新高考数学二轮专题拔高点突破训练05 函数与导数背景下的新定义压轴解答题（九大题型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题拔高点突破训练05 函数与导数背景下的新定义压轴解答题（九大题型）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮专题拔高点突破训练02极值点偏移问题与拐点偏移问题七大题型原卷版docx、新高考数学二轮专题拔高点突破训练02极值点偏移问题与拐点偏移问题七大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共73页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc169331541" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc169331541 \h 2
\l "_Tc169331542" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc169331542 \h 2
\l "_Tc169331543" 题型一：曲率与曲率半径问题 PAGEREF _Tc169331543 \h 2
\l "_Tc169331544" 题型二：曼哈顿距离与折线距离 PAGEREF _Tc169331544 \h 13
\l "_Tc169331545" 题型三：双曲正余弦函数问题 PAGEREF _Tc169331545 \h 16
\l "_Tc169331546" 题型四：凹凸函数 PAGEREF _Tc169331546 \h 21
\l "_Tc169331547" 题型五：二元函数问题 PAGEREF _Tc169331547 \h 26
\l "_Tc169331548" 题型六：切线函数新定义 PAGEREF _Tc169331548 \h 30
\l "_Tc169331549" 题型七：非典型新定义函数 PAGEREF _Tc169331549 \h 37
\l "_Tc169331550" 题型八：拐点、好点 、不动点、S点 PAGEREF _Tc169331550 \h 46
\l "_Tc169331551" 题型九：各类函数新概念 PAGEREF _Tc169331551 \h 51
\l "_Tc169331552" 03 过关测试 PAGEREF _Tc169331552 \h 56
1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．
2、设为平面上两点，则定义为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作．
结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则
结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则．
题型一：曲率与曲率半径问题
【典例1-1】（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；
则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线的曲率半径的最小值；
(3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．
【解析】（1）
记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径．
则，，
故，，即，
所以抛物线在原点的曲率圆的方程为；
（2）设曲线在的曲率半径为．则
法一：，
由知，，
所以 ，
故曲线在点处的曲率半径，
所以，则，
则，当且仅当，即时取等号，
故，曲线在点处的曲率半径．
法二：，，
所以，而，
所以，解方程可得，
则，当且仅当，即时取等号，
故，曲线在点处的曲率半径．
（3）法一：函数的图象在处的曲率半径，
故，
由题意知： 令，
则有，
所以，即，故．
因为，所以，
所以，
所以．
法二：函数的图象在处的曲率半径，
有
令，则有，
则，故 ，
因为，所以，
所以有，
令，则，即，
故，所以，即；
法三：函数的图象在处的曲率半径．
故
设，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故有，
所以，
要证，即证，
即证 将 ，
下证：当时，有，
设函数（其中），
则，
故单调递增， ，
故，所以．
法四：函数的图象在处的曲率半径，
有，
设．
则有，
所以当时，当时，
故在上单调递减，在上单调递增．
故有，
所以，
要证，即证，
即证．将，
下证：当时，有，
设函数（其中），
则，
故单调递增，故 ，
故，所以．
【典例1-2】有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑曲线上的曲线段AB，设其弧长为，曲线在A，B两点处的切线分别为，记的夹角为，定义为曲线段的平均曲率，定义为曲线在其上一点处的曲率．（其中为的导函数，为的导函数）

(1)若，求；
(2)记圆上圆心角为的圆弧的平均曲率为．
①求的值；
②设函数，若方程有两个不相等的实数根，证明：，其中为自然对数的底数，．
【解析】（1），
所以，
因此.
（2）①由圆的性质知圆上圆心角为的圆弧的弧长为.
弧的两端点处的切线对应的夹角，
所以该圆弧的平均曲率，也即.
②由于，故，
又，，
所以在上单调递减，而.
因此必存在唯一的使得且在上为正，在为负，即在上单调递增，在上单调递减，
而，又，，
所以使得，即的图象与轴有且仅有两个交点，易得在处的切线方程为，
在处的切线方程为，
下面证明两切线的图象不在的图象的下方:
令，则.
因为，所以在单调递减，而，
所以在上为正，在为负，即在上单调递增，在单调递减，
因此，即，
即的图象恒在其图象上的点处的切线的下方(当且仅当时重合) .
同理可证(将视为即可)，
设直线与两切线交点的横坐标分别为，
则易得且，
因为，故，
所以，
因此.
【变式1-1】定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为；
(1)求实数a的值；
(2)对任意恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明．
【解析】（1）由已知，
所以，解得（舍去），
所以；
（2）由（1）得，，
则，
对任意的，，即恒成立，
令，则，不等式恒成立，
当时，，原不等式化为，
令，
则
，
所以在区间单调递增，所以，
所以，
综上所述，实数m的取值范围为；
（3），证明如下：
由已知方程可化为，
令，则，
因为，所以，
所以，所以在区间上单调递减，
故
，
，
所以存在唯一，使得，
又，，
则
由单调递减可得，
所以.
【变式1-2】（2024·湖北黄冈·二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶､二阶导数）
(1)已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？
(2)若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；
(3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明.
【解析】（1）抛物线的焦点到准线的距离为3，，
即抛物线方程为，即，则，，
又抛物线在点处的曲率，则，
即在该抛物线上点处的曲率为；
（2），
在上为奇函数，又在上为减函数.
对于恒成立等价于对于恒成立.
又因为两个函数都是偶函数，
记，，则曲线恒在曲线上方，
，，又因为，
所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，即，
又因为，，
，，所以，解得：，
因此，的取值范围为；
（3）由题可得，
所以曲线在点处的切线方程是，
即，
令，得，即，
显然，，
由，知，同理，
故，从而，
设，即，所以数列是等比数列，
故，即，从而，
所以，，
，
当时，显然；
当时，，
，
综上，.
题型二：曼哈顿距离与折线距离
【典例2-1】（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；
(2)已知点N是直线上的动点，点与点N的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；
(3)已知点，点（k，m，，e是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．
【解析】（1），
则，即的最小值为；
，
则，即的最小值为.
（2）当时，，
点为直线上一动点，
则当时，
即；
当时，，
即；
所以，又当时，，
当时，，
所以的最大值为.
（3）令，则，，
，
令，则在区间内成立，
则在区间内单调递增，则，
令，则在区间内成立，
则在区间内单调递减，则，
所以，
所以，
当且时，取最小值，
的最小值
【典例2-2】（2024·高三·广西防城港·阶段练习）若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数.如：
(1)若，求的取值范围；
(2)若对一切实数恒成立，设，，且，求的最大值.
【解析】（1）依题意，，
当时，，解得，于是，
当时，，于是，
当时，，解得，于是，
所以的取值范围是.
（2）对一切实数恒成立，
而，当且仅当，即时取等号，
则，因此，当且仅当时取等号，根据柯西不等式得，
则，解得，当且仅当时等号成立，
所以当时，取得最大值.
【变式2-1】（2024·高三·北京·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则
(1)①点，，求的值．
②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．
(2)已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
(3)设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标．
【解析】（1）①；
②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为，则，即.
（2）设直线上任意一点坐标为，则，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，
综上所述，的最小值为2.
（3）
如图，为正方体，边长为1，则对应正方体的八个顶点，
当四个点在同一个面上时，
（i）例如：，此时；
（ii）例如：，此时；
当四个点不在同一个平面时，
（iii）例如：，此时；
（iiii）例如：，此时；
（iiiii）例如：，此时；
（iiiiii）例如：，此时；
综上所述，的最大值为2，例如：，，，.
题型三：双曲正余弦函数问题
【典例3-1】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）定义：双曲余弦函数，双曲正弦函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若函数在上的最小值为，求正实数的值；
(3)求证：对任意实数，关于的方程总有实根．
【解析】（1）依题意有
，
令，则.
因为在R上单调递增，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
所以，所以当时，即时，
函数有最小值．
（2）函数在上的最小值为，
即函数有最小值．
因为
令，则，
因为最小值为，所以，解得，
所以正实数的值为．
（3）证明：令，定义域为，
则，
又，所以是奇函数，
因为是上的增函数，
所以在上单调递增，且当趋近于时，趋近于1，
所以函数在上的值域为，
直线过定点，
如图所示：无论取任何实数，直线与函数的图象都有交点，
即对任意实数，关于的方程总有实根．
【典例3-2】（2024·高三·福建宁德·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.
【解析】（1）.
（2）依题意，，不等式，
函数在上单调递增，，令，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，，
又，于是，，
因此，，显然函数在上单调递减，
当时，，从而，
所以实数的取值范围是.
（3），.
依题意，，
，
当时，，，即，
于是，而，因此，
当时，，则，，
即，而，因此，
于是，，所以.
【变式3-1】（2024·上海宝山·模拟预测）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：，（是自然对数的底数）.
（1）解方程：；
（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：________，并证明；
（3）无穷数列，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意得：，即，解得：；
（2）
左边，
右边，
∴左边等于右边，即成立
（3）当时，存在，使得，
由数学归纳法证明：，证明如下：
ⅰ）当时，成立，
ⅱ）假设时，，则成立.
综上：.
∴，有，即.
当时，由，函数的值域为，对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得，类比余弦二倍角公式，猜测.
证明如下：
.
类比时的数学归纳法，由，易证，，…，，…，
∴若，设，则，解得：或，即，
∴，于是.
综上：存在实数使得成立.
题型四：凹凸函数
【典例4-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数.已知，.
（1）求函数的二阶导函数；
（2）已知定义在上的函数满足：对任意，恒成立.为曲线上的任意一点.求证：除点外，曲线上每一点都在点处切线的上方；
（3）试给出一个实数的值，使得曲线与曲线有且仅有一条公切线，并证明你的结论.
【解析】（1）∵，∴，
∴.
（2）设，则曲线在点处的切线方程为，
设，则，，
∴在上递增，又，
∴当时，：当时，，
∴在递减，在递增，
∴，，，
∴，
∴除点外，曲线上每一点都在点处切线的上方.
（3）给出，此时，
∵，∴，又，
∴曲线在如的切线为，
∵，∴，又，
∴曲线在处的切线为，
∴两曲线有一条公切线.
下面证明它们只有这一条公切线.
①先证明，，当且仅当时取等号.
设，则，
∴，当且仅当时取等号，
∴在上递增，又，
∴当时，；当时，，
∴在递减，在递增.
∴，，当且仅当时取等号，
∴，，当且仅当时取等号；
②再证明它们没有其它公切线.
若它们还有一条公切线，它与曲线切于点，
与曲线切于点，显然，，.
∵，由（2）知，，当且仅当时取等号，
∵∴，
又由①与矛盾，故它们只有这一条公切线.
综上，当时，曲线与曲线有且仅有一条公切线.．
【典例4-2】记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，．
（1）若函数为上的凸函数，求的取值范围；
（2）若函数在上有极值，求的取值范围．
【解析】（1），
若函数为上的凸函数，则，即，
令，，则当时，，
当时，；当时，；
当时，单调递减；当时，单调递增，
，，解得：，
的取值范围为.
（2），，
在上有极值，在有变号零点，
，令，则，
，，在上单调递增，
；
①当，即时，，在上单调递增，
．即，
在无零点，不合题意；
②当，即时，则，使得，
当时，，，单调递减，
又，当时，，在上无零点；
当时，，单调递增，
又时，，
在上有零点，且在零点左右两侧符号相反，即该零点为的变号零点，
在上有极值；
综上所述：的取值范围为.
【变式4-1】设为的导函数，若是定义域为D的增函数，则称为D上的“凹函数”，已知函数为R上的凹函数．
(1)求a的取值范围；
(2)设函数，证明：当时，，当时，．
(3)证明：．
【解析】（1）解，设为的导函数，
则．
设，则．
当时，；当时，．
所以在上是减函数，在上增函数．
所以．
因为为R上的凹函数，所以，
解得，故a的取值范围是．
（2）证明，的导函数．
若，则，若，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，则，为增函数．
又，所以当时，，当时，．
（3）证明：由（2）知，
即，
所以．
由（1）知，，因为，
所以，
所以，
故．
【变式4-2】（2024·上海普陀·一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立．
(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．
(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
【解析】（1）令，，
则，，
，，
当时，恒成立，
∴函数在区间上具有性质；
（2）∵，
∴，
∵在处取得极值，且为奇函数，
∴在处也取得极值，
∴，解得，
∴， ，
当时，令，解得；令，解得；
故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值，
∴，
当时，恒成立，
∴存在实数，使在区间上恒成立，
∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；
（3）∵，
∴，
令，
则，
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
又∵，，
∴存在，使，
∴当时，，，在区间上单调递减，
当时，，，在区间上单调递增，
∴当时，的最小值为，
由，有，
∴，
∵，∴，
又∵恒成立，
∴，
∵且，
∴的最大值为.
题型五：二元函数问题
【典例5-1】（2024·高三·湖南·阶段练习）设是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，其中称为二元函数的定义域.
(1)已知，若，求
(2)非零向量，若对任意的，记，都有，则称在上沿方向单调递增.已知.请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？
(3)设二元函数的定义域为，如果存在实数满足：
①，都有，
②，使得.
那么，我们称是二元函数的最小值.求的最大值.
【解析】（1）由已知有，
则；
（2），
，
又，
，
故在上沿向量方向单调递增；
（3）由题意可类似的知道的最大值的含义，
，其中，
（或者直接使用柯西不等式，
，当且仅当时取等号.）
故，当时取等号，（或当时取等号），
又，根据对勾函数单调性易知当或2时，函数取最大值为.
【典例5-2】（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．
补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．
(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值．
(3)①若为实数，且，证明：．
②设，求的最小值．
【解析】（1）函数，对变量求导得：，
当时，.
（2）令，
则，解得或，
于是函数在约束条件的可能极值点是，，
当时，函数的一个极值为函数，
当时，函数的一个极值为函数，
方程视为关于x的方程：，则，解得，
视为关于y的方程：，则，解得，
因此函数对应的图形是封闭的，而，
所以的最大值为.
（3）①由，，设，
则，
当且仅当时取等号，
所以.
②当时，
，当且仅当时取等号，
所以时，取得最小值4.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知变量x，y，z，当x，y在某范围D内任取一组确定的值时，若变量z按照一定的规律f，总有唯一确定的x，y与之对应，则称变量z为变量x，y的二元函数，记作．已知二元函数．
(1)若，求的最小值．
(2)对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）依题意得．
∵，∴，
当且仅当，即时取得最小值为9．
（2）．
∵恒成立，∴，
当时，恒成立．
当时，等价于，解得．
综上，实数a的取值范围是．
题型六：切线函数新定义
【典例6-1】若两个函数与在处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为.
(1)判断函数与是否相切；
(2)设反比例函数与二次函数相切，切点为.求证：函数与恰有两个公共点；
(3)若，指数函数与对数函数相切，求实数的值；
(4)设（3）的结果为，求证：当时，指数函数与对数函数的图象有三个公共点.
【解析】（1）对于函数，求导得，则，且，
所以，曲线在处的切线方程为，
因此，函数与相切.
（2）反比例函数与二次函数在处有相同的切线，
对函数求导得，对函数求导得，
所以，可得，因为，则，
代入可得，所以，，
此时令得，它的一个解为，
所以，方程可化为，
解得，，
所以，方程的三个解为，，
即函数与函数的两个公共点分别为、.
（3）设指数函数与对数函数在处有相同的切线，
对函数求导得，对函数求导得，
由题意可得，令，
方程组等价于，
因此即，
而，所以，
即，得，所以，①，则，②
将①②代入得，化简得，
所以，，
因为，则函数为严格减函数，则，
故，即，
构造函数，其中，
则且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，且，
故方程的唯一解为，
因此，，.
（4）证明：设函数，其中且，
求导得，
令，则，
令可得，
由可得，由可得，
所以，函数在上为减函数，在上为增函数，
所以，.
因为，则，
因为，所以，函数在内有一个零点，
在内取，则，
令，其中，则，
因为，则，则，所以，，
所以，在上单调递增，且，所以，，
所以，函数在内也存在一个零点，
所以，函数在内共有两个零点，不妨设为、，且，
当或时，；当时，，
所以，函数有一个极大值和一个极小值，
下面证明，，
设函数与直线的交点为，
所以，为函数的一个零点，所以，，则，所以，
所以，也为函数的一个零点，
所以，，，
当时，函数为减函数，则函数也为减函数，且，
因为，所以，，
所以，，所以，，且，
所以，，，
因为且，
所以，函数在内有一个零点，也是上的唯一零点，
同理，且，
所以，函数在内有一个零点，也是内的唯一零点，
综上所述，当时，函数共有三个零点.
【典例6-2】对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.
(1)若函数，证明：都存在“关联切线伴随数列”；
(2)若函数，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式；
(3)若函数，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，.
【解析】（1）因为，则，
由题意可得：，
则，即，且，
可知数列为以为首项，为公比的等比数列，
显然这样的数列对于给定的是存在的，
所以都存在“关联切线伴随数列”.
（2）因为，则，
设，即，
由题意可知：，则，
可得，且，
可知数列为以为首项，为公比的等比数列，
可得，所以数列通项公式为.
（3）先证明，
设函数，
则，，则，
定义的导函数为的导函数为，
则，
且，，
令，则，
，
因为，
可知在内单调递增，则，
同理得，，
故，
又在内单调递增，
在有有
因此取，有，
又在单调递减，在单调递增，
故，
当时，，符合题意；
当时，，
累加可得，
整理得，
所以；
综上所述：.
【变式6-1】（2024·广西·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.
(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.
【解析】（1）不是，理由如下：
由已知，由解得，，
又，，不妨设切点为，，
在点处的切线的方程为，即，
在点的切线方程为，即与直线不重合，
所以直线不是曲线的“双重切线”．
（2）由题意，函数和都是单调函数，
则可设切点为，且，
所以在点处的切线的方程为，
在点的切线方程为，
所以，消去得，
设（），
则，所以是减函数，
又，所以在时只有一解，
所以方程的解是，从而，
在点处切线方程为，即，
在点处的切线方程为，即，
所以“双重切线”方程为；
（3）证明：设对应的切点为，，对应的切点为，，
由于，所以，，
由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑，情形，
则，，其中，
所以，
又，，
即，，
时，，，
令（），则，，
在上单调递减，又，所以，
所以，此时，则，
所以．
【变式6-2】（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．

已知函数，．
(1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；
(2)若，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，则，
曲线在处的切线为，且
曲线在处的切线为，且
故，用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为．
（2）由，得，
设，
则
∴当时，，单调递增，由于时，，不合题意；
当时，则有，，单调递减，，，单调递增，
即，即
易知单调递增，且，故.
题型七：非典型新定义函数
【典例7-1】（2024·湖南长沙·二模）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.
对于函数，设自变量x从变化到，当，是一个确定的值，则称函数在点处右可导；当，是一个确定的值，则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数在点处可导.
(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
(2)已知函数.
（ⅰ）求函数在处的切线方程；
（ⅱ）若为的极小值点，求a的取值范围.
【解析】（1），为该函数的极值点，
当，，
当，，
则该函数在处的左导数为，右导数为1，
所以该函数在处不可导.
（2）（ⅰ）根据题意，，则切点，
又，则，
所以切线方程为；
（ⅱ），
因为当时，，故与同号，
，先考察的性质，
由于为偶函数，只需分析其在上的性质即可，
，，
设，
则，，
则必有，即.
①否则，若，即，
则必存在一个区间，使得，
则在单调递减，又，
则在区间内小于0，则在单调递减，
又，故在区间内小于0，
故在区间内小于0，
则不可能为的极小值点.
②当时，，
令，，
令，
则，
易知在区间上单调递增，
对，，
则在区间上大于0，
故在区间上单调递增.
故在区间上单调递增.
又，故，
故在区间上单调递增，
又，故，故在区间上单调递增，
又，故，，
则，，
故当时，，
由偶函数知时，，
故为的极小值点，
所以a的取值范围为.
【典例7-2】（2024·高三·重庆·期中）若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数”
(1)证明：为“切合函数”；
(2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：．
【解析】（1）假设存在两个不同的数，满足题意，
易知，由题意可得
，
即，
，，，
，
又，
所以.
因为，即，
化简可得，又，
所以，
代入，
可得或，
所以为“切合函数”.
（2）由题意知，
因为为“切合函数”，
故存在不同的数(不妨设)使得
，
即，
整理得，
（ⅰ）先证，
即，
，
令，则由，知，
要证，只需证，
即，
设，
易知，
故在单调递减，所以，
故有，
由上面的式知,
所以.
（ⅱ）由上面的得，
，
又，
所以且，
故要证，
只需证，
即，
设，
则即证
，
设，
则，
即也就是在单调递增，
，
所以在单调递增，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以原不等式成立.
【变式7-1】（2024·上海·模拟预测）已知函数，如果存在常数，对任意满足的实数，其中，都有不等式恒成立，则称函数是“绝对差有界函数”
(1)函数是“绝对差有界函数”，求常数的取值范围；
(2)对于函数，存在常数，对任意的，有恒成立，求证：函数为“绝对差有界函数”
(3)判断函数是不是“绝对差有界函数”？说明理由
【解析】（1），
，，
即当，单调递增；当，单调递减.
所以,
单调递增时，，
单调递减时，.
且当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0，
所以.
所以·
（2）成立，则可取，
所以函数为“绝对差有界函数”
（3），
则有，
所以对任意常数，只要足够大，就有区间的一个划分
满足，
所以函数不是的“绝对差有界函数”.
【变式7-2】（2024·上海·三模）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”．
性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．
(1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由；
(2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围；
(3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”．
【解析】（1）区间和区间都是函数的“美好区间”，理由如下：
由，
当时，，所以区间是函数的“美好区间”
当时，，所以区间是函数的“美好区间”
（2）记，
若区间是函数的一个“美好区间”，则或
由，可得，
所以当或时，，则的单调递增区间为：，；
当时，，则的单调递增区间为：，
且，，，得到在的大致图像如下：
(i)当时，在区间上单调递减，且，
所以，则，即对于任意，都有，满足性质②,
故当时，区间是函数的一个“美好区间”；
(ii)当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时，
所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”；
(iii)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时，
所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”；
(iv)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时，
因为，则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，即，
构造函数，
则，
由于，所以恒成立，则在区间上单调递增，
所以，则，不满足题意，
故当时，区间不是函数的一个“美好区间”，
综上，实数的取值范围是
（3）对于任意区间，记，
因为对于任意，都有，
所以在区间上单调递减，故，
因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①，
所以若为的“美好区间”必满足性质②，即，
即只需要或，
由显然不恒成立，所以存在常数使得，
如果，取，则区间满足性质②；
如果，取，则区间满足性质②；
综上，函数一定存在“美好区间”；
记，则的图象连续不断，下证明有零点，
由于在上单调递减，则在上是减函数，记
若，则是的零点；
若，则，记，，
由零点存在定理，可知存在，使得；
若，则，记，，
由零点存在定理，可知存在，使得；
综上，有零点，即，
因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾；
即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕.
题型八：拐点、好点 、不动点、S点
【典例8-1】（2024·高三·福建泉州·期中）记、分别为函数、的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值．
【解析】（1）函数，，则，．
由，可得，此方程组无解，
因此，函数与不存在“点”；
（2）函数，，则，，
设为与的“点”，由可得，
可得，解得，此时.
因此，.
【典例8-2】对于函数f（x），若存在实数满足，则称为函数f（x）的一个不动点.已知函数，其中
(1)当时，
（i）求f（x）的极值点；
（ii）若存在既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值：
(2)若f（x）有两个相异的极值点，，试问：是否存在a，b使得，均为f（x）的不动点？证明你的结论.
【解析】（1）（i）当时，，.
当时，恒成立，在上递增，没有极值点.
当时，令解得，
则在区间递增；
在区间递减，
所以的极大值点为，极小值点为.
（ii）若是的极值点，又是的不动点，
则，即，
即，代入得 ，
，，
，，
，所以，则
（2），，
有两个相异的极值点，也即有两个不同的零点，
所以①，.
依题意，若是的不动点，
则，两式相减得，
，
，
，，这与①矛盾，
所以不存在符合题意的.
【变式8-1】记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“好点”．
(1)判断函数与是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由；
(2)若函数与存在“好点”，求实数的值；
(3)已知函数，，若存在实数，使函数与在区间内存在“好点”，求实数的取值范围．
【解析】（1），，
假设存在满足，代入得，解得；
所以存在存在“好点”，且“好点”为1；
（2），，
设“好点”为，满足，代入得，；
（3）由已知，，
依题意可得：存在满足，代入得，
解得，
由，又，故解得，
令，则，在上增函数，
，时，，且当时，，所以，
所以．
【变式8-2】给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心.
(1)若函数，求函数图象的对称中心；
(2)已知函数，其中.
（ⅰ）求的拐点；
（ⅱ）若，求证：.
【解析】（1）因为，所以，
所以.令，解得，又，
所以函数的“拐点”为，
所以函数图象的对称中心为.
（2）（ⅰ）因为，，
所以，
，且，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，又，
由零点存在性定理知，有唯一的零点，
所，且，当时，，
所以的拐点为.
（ⅱ）证明：由（i）可知，在上单调递增，，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，
∴在上恒成立，∴在上单调递增，
又，，
所以.
【变式8-3】（2024·河南·三模）设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点.
(1)判断曲线是否有拐点，并说明理由；
(2)已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值.
【解析】（1）由函数，可得，
由，得，又由，得，所以曲线没有拐点.
（2）由函数，
可得，
因为为曲线的一个拐点，所以，
所以，解得，经检验，当时，，
所以.
当或时，，则的单调递增区间为；
当时，，且不恒成立，则的单调递减区间为，
故当时，取得极大值，且极大值为；
当时，取得极小值，且极小值为.
题型九：各类函数新概念
【典例9-1】定义：函数，的定义域的交集为，，若对任意的，都存在，使得，，成等比数列，，，成等差数列，那么我们称，为一对“函数”，已知函数，，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，对任意的，，为一对“函数”，求证：．（为自然对数的底数）
【解析】（Ⅰ），
当时，；当时，，
∴在上递减，在上递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
要证，即证，
设函数，，
当时，，当时，，
故在为减函数，在上为增函数，
故，即恒成立，
所以，
综上，．
（Ⅲ）由题设，对任意，存在，
使得，且，
而，
故.
法一：由（Ⅱ）得，
∴．
令，则，
令，，
∴在上递增，在上递减，
又，，，
由零点存在性定理得存在（），使得，
故不等式的解为．
故，证毕．
法二：由均值不等式得．
故，
令，则，
同法一，有不等式的解为．
故，证毕．
【典例9-2】（2024·山东·模拟预测）如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，.
（1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由；
（2）求证：当时，.
【解析】（1），令则，
在上单调递增，
又当时，，在上单调递增，
又当时，，
∴当时，，与在上均单调递增，
∴在上是“链式函数”.
，令，则，
∴在上单调递减，又当时，，
∴在上单调递减，又当时，，
∴当时，，与在上均单调递减，
∴在上是“链式函数”.
（2）当时，由（1）知，所以，
又由（1）知，所以，
两式相加得，即，
令，
则，
所以在上单调递增，
则当时，，即，∴当时，，
故当时，.
【变式9-1】（2024·上海奉贤·一模）若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ．
(1)求证：函数不是“增函数”；
(2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围；
(3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”．
【解析】（1）取，则，因为，
故函数不是“增函数”；
（2）因为函数是“增函数”，故任意的，，
有恒成立，
即恒成立 ，
所以恒成立，
又，，故，则，
则，即；
（3）记，
根据题意，得，
可得方程的一个解，
令，
则，令，
则， 故在上是严格增函数，
又因为，故在恒成立，故，
故在上是严格增函数，所以是唯一解，
又，此时在处的切线方程即为，
故成立；
设，其中，
，由在上是严格增函数以及，
得，
即 ，
所以在上是严格增函数，
因为，则,故，即得证.
【变式9-2】（2024·高三·陕西安康·期末）已知函数.
(1)若在其定义域内是增函数，求的取值范围；
(2)定义：若在其定义域内单调递增，且在其定义域内也单调递增，则称为的“协同增函数”.
已知函数，若是的“协同增函数”，求的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，
令，则.
由，得；由，得.
则在上单调递减，在上单调递增.
故，即.
因为在其定义域内是增函数，所以，解得.
（2）由（1）可得.
设，
则.
因为在其定义域内是增函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立.
设，则.
由，得；由，得.
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，故，解得.
因为，所以，即的取值范围是.
1．（2024·湖北·二模）记，若，满足：对任意，均有，则称为函数在上“最接近”直线．已知函数．
(1)若，证明：对任意；
(2)若，证明：在上的“最接近”直线为：，其中且为二次方程的根．
【解析】（1）由题意，
则当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
又，，
在区间上的最大值为，
根据函数的图象特点，可知对任意，均有
，
，
下面讨论的大小：
①若至少有一个大于等于1，则，
②若两个都小于1，则，
因为是直线，故对任意，均有，，从而，
即
由①②可知，，
当时，
，，此时等号成立，
结论证毕.
（2）设，再令，
，
令，，
在区间上单调递减，
而，，存在，使得，
即，
且时，，单调递增，时，，单调递减，
在区间上的最大值为，
而，，
则在区间上大于等于0，
由（1）问分析知，对定义在上的函数，
若满足，且为唯一的最大值点，
则对任意的，，时取等号，
又，
故当时，取得最小值，
在上的“最接近”直线为，
即，
化简可得，其中，
且是二次方程的根，证毕.
2．（2024·高三·浙江宁波·期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
【解析】（1）．
（2），，，
故，，故．
（3），，故，其中，
令，，则，则，其中（不妨）
令，在递减，在递增，故；
令，
，令，
则，当时，恒成立，故在上单调递增，
可得，即，
故有，
则在递增，
又，，故，
故．
3．（2024·高三·辽宁·期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
(1)求曲线在处的曲率的平方；
(2)求余弦曲线曲率的最大值；
【解析】（1）因为，则，，
所以，
故.
（2）因为，则，，
所以，
则，
令，则，，
设，则，
显然当时，，单调递减，
所以，则最大值为1，
所以的最大值为1．
4．已知定义在上的函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数为“线性控制函数”.
(1)判断函数和是否为“线性控制函数”，并说明理由；
(2)若函数为“线性控制函数”，且在上严格增，设为函数图像上互异的两点，设直线的斜率为，判断命题“”的真假，并说明理由；
(3)若函数为“线性控制函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意都有.
【解析】（1），故是“线性控制函数”；
，故不是“线性控制函数”.
（2）命题为真，理由如下：
设，其中
由于在上严格增，故，因此
由于为“线性控制函数”，故，即
令，故，因此在上为减函数
，
综上所述，，即命题“”为真命题.
（3）根据（2）中证明知，对任意都有
由于为“线性控制函数”，故，即
令，故，因此在上为增函数
因此对任意都有，即
当时，则恒成立
当时，
若，则，故
若时，则存在使得
故1，因此
综上所述，对任意都有.
（事实上，对任意都有，此处不再赘述）
5．（2024·上海徐汇·二模）已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数.
(1)函数，是否为函数﹖请说明理由；
(2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围；
(3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式.
【解析】（1）是函数，理由如下，
对任意，，
，故
（2）（ⅰ）若为在区间上仅存的一个极大值点，则在严格递增，在严格递减，
由，即，得，
又，，则，（构造时，等号成立），
所以；
（ⅱ）若为在区间上仅存的一个极小值点，则在严格递减，在严格增，
由，同理可得，
又，，则，（构造时，等号成立），
所以；
综上所述：所求取值范围为；
（3）显然为上的严格增函数，任意，不妨设，
此时，
由为函数，得恒成立，即
恒成立，
设，则为上的减函数，，得对恒成立，
易知上述不等号右边的函数为上的减函数，
所以，所以的取值范围为，
此时，
法1：当时，即，由，而，所以为上的增函数，
法2：，
因为，当，，所以为上的增函数，
由题意得，，.
6．（2024·上海奉贤·二模）设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质．
(1)求证：函数不具有性质；
(2)判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由．
【解析】（1）假设具有性质， 即 对一切恒成立
化简得到，显然不存在实数使得成立，所以假设错误，
因此函数不具有性质.
（2）假设具有性质， 即 对一切恒成立，
即 对一切恒成立，则对一切恒成立，
由，所以当时，具有性质，
所以具有性质，的取值集合.
7．（2024·河北石家庄·一模）已知函数，.
(1)当时，过坐标原点作曲线的切线，求切线方程；
(2)设定义在上的函数在点处的切线方程为，对任意，若在上恒成立，则称点为函数的“好点”，求函数在上所有“好点”的横坐标（结果用表示）.
【解析】（1）当时，，，
设切点坐标为，则切线方程为：
因为切线过原点，代入原点坐标可得：
令，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以，且当时，，所以的解唯一，即，
所以切点坐标为，切线斜率为，切线方程为：.
（2）设点是函数上一点，且在点处的切线为，
则
令，所以
，
①当，即时，，
则时，，所以在单调递减，故，即：，不满足，所以时，不是函数在上的好点.
②当，即时，
i）若，即，此时：
当时，，所以在单调递减，
不满足，所以当时，不是函数在上的好点
ii），即，此时：
当时，，所以在单调递减，
不满足，所以当时，不是函数在上的好点.
iii）当，即，此时：
时，恒成立，所以在单调递增，
故当时，，即，所以时：
当时，，即，所以时，
即对任意，，所以当时，是函数在上的好点.
综上所述，在上存在好点，横坐标.
8．对于定义在D上的函数，其导函数为．若存在，使得，且是函数的极值点，则称函数为“极致k函数”．
(1)设函数，其中，．
①若是单调函数，求实数a的取值范围；
②证明：函数不是“极致0函数”．
(2)对任意，证明：函数是“极致0函数”．
【解析】（1）①由题意，得．
（i）若在上单调递减，则恒成立，即恒成立，所以；
（ii）若在上单调递增，则恒成立，即恒成立，所以．
综上，实数a的取值范围为．
②假设是“极致0函数”，则是的极值点，
所以，解得，
由①可知，当时，在上单调递减，与是的极值点矛盾，
故不是“极致0函数”．
（2）由题意，得，则．
当时，，
易知当时，．
设，．
①当，即时，由（i）可知，在上单调递减，
又，所以当时，，即；当时，，即，所以在处取得极大值，此时是“极致0函数”；
②当，即时，由（ii）可知，在上单调递增，
又，所以当时，，即，当时，，即，
所以在处取得极小值，此时是“极致0函数”；
③当时，，
设，
易知在上单调递增，在上单调递减．
因为，，
所以存在，，使得，
且当时，，
即， 在上单调递增．
又，所以当时，，即，当时，，即，
所以在处取得极小值，此时是“极致0函数”．综上，对任意，均为“极致0函数”．
9．曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率已知函数，，曲线在点处的曲率为．
（1）求实数的值；
（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设方程在区间（）内的根从小到大依次为，求证：．
【解析】（1）由已知，
所以，解方程得
（2）对任意的，，即恒成立，
令，则，不等式恒成立
当时，，原不等式化为
令，
则
所以在区间单调递增，所以最大值为
所以要使不等式恒成立必有
（3）由已知方程可化为
令，则
因为，所以
所以，在区间（）上单调递减，
所以存在唯一，
，
由单调递减可得即
10．（2024·湖南永州·三模）曲线的曲率定义如下：若是的导函数，令，则曲线在点处的曲率．已知函数，，且在点处的曲率．
（1）求的值，并证明：当时，；
（2）若，且，求证：．
【解析】（1），，，，
在点，处的曲率，
，解得．
当时，，
，
令，则，
在时单调递增，，，函数在上单调递增，，因此．
（2）证明：由（1）可得：，
，，
令，则：，
要证明：，
只要证明：即可，
时，左边
时，令，
，
，
（2），
在上单调递减，
（2），
综上可得：成立．
11．（2024·江苏淮安·三模）定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间．
（1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点；
（2）对于函数（其中e为自然对数的底数）
（ⅰ）当时，求的弹性区间D；
（ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．
【解析】（1）由，可得，
则，
令，解得，
所以弹性函数的零点为.
（2）（ⅰ）当时，函数，可得函数的定义域为，
因为，
函数是弹性函数，
此不等式等价于下面两个不等式组：
（Ⅰ） 或（Ⅱ），
因为①对应的函数就是，
由，所以在定义域上单调递增，
又由，所以①的解为；
由可得，
且在上恒为正，
则在上单调递增，所以，故②在上恒成立，
于是不等式组（Ⅰ）的解为，
同①的解法，求得③的解为；
因为时，④，所以不成立，
所以不等式（Ⅱ）无实数解，
综上，函数的弹性区间.
（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，
设，则，
而，
由（ⅰ）可知，在上恒为正，
所以，函数在上单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围是.
12．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数.
（1）求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数.
①若，求证：为在上的上界函数；
②若，为在上的下界函数，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，
所以函数的图象在处的切线斜率.
又因为，所以函数的图象在处的切线方程为；
（2）①由题意得函数的定义域为.
令，得.
所以当时，；当时，.
故函数在上单调递增，在上单调递减.
所以.
因为，所以，
故当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
从而，所以，即，
所以函数为在上的上界函数；
②因为函数为在上的下界函数，
所以，即.
因为，所以，故.
令，，则.
设，，则，
所以当时，，从而函数在上单调递增，
所以，
故在上恒成立，所以函数在上单调递增，
从而.
因为在上恒成立，所以在上恒成立，
故，即实数的取值范围为.
13．（2024·高三·全国·课后作业）设f(x)是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为.如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，+∞)都有h(x)>0，使得=h(x)(x2-ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a).
(1)设函数，其中b为实数.
①求证：函数f(x)具有性质P(a).②求函数f(x)的单调区间.
(2)已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1，x2∈(1，+∞)，x1