新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题04 函数中的双变量问题（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc144404634" 题型1二次函数中的双变量问题 PAGEREF _Tc144404634 \h 1
\l "_Tc144404635" 题型2构造函数法2
\l "_Tc144404636" 题型3同构法3
\l "_Tc144404637" 题型4换元法（整体法）4
\l "_Tc144404638" 题型5选取主元法4
\l "_Tc144404639" 题型6变换主元法5
\l "_Tc144404640" 题型7参变分离6
题型1二次函数中的双变量问题
【例题1】（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）二次函数与在它们的一个交点处切线互相垂直，则的最小值为 .
【变式1-1】1. （2022秋·江苏宿迁·高三校考开学考试）已知二次函数，满足为偶函数，且方程有两个相等的实数根，若存在区间使得的值域为，则 ．
【变式1-1】2. （2023·河北·高三考试）已知二次函数 ，满足，且在区间上的最大值为，若函数有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知是二次函数，，且，则 .
【变式1-1】4. （2023·全国·高三专题练习）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为 .
【变式1-1】5. （2023·全国·高三专题练习）已知二次函数(，，均为正数)过点，值域为，则的最大值为 ；实数满足，则取值范围为 .
题型2构造函数法
【例题2】（2021•海淀区校级月考）若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】1. （2023·辽宁锦州·统考二模）已知实数，，满足且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】2. （2021·山东泰安·统考模拟预测）已知且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．不存在满足
【变式2-1】3. （2022秋·辽宁丹东·高三凤城市第一中学校考阶段练习）已知满足，若对任意的，恒成立，则实数k的最小值为 ．
【变式2-1】4. （2021·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知实数满足，则 .
【变式2-1】5.（2022·江西九江·统考二模）若存在正实数，使得成立，则的取值范围是 .
题型3同构法
【例题3】（2021•龙凤区校级月考）已知，不等式对于任意恒成立，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】1．（2023·广东梅州·统考三模）已知实数，满足，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【变式3-1】2. （2023秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）若函数 且存在极大值点，则的取值范围是 ．
【变式3-1】3. （2022秋•南关区校级月考）设实数，若对任意的，不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】4.（2022·全国·高三专题练习）设，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为 ．
【变式3-1】5.（2023秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知恒成立，则t的取值范围是 ．
题型4换元法（整体法）
【例题4】（2023·全国·高三专题练习）实数满足，且，当时，则的范围是 .
【变式4-1】1. （2020·上海·高三专题练习）若实数满足.则的最小值为
【变式4-1】2. （2021•杭州二模）若，，设，则的最小值为 ．
【变式4-1】3. （2023春•台州期末）若 ，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
题型5选取主元法
【例题5】（2021•浙江模拟）已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则（ ）
A．b的最小值为4B．b的最小值为6
C．b的最小值为8D．b的最小值为10
【变式5-1】1. （2022春•金华期末）若存在正实数，使得，则
A．实数的最大值为B．实数的最小值为
C．实数的最大值为D．实数的最小值为
【变式5-1】2. （2021•浦江县模拟）已知实数满足，则的最小值为
A．B．C．D．
【变式5-1】3. （2021春•金东区校级期中）若正数，，满足，则的最大值是 .
【变式5-1】4. （2022秋•上海月考）设函数，若当时，恒成立，则的取值范围是 ．
题型6变换主元法
【例题6】（2021•沙坪坝区校级模拟）已知函数在区间上有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】1.已知时不等式恒成立，求实数x的取值范围
【变式6-1】2. （2023·辽宁大连·校考模拟预测）已知函数，若，在时恒成立，则θ的取值范围是
【变式6-1】3. （2020春·江苏·高三专题练习）若对任意正实数恒成立，则实数的取值范围是
【变式6-1】4.（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）若，则的取值范围是 .
题型7参变分离
【例题7】（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）设函数，若不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ．
【变式7-1】1．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【变式7-1】2. （2021秋•江西月考）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
【变式7-1】3. （2021秋•江西月考）不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-1】4.（2023·浙江金华·统考模拟预测）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
1 .（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．当时，函数的最大值为
C．关于的不等式的解为或
D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则
2.（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知，若关于的方程无解，则实数的取值范围是 .
3.（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式有解，则的取值范围是 .（其中）
4．（2023·西藏昌都·校考模拟预测）函数在在区间上单调递增，则k得取值范围是（ ）
A．B．
C．D．（-，1]
5．（2021·陕西榆林·陕西省神木中学校考三模）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为 .
6．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在R上的奇函数与偶函数满足，若，则的取值范围是 .
7．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
8．（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ．
一元二次函数中的双变量问题，注意对称轴的使用
一些双变量问题具有相同的形式，我们可以通过构造函数，进行变量统一，找到共同的函数，分析所构造函数的单调性解决比较大小，最值取值范围等问题.
当指对函数同时出现时，可以考虑进行同构化简，构造函数.
多变量同时出现时，可以把相同形式变量放在一起，通过整体换元，或者看做一个整体，进行整体分析.
多个变元一起出现时可以选择其中一个作为主元，另一个看做常量，分析函数的性质
我们通常把x看做主元，但是变量比较多时，可以选择函数简单的变量作为分析的主元，一次分析不同主元的性质.
多个变量的不等式，可以通过参变分离把变元分开，进行求解.