIF 1 < 0
由此画出 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 图象如下:
由图象可知: SKIPIF 1 < 0 ,
下证:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 有两个极小值点,
不妨记 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的两个不同交点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
可记 SKIPIF 1 < 0 ,
则当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递减,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递增,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递减,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递增,
故 SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点分别为 SKIPIF 1 < 0 符合题意,
故 SKIPIF 1 < 0 成立;
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
故选项A 正确;
取 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以在 SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递减,
在 SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递增,
注意到 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
故选项B正确;
取 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故选项C正确,
取 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故选项D错误.
故选:ACD
16．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则过点 SKIPIF 1 < 0 恰能作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线的充分条件可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知：此方程有且恰有两个解，令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以只要 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以只要 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以只要 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ；
④当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以选项 SKIPIF 1 < 0 正确， SKIPIF 1 < 0 正确， SKIPIF 1 < 0 错误， SKIPIF 1 < 0 正确，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
17．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
B． SKIPIF 1 < 0 恰有一个极大值和一个极小值
C．当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有一个实数解
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有一个实数解
【答案】AB
【解析】 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，A正确；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由上讨论知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无实数解，C错误；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由以上讨论知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有3个实数解，所以 SKIPIF 1 < 0 有3个实数解，D错误．
故选：AB．
三、填空题
18．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的最大值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】原不等式化为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
由于 SKIPIF 1 < 0 是任意实数， SKIPIF 1 < 0 也是任意实数，∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是任意实数，它们之间没有任何影响，
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是1，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
19．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
21．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在其定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则实数 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】2
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知函数 SKIPIF 1 < 0 在其定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得最大值，又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2
22．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有一个实数根，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是可得，当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 无解，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以此时方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上无零点，不符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的根为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有一个实数根
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
23．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不等式： SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 成立，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故设 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不等式： SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：20
24．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设实数 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意实数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则a的取值范围为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
下证：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
令 SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则只需证明 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立
由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 成立；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0
由①可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 成立．
综上，得证 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.若对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 变化时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的变化情况如下表：
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
因为对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以函数 SKIPIF 1 < 0 ．
故由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， 在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
26．（2023秋·湖北·高三统考期末）已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
单调减
单调增
单调减
一、导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：
①切点坐标满足原曲线方程；
②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.
二、不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数 SKIPIF 1 < 0 恒成立( SKIPIF 1 < 0 即可)或 SKIPIF 1 < 0 恒成立（ SKIPIF 1 < 0 即可）；
② 数形结合( SKIPIF 1 < 0 图象在 SKIPIF 1 < 0 上方即可)；
③ 讨论最值 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
三、根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合适的抽象函数.常见的构造方法：（1）若出现 SKIPIF 1 < 0 形式，可考虑构造 SKIPIF 1 < 0 ；（2）若出现 SKIPIF 1 < 0 ，可考虑构造 SKIPIF 1 < 0 ；（3）若出现 SKIPIF 1 < 0 ，可考虑构造 SKIPIF 1 < 0 ；（4）若出现 SKIPIF 1 < 0 ，可考虑构造 SKIPIF 1 < 0 .
四、函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
五、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
六、对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
【典型例题】
例1．（2023·重庆市朝阳中学高三月考）设 SKIPIF 1 < 0 ，若关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解决本题主要利用导数研究恒成立问题，利用导数求极值，并要运用分类讨论的思想.
例2．（2023·广东·佛山一中高三月考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，在函数 SKIPIF 1 < 0 图象上任取两点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的绝对值都不小于 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立， 则 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，将题目中直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的绝对值都不小于 SKIPIF 1 < 0 的为题，转化为函数单调递减的问题来解决，属于难题.
例3．（2023•杭州模拟）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，当实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 变化时， SKIPIF 1 < 0 最小值为 ，当 SKIPIF 1 < 0 取到最小值时， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】解： SKIPIF 1 < 0 ，
上述函数可理解为当横坐标相同时，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 图象上点的纵向距离，则 SKIPIF 1 < 0 即为函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，
由图象可知，当函数 SKIPIF 1 < 0 的图象刚好为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为2，此时 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：2， SKIPIF 1 < 0 ．
例4．（2023春•湖州期末）若存在正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】解：记 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ．
记 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
另解：正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时不等式取等号，
又 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时不等式取等号，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
例5．（2023·河北冀州中学高三期中（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 _________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ,
例6．（2023·全国·高三课时练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导数，经过探究发现，任意一个三次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象都有对称中心 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2021B． SKIPIF 1 < 0 C．2022D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
例7．（2023·河北武强中学高三月考）已知定义在R上的可导函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为偶函数， SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
解：令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在定义 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；①
又 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则不等式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由①得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
例8．（2023·全国·高三课时练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 既无极大值也无极小值，故选D.
例9．（2023•天河区二模）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为任意实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B．18C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】解： SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径 SKIPIF 1 < 0 的圆上，
SKIPIF 1 < 0 表示点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 的距离的平方，
设过切点 SKIPIF 1 < 0 的切线与过 SKIPIF 1 < 0 的法线垂直，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，且 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
可得切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心与切点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
例10．（2023•湖北模拟）设 SKIPIF 1 < 0 ．其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】解：由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 表示两点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离，
而 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离和 SKIPIF 1 < 0 与准线的距离的和再加上1，
由抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离和 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离的和再加上1，
由图象可得当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 的法线， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
即 SKIPIF 1 < 0 为切点，设为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
可得切点 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
构造 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
故选：B
【过关测试】
一、单选题
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）若e是自然对数的底数， SKIPIF 1 < 0 ，则整数m的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
从而 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 的最小值 SKIPIF 1 < 0 ，从而整数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是2.
故选：C.
2．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）若存在实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 对其公共定义域上的任意实数 SKIPIF 1 < 0 都满足： SKIPIF 1 < 0 恒成立，则称直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的一条“划分直线”．列命题正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间没有“划分直线”
B． SKIPIF 1 < 0 是函 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间存在的唯一的一条“划分直线”
C． SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间的一条“划分直线”
D．函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间存在“划分直线”，且 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间存在“划分直线”，则该直线必过点 SKIPIF 1 < 0 ，
设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，过点 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 的直线方程有且只有 SKIPIF 1 < 0 ，
下证 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间存在的唯一的一条“划分直线” SKIPIF 1 < 0 ，故A选项错误，B选项正确；
对于C选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，显然不满足 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故错误；
对于D选项，当 SKIPIF 1 < 0 时，显然满足 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：B
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若有且只有两个整数解使 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 无解；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 （舍）或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 如下图所示：
因为有且只有两个整数解使 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．（2023秋·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考期末）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，对于任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为当 SKIPIF 1 < 0 时，对于任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以有： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 显然恒成立；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
为使 SKIPIF 1 < 0 恒成立，只需 SKIPIF 1 < 0 恒成立；即 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选： SKIPIF 1 < 0
5．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 存在零点（参考数据 SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围充分不必要条件为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的图象恒在 SKIPIF 1 < 0 上方，
SKIPIF 1 < 0 若满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象必有交点，即 SKIPIF 1 < 0 存在零点.
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
有当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增.
SKIPIF 1 < 0 .
即当 SKIPIF 1 < 0 时，一定存在 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 存在零点，
因此 SKIPIF 1 < 0 是满足题意 SKIPIF 1 < 0 的取值范围的一个充分条件.
由选项可得，只有 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的取值范围的一个充分不必要条件.
故选： SKIPIF 1 < 0 .
6．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有且只有两个整数解，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】显然 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 区间 SKIPIF 1 < 0 内为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有且只有两个整数解，
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
因为关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有且只有两个整数解，
结合图形可知，满足题意的整数解只能是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
7．（2023·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极大值B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极小值
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上既有极大值又有极小值D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上没有极值
【答案】D
【解析】根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上没有极值.
故选项ABC说法错误，选项D说法正确.
故选：D
8．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为60°的单位向量，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】已知向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 的单位向量，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
9．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
其几何意义表示点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离的平方不超过 SKIPIF 1 < 0 ，即最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 上一点，
∴设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，且与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，由导数的几何意义， SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
∴解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的点与曲线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值即点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值集合为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
10．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，下列四个说法：
① SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
③任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ；
④若曲线 SKIPIF 1 < 0 上存在不同两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率均为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】B
【解析】对于①，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，取到等号，故①不正确；
对于②， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 恒成立，故②正确；
对于③，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
对于④，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
则可以得 SKIPIF 1 < 0 的图象如下：
因为曲线 SKIPIF 1 < 0 上存在不同两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率均为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 应存在两个不同的交点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故④不正确.
综上，②③正确，①④不正确.
故选：B.
11．（2023·江西·校联考一模）已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时，在同一坐标系中作出函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象，
显然，由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 不恒成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时，在同一坐标系中作出函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象，
显然，由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 不恒成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时，在同一坐标系中作出函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象，
由图可知，临界条件是直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的图象相切时，
由 SKIPIF 1 < 0 ，求导 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 的切线斜率为2时，切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
求导 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 取到最大值，且 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
12．（2023·全国·模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
要使函数 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点，则需 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 趋向于正无穷时，指数函数 SKIPIF 1 < 0 的增长速率远远超过一次函数 SKIPIF 1 < 0 ，且趋向于正无穷，则 SKIPIF 1 < 0 趋向于正无穷，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点，
故选：A
二、多选题
13．（2023春·全国·高三竞赛）设直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并记点 SKIPIF 1 < 0 ．下列命题中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项
C．存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值
D．存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值
【答案】ABC
【解析】对于选项A：
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 无法相切，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项A正确；
对于选项B：
设切点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入点 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，
故选项B正确；
对于选项C与选项D：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，代入 SKIPIF 1 < 0 化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点时， SKIPIF 1 < 0 为定值4， SKIPIF 1 < 0 无法确定，
故选项C正确，选项D错误，
综上所述：选项ABC正确，
故选：ABC.
14．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 上一动点， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有（ ）．
A．直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的公切线；
B．曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的公切线有且仅有一条；
C． SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
D．当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】ACD
【解析】对于A，对函数 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切且斜率为1的直线切曲线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去x得： SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的公切线，A正确；
对于B，设曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的公切线与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，由选项A知，该切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去x得： SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，因此函数 SKIPIF 1 < 0 有0和 SKIPIF 1 < 0 两个零点，
显然当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 的解有0和 SKIPIF 1 < 0 两个，即曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的公切线有两条，B错误；
对于C，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时取等号，
而 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 在R上都递增，因此函数 SKIPIF 1 < 0 在R上递增，而 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 ，点Q为线段 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的交点时， SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确;
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因此函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确．
故选：ACD
15．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 存在两个极小值点,则 SKIPIF 1 < 0 的取值可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】解:由题知 SKIPIF 1 < 0 ,
定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
若 SKIPIF 1 < 0 存在两个极小值点,
则 SKIPIF 1 < 0 至少有三个变号零点,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以需 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上至少有两个不等于1的零点,
即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点,
故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递增,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递减,
因为指数函数增长比幂函数增长快,
所以当 SKIPIF 1 < 0 趋向于正无穷时, SKIPIF 1 < 0 远远大于 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 趋向于正无穷时, SKIPIF 1 < 0 趋向于0,
又因为 SKIPIF 1 < 0
由此画出 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 图象如下:
由图象可知: SKIPIF 1 < 0 ,
下证:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 有两个极小值点,
不妨记 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的两个不同交点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
可记 SKIPIF 1 < 0 ,
则当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递减,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递增,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递减,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递增,
故 SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点分别为 SKIPIF 1 < 0 符合题意,
故 SKIPIF 1 < 0 成立;
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
故选项A 正确;
取 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以在 SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递减,
在 SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递增,
注意到 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
故选项B正确;
取 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故选项C正确,
取 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故选项D错误.
故选:ACD
16．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则过点 SKIPIF 1 < 0 恰能作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线的充分条件可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知：此方程有且恰有两个解，令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以只要 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以只要 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以只要 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ；
④当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以选项 SKIPIF 1 < 0 正确， SKIPIF 1 < 0 正确， SKIPIF 1 < 0 错误， SKIPIF 1 < 0 正确，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
17．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
B． SKIPIF 1 < 0 恰有一个极大值和一个极小值
C．当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有一个实数解
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有一个实数解
【答案】AB
【解析】 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，A正确；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由上讨论知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无实数解，C错误；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由以上讨论知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有3个实数解，所以 SKIPIF 1 < 0 有3个实数解，D错误．
故选：AB．
三、填空题
18．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的最大值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】原不等式化为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
由于 SKIPIF 1 < 0 是任意实数， SKIPIF 1 < 0 也是任意实数，∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是任意实数，它们之间没有任何影响，
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是1，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
19．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
21．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在其定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则实数 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】2
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知函数 SKIPIF 1 < 0 在其定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得最大值，又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2
22．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有一个实数根，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是可得，当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 无解，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以此时方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上无零点，不符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的根为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有一个实数根
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
23．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不等式： SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 成立，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故设 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不等式： SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：20
24．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设实数 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意实数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则a的取值范围为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
下证：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
令 SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则只需证明 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立
由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 成立；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0
由①可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 成立．
综上，得证 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.若对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 变化时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的变化情况如下表：
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
因为对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以函数 SKIPIF 1 < 0 ．
故由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， 在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
26．（2023秋·湖北·高三统考期末）已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
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