新高考数学一轮复习考点讲义：第07章第1讲数列的概念及简单表示（含解析）

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一 数列的有关概念
二 数列的分类
三 数列的表示方法
1．表示方法
2.数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2，…，n})的函数an＝f(n)，当自变量由小到大依次取值时所对应的一系列函数值．
四 an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
常/用/结/论
在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若an最小，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
数列中求最值的方法．
1．判断下列结论是否正确．
(1)1,2,1和1,1,2是同一个数列．()
(2)1,1,1,1，…不能构成一个数列．()
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．()
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(√)
2．已知在数列{an}中，an＝－2n2＋25n＋30(n∈N*)，则数列{an}中的最大值是( )
A．107 B．108
C．108eq \f(1,8) D．109
解析：由题意可知an＝－2n2＋25n＋30＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(25,4)))2＋108eq \f(1,8)，由于n∈N*，故当n取距离eq \f(25,4)最近的正整数6时，an取得最大值108.∴数列{an}中的最大值为a6＝108.
答案：B
3．(多选)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项公式可能是( )
A．an＝(－1)n－1＋1
B．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n为奇数，,0，n为偶数))
C．an＝2sineq \f(nπ,2)
D．an＝cs(n－1)π＋1
解析：对n＝1,2,3,4进行验证，得an＝2sineq \f(nπ,2)不合题意，其他都可能．
答案：ABD
4．中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，每一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶，每一层长、宽各比上一层多一个，共堆放n层．假设最上层有长2、宽1共2个木桶，共堆放15层，则最底层木桶的个数为________．
解析：最上层有2个，
第2层有(1＋1)×(2＋1)＝2×3(个)，
第3层有(2＋1)×(3＋1)＝3×4(个)，
…
第15层有15×16＝240(个)．
答案：240
题型 归纳法求通项公式
典例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式an.
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8，eq \f(25,2)，…；
(3)4,44,444,4 444，…；
(4)1,0，eq \f(1,3)，0，eq \f(1,5)，0，eq \f(1,7)，0，…；
(5)eq \f(2,3)，eq \f(4,15)，eq \f(6,35)，eq \f(8,63)，eq \f(10,99)，….
解：(1)符号可通过(－1)n或(－1)n＋1调节，其各
调节奇偶项的符号变化．
项的绝对值的排列规律：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)数列的项有的是分数，有的是整数，可先将各
分数型数列常有的结构特点：①分子的变化规律；②分母的变化规律；③分子分母间的联系．
项都统一写成分数的形式再观察：eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，eq \f(25,2)，…，故所求数列的一个通项公式为an＝eq \f(n2,2).
(3)将原数列改写为eq \f(4,9)×9，eq \f(4,9)×99，eq \f(4,9)×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故原数列
基础数列推广到其他形式．
的一个通项公式为an＝eq \f(4,9)(10n－1)．
(4)把原数列改写成eq \f(1,1)，eq \f(0,2)，eq \f(1,3)，eq \f(0,4)，eq \f(1,5)，eq \f(0,6)，eq \f(1,7)，eq \f(0,8)，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…呈周期性出现，因此原数列的一个通项公式为an＝eq \f(1＋－1n＋1,2n). 摆动数列常见的设计就是1＋(－1)n＋1.
(5)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积，故所求数列的一个通项公式为an＝eq \f(2n,2n－12n＋1).
由前几项求数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等．
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n＋1，n∈N*处理.eq \(\s\up7( ),\s\d5( ))
对点练1(1)(2024·山东菏泽联考)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图中的小正方形的个数f(n)为( )
A.eq \f(n＋1n＋2,2) B.eq \f(n＋2n＋3,2)
C.eq \f(n,2) D.eq \f(n2＋n,2)
(2)数列eq \f(1,3)，eq \f(1,8)，eq \f(1,15)，eq \f(1,24)，eq \f(1,35)，…的通项公式是an＝________.
解析：(1)由题意可得f(1)＝2＋1；f(2)＝3＋2＋1；f(3)＝4＋3＋2＋1；f(4)＝5＋4＋3＋2＋1；f(5)＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…；∴f(n)＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋1＝eq \f(n＋1n＋2,2).
(2)由题意得，a1＝eq \f(1,1×1＋2)＝eq \f(1,3)，
a2＝eq \f(1,2×2＋2)＝eq \f(1,8)，
a3＝eq \f(1,3×3＋2)＝eq \f(1,15)，
a4＝eq \f(1,4×4＋2)＝eq \f(1,24)，
a5＝eq \f(1,5×5＋2)＝eq \f(1,35)，
通过观察，我们可以得到an＝eq \f(1,nn＋2)，n∈N*.
答案：(1)A (2)eq \f(1,nn＋2)，n∈N*
题型 对于an与Sn关系的多维研讨
维度1 已知Sn求an
典例2(2024·江西清江中学期末)药物浪费问题引发了广泛的社会关注，过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量(单位：万件)为T(n)＝eq \f(1,4)n(n＋1)(n＋3)，如果年产量超过60万件，可能出现产量过剩，产生药物浪费．从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为( )
即an≤60的取值范围中n(n∈N*)的最大值．
A．7年 B．8年
C．9年 D．10年
解析：设第n年年产量为an，则第一年年产量为a1＝T1＝2，以后各年年产量为an＝T(n)－T(n－1)＝eq \f(1,4)n(3n＋5)(n≥2，n∈N*)，
【易错提醒】an的表达式中出现n－1，考虑实际意义，需要对n的范围进行限制，再对没有取到的n进行检验．
a1＝2也符合上式，所以an＝eq \f(1,4)n(3n＋5)(n∈N*)．
令eq \f(1,4)n(3n＋5)≤60，得3n2＋5n－240≤0.
设f(x)＝3x2＋5x－240，其图象的对称轴为直线x＝－eq \f(5,6)，则当x>0时，f(x)单调递增．
又f(8)＝3×82＋5×8－240＝－80，
可用验证法，从选项中选出正确选项！
所以3n2＋5n－240≤0的最大正整数解为n＝8，则这条生产线的最大生产期限应拟定为8年．
故选B.
已知Sn求an的一般步骤
(1)当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值．
(2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式．
(3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an.
(4)写出an的完整表达式.eq \(\s\up7( ),\s\d5( ))
对点练2(1)(2024·福建福州质检)已知数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝eq \f(n,2)，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式．
①Sn＝2n2－3n；
②Sn＝2n＋2－3.
(1)解析：∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝eq \f(n,2)，①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝eq \f(n－1,2)，②
①－②得，2n－1an＝eq \f(1,2)，∴an＝eq \f(1,2n)(n≥2)，③
又∵a1＝eq \f(1,2)也适合③式，∴an＝eq \f(1,2n)(n∈N*)．
答案：an＝eq \f(1,2n)(n∈N*)
(2)解：①当n＝1时，a1＝S1＝－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.
∵a1也满足此等式，∴an＝4n－5.
②根据题意，数列{an}满足Sn＝2n＋2－3，
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1，
当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，故an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5，n＝1，,2n＋1，n≥2.))
维度2 已知an与Sn的关系求an
典例3(2024·湖北武汉模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－eq \f(16,5)，且5an＋1＋Sn＋16＝0，则an＝________.
欲求通项，一般应先得到递推公式，在此基础上，构造等差、等比数列，本例中则在演绎第二个代数式，相减得到an的递推．
解析：当n＝1时，5a2＋a1＋16＝0，∴a2＝－eq \f(64,25)，
由5an＋1＋Sn＋16＝0①，得5an＋Sn－1＋16＝0(n≥2)②，【易错提醒】利用an＝Sn－Sn－1时，注意n≥2的条件限制．
①－②得5an＋1＝4an(n≥2)，
∵a2＝－eq \f(64,25)≠0，∴an≠0，∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(4,5)(n≥2)，
又eq \f(a2,a1)＝eq \f(4,5)，∴{an}是首项为－eq \f(16,5)，
验证前两项也符合公比的形式．
公比为eq \f(4,5)的等比数列，
∴an＝－eq \f(16,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n－1＝－4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n.
故答案为－4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n.
利用an与Sn的关系式求通项公式
已知an与Sn的关系式求an时，一般有两种基本思路：
(1)消去Sn，根据已给出的关系式，令n＝n＋1(n∈N*)或n＝n－1(n≥2)，再写出一个式子，然后将两式相减，消去Sn，得到an与an＋1或an与an－1的关系，从而确定数列{an}是等差数列或等比数列，然后求出其通项公式．
(2)消去an，令an＝Sn－Sn－1(n≥2)，代入an与Sn的关系式中，消去an，得到Sn与Sn－1的关系，从而确定数列{Sn}是等差数列或等比数列，求出Sn后再求得an.
对点练3设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则an＝________.
解析：由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，
两边同时除以Sn＋1Sn，得eq \f(1,Sn＋1)－eq \f(1,Sn)＝－1.
故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则eq \f(1,Sn)＝－1－(n－1)＝－n.
所以Sn＝－eq \f(1,n).
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－eq \f(1,n)＋eq \f(1,n－1)＝eq \f(1,nn－1)，当n＝1时，不符合此式，故an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，n＝1，,\f(1,nn－1)，n≥2.))
答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，n＝1，,\f(1,nn－1)，n≥2))
题型 由数列的递推关系求通项公式(累加法与累乘法)
典例4分别求出满足下列条件的数列的通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＝eq \f(n,n－1)an－1(n≥2，n∈N*)．
eq \f(an,n)＝eq \f(an－1,n－1)
解：(1)当n≥2，n∈N*时，an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋
结合已知条件，构造累加法，这里有一个求和的过程．
(2n－3)＝(n－1)2，当n＝1时，也符合上式．
所以该数列的通项公式为an＝(n－1)2(n∈N*)．
(2)当n≥2，n∈N*时，
an＝a1×eq \f(a2,a1)×eq \f(a3,a2)×…×eq \f(an,an－1)＝1×eq \f(2,1)×eq \f(3,2)×eq \f(4,3)×…×eq \f(n,n－1)＝n，当n＝1时，也符合上式．
构造累乘法，体会消项、约分的细节，留下哪些项，约去哪些项．
所以该数列的通项公式为an＝n(n∈N*)．
1．累加法求通项公式
如果数列{an}的递推公式满足an＋1－an＝f(n)的形式，且f(n)可求和，那么就可以运用累加法an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，
细节是适用于n≥2的各项．
求出数列{an}的通项公式．
2．累乘法求通项公式
如果数列{an}的递推公式满足eq \f(an＋1,an)＝f(n)(an≠0)的形式，且f(n)可求积，那么就可以运用累乘法an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·eq \f(an－2,an－3)·…·eq \f(a2,a1)·a1(n≥2)，求出数列{an}的通项公式.
对点练4(1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2－2an＋1＋an＝eq \f(1,2)，则a100＝( )
A.eq \f(5 049,2) B．2 525
C.eq \f(5 051,2) D．2 526
(2)数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)，则a6＝________.
解析：(1)由已知得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝eq \f(1,2)，
∴数列{an＋1－an}为等差数列，∴an＋1－an＝(a2－a1)＋eq \f(1,2)(n－1)＝eq \f(n＋1,2)，∴an－an－1＝eq \f(n,2)，…，a3－a2＝eq \f(3,2)，a2－a1＝eq \f(2,2)，∴an－a1＝(an－an－1)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝eq \f(1,2)(2＋3＋…＋n)，解得an＝eq \f(n2＋n＋2,4)(n≥2)，∴a100＝eq \f(5 051,2).
(2)由题意得an＋1＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＋nan①，当n＝1时，a2＝a1，当n≥2时，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1②，①－②得an＋1－an＝nan⇒an＋1＝(n＋1)an(n≥2)，所以a1＝1，eq \f(a2,a1)＝1，eq \f(a3,a2)＝3，eq \f(a4,a3)＝4，…，eq \f(an,an－1)＝n，累乘得an＝eq \f(n！,2)(n≥2)，所以a6＝eq \f(6！,2)＝360.
答案：(1)C (2)360
题型 数列函数性质的多维研讨
维度1 数列的单调性
典例5(多选)(2024·河北秦皇岛期末)在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、队列要素法等多种方法，其中直接推算法使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(P0>0，k>－1，n∈N*)，Pn为预测期
这里k的实际意义应是年增长率，k＞0时，人口正增长；k＜0时，人口负增长．
人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口增长率，n为预测期间隔年数．则下列说法正确的有( )
A．若在某一时期内－1Pn，
增减性可由实际意义直接判断．
所以这期间人口数呈上升趋势
√
C
由B选项可知，在某一时期内0