新高考数学二轮专题拔高点突破训练04 多元函数最值与双重变量最值问题（十三大题型）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc169278861" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc169278861 \h 2
\l "_Tc169278862" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc169278862 \h 2
\l "_Tc169278863" 题型一：消元法 PAGEREF _Tc169278863 \h 2
\l "_Tc169278864" 题型二：判别式法 PAGEREF _Tc169278864 \h 4
\l "_Tc169278865" 题型三：基本不等式法 PAGEREF _Tc169278865 \h 5
\l "_Tc169278866" 题型四：辅助角公式法 PAGEREF _Tc169278866 \h 6
\l "_Tc169278867" 题型五：柯西不等式法 PAGEREF _Tc169278867 \h 8
\l "_Tc169278868" 题型六：权方和不等式法 PAGEREF _Tc169278868 \h 9
\l "_Tc169278869" 题型七：拉格朗日乘数法 PAGEREF _Tc169278869 \h 11
\l "_Tc169278870" 题型八：三角换元法 PAGEREF _Tc169278870 \h 12
\l "_Tc169278871" 题型九：构造齐次式 PAGEREF _Tc169278871 \h 13
\l "_Tc169278872" 题型十：数形结合法 PAGEREF _Tc169278872 \h 15
\l "_Tc169278873" 题型十一：向量法 PAGEREF _Tc169278873 \h 18
\l "_Tc169278874" 题型十二：琴生不等式法 PAGEREF _Tc169278874 \h 21
\l "_Tc169278875" 题型题型十三：双重变量最值问题 PAGEREF _Tc169278875 \h 23
\l "_Tc169278876" 03 过关测试 PAGEREF _Tc169278876 \h 26
解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．
题型一：消元法
【典例1-1】已知正实数x，y满足，则的最大值为______.
【答案】/
【解析】由得，所以，则，
因为，，，所以，
令，则，所以在上单调递增，
所以由，即，得，所以，
所以，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即的最大值为．
故答案为：．
【典例1-2】已知实数满足：，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】由已知得，，
令，则，
在上单调递增，
又因为，
所以
，
，
令
所以，
则当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以.
故答案为：.
【变式1-1】对任给实数,不等式恒成立,则实数的最大值为__________.
【答案】
【解析】因为对任给实数,不等式恒成立，
所以，
令，则，
，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最小值，，
所以实数的最大值为
故答案为：
题型二：判别式法
【典例2-1】（2024·广东茂名·二模）已知实数a，b满足，则的最小值是 .
【答案】
【解析】因为实数a，b满足，
所以，且.
令，则，所以，
代入，则有，
所以关于b的一元二次方程有正根，
只需，解得：.
此时，关于b的一元二次方程的两根，所以两根同号，只需，解得.
综上所述：.
即的最小值是（此时，解得：）.
故答案为：.
【典例2-2】已知，且，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以.
又因为，
所以，解得.
故答案为：.
【变式2-1】（2024·浙江·二模）设，，若，且的最大值是，则 .
【答案】4
【解析】令=d，由消去a得：，即，
而，，则，，，
依题意，解得.
故答案为：4
【变式2-2】设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则 .
【答案】2
【解析】化简得到，根据和得到，解得答案.，则，则，
即，，故，
，即，即，
.
故答案为：2.
题型三：基本不等式法
【典例3-1】已知，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，，
，当且仅当时等号成立.
，的最小值为.
故答案为：
【典例3-2】已知正实数，，满足，则的最小值为 ．
【答案】10
【解析】解析：易知恒等式，而
，
当且仅当，时，等号成立．
故答案为：10.
【变式3-1】已知，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】，当且仅当时取到等号．
故答案为：.
【变式3-2】（2024·河南郑州·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】因为，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
题型四：辅助角公式法
【典例4-1】设是一个三角形的三个内角，则的最小值为 .
【答案】
【解析】
，
令，
所以，
要想有最小值，显然为钝角，即，
于是有，
设，
因为，
所以
令，即，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因此当时，函数有最大值，
所以的最小值为，
此时，，
即存在，显然存在，使得，
即的最小值为，
故答案为：
【典例4-2】曲线上的点到坐标原点的距离的最小值等于 ．
【答案】
【解析】由已知，设，，则，
,
∴，∴.
故答案为：.
【变式4-1】已知，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】设，，则，而，显然，
因此
，其中锐角由确定，
函数，当时，，当时，，
因此，即有，
所以的最小值为.
故答案为：
题型五：柯西不等式法
【典例5-1】实数x、y满足，则的最大值是
【答案】42
【解析】注意，，，这三者相加即得.
当，时等号成立，所以的最大值是42.
也可以直接用柯西（Cauchy）不等式，得到最大值为42.
故答案为42
【典例5-2】函数的最大值与最小值之积为 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
一方面，，
等号当时取得；
另一方面，，
当且仅当时等号成立，
于是最大值为，最小值为，所求乘积为．
故答案为：.
【变式5-1】已知则的最大值为
【答案】
【解析】由柯西不等式，
则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
【变式5-2】已知，，，则的最大值是 .
【答案】2
【解析】由柯西不等式得
所以，当, 即时等号成立.
所以，即的最大值是2
题型六：权方和不等式法
【典例6-1】已知为锐角，则的最小值为 .
【答案】
【解析】
当且仅当即，时取“”.
故答案为：
【典例6-2】求的最大值为
【答案】
【解析】
当且仅当，即或时取等号
故答案为：.
【变式6-1】已知，求的最小值为
【答案】
【解析】
当且仅当时取等号
故答案为：60
【变式6-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，，
则，
当且仅当，即时等号成立，所以．
故选：C．
题型七：拉格朗日乘数法
【典例7-1】，，，求的最小值．
【解析】令
，，，
联立解得，，，故最小为12．
【典例7-2】设为实数，若，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】令，
由，解得，
所以的最大值是．
【变式7-1】已知为非负数,,求的最值.
【解析】设,
当时,取最值且.
又为非负数,且
故或为可能取最值处，则.
综上可知.
题型八：三角换元法
【典例8-1】函数的值域为 .
【答案】
【解析】令，由得，
则，，
所以.
故答案为：.
【典例8-2】函数的值域是 ．
【答案】
【解析】，
令，则，
由此，，当时两边分别取得等号．
故答案为：.
【变式8-1】函数的值域是区间 ．
【答案】
【解析】显然函数定义域为，在此区间内，
由于，即，
故有角使得，．
于是，
因为，则．
在此范围内，则有．
因此．（当时，；当时，）
故答案为
【变式8-2】若，且，则二元函数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】配方得
令，，则，
从而，，其中，
由此易知的值域为.选A.
题型九：构造齐次式
【典例9-1】已知，，则的最大值是______.
【答案】
【解析】由题意，
，
设，则，当且仅当，即取等号，
又由在上单调递增，
所以的最小值为，即，
所以，
所以的最大值是.
故答案为：.
【典例9-2】已知实数，若，则的最小值为（ ）
A．12B．C．D．8
【答案】A
【解析】由，，，
所以
，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为：12，
故选：A.
【变式9-1】（2024·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足，则的最大值为____________．
【答案】/0.25
【解析】由，得，
∵正实数a，b，c
∴则
则，
当且仅当，且a，b>0，即a=3b时，等号成立
则
所以，的最大值为.
故答案为：.
题型十：数形结合法
【典例10-1】的最小值为（ ）
A．5B．C．6D．
【答案】C
【解析】设，则，则曲线为抛物线的右半部分．抛物线的焦点为，设点到准线l：的距离为d，点P为抛物线的右半部分上一点，设P到准线l：的距离为，
则
．
故选：C
【典例10-2】（2024·高三·山西太原·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由解得为函数的定义域.令，消去得，图像为椭圆的一部分，如下图所示.，即直线，由图可知，截距在点处取得最小值，在与椭圆相切的点处取得最大值.而，故最小值为.联立，消去得，其判别式为零，即，解得（负根舍去），即，故.
【变式10-1】（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，，则点在函数图象上，在函数的图象上，
容易知道图象是抛物线图象的上半部分，
记抛物线焦点为，过 作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示：
则，
当且仅当在线段 上时，取最小值.
设这时点坐标为，又，
所以有，解得 ，即该点为，
所以，因此.
故选：A.
【变式10-2】已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】D
【解析】由已知表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
所以，
过点作，垂足为，
因为直线的方程为，，
所以，
又直线与直线平行，，
所以，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，
又，当且仅当三点共线时等号成立，
所以当点为线段与直线的交点时，
取最小值，最小值为，
因为过点与直线垂直的直线的方程为，
联立，可得，
所以点的坐标为，所以，
所以的最小值为，
故选：D.
题型十一：向量法
【典例11-1】（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】因，由可得，
即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，
又由可得，不妨设，
则，，于是，
因，则，因，当且仅当时，等号成立，
即当时，取得最小值.
故答案为：.
【典例11-2】如图，圆是的外接圆，，，，若，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】如图，分别取的中点，连接，
则，
故，
，
又，
，
所以，解得，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是.
故答案为：.
【变式11-1】（2024·浙江杭州·二模）已知都是单位向量，且，则的最小值为 ；最大值为
【答案】
【解析】因为都是单位向量，且，
设，
则
取当取时，
即，
则有
，，
此时有：，
同理当时，有
，，
此时有：
故的最小值为；最大值为
故答案为：；
【变式11-2】（2024·四川成都·二模）已知向量，向量，则的最大值是 ．
【答案】4
【解析】因为向量，向量，
所以，
则
，
所以当时，即时，取最大值，
故答案为：.
题型十二：琴生不等式法
【典例12-1】在内，求的最大值 ．
【答案】/
【解析】在中，，
设函数，则在上为凸函数，
由琴生不等式可得 ，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故答案为：.
【典例12-2】已知函数，则的最小值是 .
【答案】
【解析】定义域为R，
，
故为奇函数，
又，
故是周期函数，周期，
先考虑，函数，在上恒成立，
故在上是上凸函数，
由琴生不等式得
.
当且仅当时，.
又因为是奇函数，所以.
故答案为：
【变式12-1】半径为的球的内接三棱锥的体积的最大值为 .
【答案】
【解析】设三棱锥为，的外接圆半径为，则，
当且仅当时，上式等号成立，
若球心到平面的距离为，则

，
当且仅当三棱锥为正四面体时，上式等号成立.
【变式12-2】半径为的圆的内接三角形的面积的最大值是 ．
【答案】
【解析】设的内接三角形为．
显然当是锐角或直角三角形时，面积可以取最大值（因为若是钝角三角形，可将钝角（不妨设为）所对边以圆心为对称中心作中心对称成为）．
因此，．
下面设，，，．
则．
由讨论知可设、、，而在上是上凸函数．
则由琴生不等式知．
所以，．
当且仅当是正三角形时，上式等号成立．
故答案为
题型题型十三：双重变量最值问题
【典例13-1】规定表示取、中的较大者，例如，，则函数的最小值为 .
【答案】
【解析】在同一直角坐标系中分别画出与的图象如图，
两个函数的图象有四个交点A，B，C，D．由图可知，B为函数图象的最低点，联立方程组，解得或（舍去），
所以的最小值为．
故答案为：．
【典例13-2】（2024·广东韶关·二模）定义，对于任意实数，则的值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，
得，
设，则，
令，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故，即，
得，
所以，
得，即.
故选：A
【变式13-1】设，则 .
【答案】.
【解析】设，则，
所以.
设给定的正实数，，
令，解得，，所以.
则，
当且仅当 ，时等号均成立，
故的最大值为,
故答案为：.
【变式13-2】（2024·全国·模拟预测）设为实数中最大的数．若，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设，
则，，，
因为 ，当时，只需考虑，，
又因为，，
两式相乘得，可得，当且仅当时取等号，
当时，，只需考虑，，
两式相乘得，
则，当且仅当时取等号，
因为，故，综上所述，的最小值为．
故答案为：.
1．已知直线与抛物线相交于，两点，若，则的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．16
【答案】B
【解析】由题意可知，直线的斜率不可能为0，设直线的方程为，
由，消去，得
设，则，
所以.
因为，
所以，解得，
当且仅当即时，取的最小值为,
所以的最小值为.
故选：B.
2．函数的值域为 .
【答案】
【解析】解法一：.
设，则.
由，得.
所以f(x)的值域为.
解法二：.
因为时，f'(x)>0；时，f'(x)