新高考数学二轮复习高分突破训练第18讲 多变量范围与最值问题（2份，原卷版+解析版）

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1.消元法：
（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：
① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）
② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。
（2）换元：常见的换元有两种：
①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围
②三角换元：已知条件为关于的二次等式时，可联想到三角公式，从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围。因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题.
2.放缩法
（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元
（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果
（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果
（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。
3.数形结合
典型例题：
例1．设，则的最小值为
A．2B．4C．D．
例2．设，则的最小值是
A．2B．4C．D．5
例3．已知正数、、满足，则的最小值为
A．3B．C．4D．
例4．设，，，且，则的最大值是
A．13B．12C．11D．10
例5．已知，，，且，，则的最大值为
A．B．C．3D．4
例6．已知、、是平面上任意三点，，，，则的最小值是 ．
例7．设实数、、满足，则的最小值为 ．
例8．设实数、、满足，，，且，，则
例9．已知实数，，满足，则的最小值是 ．
例10．设正实数，，满足，则当取得最小值时，的最大值为 ．
过关练习：
1．（2022·浙江嘉兴·高三期末）已知正实数x，y，z，ω满足，且，则的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
2．（2022·浙江·高三学业考试）若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知正实数，满足，若对任意满足条件的正实数，都有不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．，B．，
C．，D．，，
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若存在两相异实数，使，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·浙江·高三专题练习）已知正实数，，满足，则当与同时取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．（2022·全国·高三专题练习（理））若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
二、填空题
9．（2022·浙江·高三开学考试）已知正实数a，b，c，，则的最小值为_______________．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为________
11．（2022·全国·高三专题练习）已知正数，，满足：，，则的取值范围是________
12．（2022·全国·高三专题练习）设，，，对任意满足的实数，都有，则的最大可能值为__.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的方程在，上有实数根，，则的取值范围是__.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，满足，（1），方程在区间上有两个实数根，则实数的取值范围为__.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围是_______.
16．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为_____．
17．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数的值域为，则的最大值为__________.
18．（2022·天津西青·高三期末）已知函数有且只有一个零点，若方程无解，则实数的取值范围为___________.
19．（2022·四川绵阳·一模（文））已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为______．