新高考数学一轮复习考点讲义：第07章第3讲等比数列（含解析）

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一 等比数列的有关概念
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1qn－1.
3．等比中项
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
二 等比数列的有关公式
1．通项公式：an＝a1qn－1.
2．前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1)).
三 等比数列的性质
1．通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
2．对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,k).
3．若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．
4．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
5．若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a13，即证eq \f(1,2 eq \s\up15( eq \f (1,12)) －1)>4，即证eq \f(5,4)>2 eq \s\up15( eq \f (1,12)) ，即证eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))12>2，
而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))12>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))6>2成立，故C正确；
N＝M＋3.
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))12>(1.4)6>(1.9)3>2，
所以eq \f(6,5)>2 eq \s\up15( eq \f (1,12)) ，所以eq \f(1,2 eq \s\up15( eq \f (1,12)) －1)>5，
所以－1－eq \f(1,1－2 eq \s\up15( eq \f (1,12)) )>4，即M>4.
所以N＝M＋3>7，故D错误．
答案：(1)A (2)D
题型 等比数列性质的多维研讨
维度1 等比数列通项的性质
典例2(1)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a8)的值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
(2)在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1 011＝3，那么lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a2 021＝( )
对数运算性质的应用，同时运用等比数列积的对称性．
A．4 042 B．2 021
C．4 036 D．2 018
解析：(1)eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a8)＝eq \f(a1＋a8,a1a8)＋eq \f(a2＋a7,a2a7)＋eq \f(a3＋a6,a3a6)＋eq \f(a4＋a5,a4a5).
巧妙应用积的对称性，把两个条件代入求值，此法只适用于偶数项的情形．若奇数项呢？a1＋a2＋…＋a7＝8，且a1·a2·a3·…·a7＝128，求eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a7)的值，可先求a4＝2，a1·a7＝a2·a6＝a3·a5＝4.
因为a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5，所以原式＝eq \f(a1＋a2＋…＋a8,a4a5)＝eq \f(4,a4a5)，又a1a2·…·a8＝16＝(a4a5)4，an>0，所以a4a5＝2，所以eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a8)＝2.故选A.
(2)因为a1 011＝3，所以a1a2…a2 021＝(a1 011)2 021＝32 021，所以lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a2 021＝lg3(a1a2…a2 021)＝lg332 021＝2 021. 故选B.
在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有aman＝apaq”，则可减少运算量．解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．
对点练2(1)在等比数列{an}中，a1，a17是方程x2－14x＋9＝0的两根，则eq \f(a2a16,a9)的值为( )
A.eq \r( ,14) B．3
C．±eq \r( ,14) D．±3
(2)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知00.又数列{an}为等比数列，所以a1a17＝a2a16＝aeq \\al(2,9)＝9，且a9>0，所以a9＝3，因此eq \f(a2a16,a9)＝a9＝3.故选B.
(2)由T12＝T6得eq \f(T12,T6)＝1，即a7a8a9a10a11a12＝(a9a10)3＝1，故a9a10＝1，因为a1a18＝a9a10，则a1a18＝1，由于0