【期末冲刺练】系列：原创2025_2026学年度期末压轴专题02+解答压轴题专项训练数学新教材北师大版八年级下册含答案解析

这是一份【期末冲刺练】系列：原创2025_2026学年度期末压轴专题02+解答压轴题专项训练数学新教材北师大版八年级下册含答案解析，共23页。试卷主要包含了等腰三角形性质和判定的综合问题，直角三角形性质和判定的综合问题，等腰三角形的旋转综合问题，因式分解的特殊分解方法，分式的混合运算规律探究，分式方程的规律探究，分式方程的实际应用问题，平行四边形的性质和判定综合问题等内容，欢迎下载使用。
类型一、等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题
1．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知是等边三角形，是边上一点(不与点重合)，是射线上一点(不与点重合)．
(1)如图，若点在上，且，则的度数是________；
(2)如图，若点在上，且，，相交于点，求的度数；
(3)如图，若点在的延长线上，连接，，且满足．若，，求的面积．
2．（25-26八年级上·四川泸州·期末）已知是等边三角形，点D是的中点，点E在射线上，点F在线段上，．
(1)如图1，若点F与点B重合，
①求证：；
②当的面积为S时，用含S的代数式表示的面积．
(2)如图2，若点E在线段上，当时，求的值．
3．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，是等边三角形，，是上一动点，在上取点，使，，相交于点．
(1)求的度数；
(2)如图2，过点作交于点，在延长线上截取，连结，
①求证：；
②延长交于点，当是直角三角形时，求的值．
4．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）、都是等边三角形．
(1)如图1，当、、在一条直线上时，求证：；
(2)如图2，将绕着点旋转，延长线与交于点，则的度数是多少？为什么？
(3)如图3，当的边长为，且时，若为边的中点，求的长．
5．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知：在中，，．
【初步发现】（1）如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，，连接，，先由边角边证明，从而得到，，所以，进而得到、、之间满足的数量关系是 ；
【深入研究】（2）如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
【拓展研究】（3）若点D在直线上．连接，在的左侧作，，当，时，求的值．
类型二、直角三角形性质和判定的综合问题
6．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，，相交于点，，于点，，与交于点，．
(1)求证：；
(2)若，，，求线段的长．
7．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图1，在中，，于点D，点F在上，连接与交于点G，且，过点A作与的延长线交于点E．
(1)求证：平分；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图1，若的面积为5，，求的值．
8．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【概念】直角三角形中，过直角顶点和斜边上一点的线段将直角分成两个锐角，若这两个锐角的度数分别等于此直角三角形中的另外两个内角的度数，则称此线段为直角三角形的“等锐角线”．
【辨析】图1中有_________条“等锐角线”；
图2中若是的“等锐角线”，则_________；
【探究】如图3，中，，，的“等锐角线”交于点，画出示意图，写出线段与的数量关系，并说明理由．
9．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图1，在中，，点在边上，连接，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，点是的中点，点在线段上，连接．
①当时，求证：；
②连接，设，如果，用含的代数式表示的长．
10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在中，，点，分别在射线，上，连接，．
【教材再现】如图1，点，分别在边，上，是直角三角形吗？为什么？
【变式应用】如图2，点，分别在的延长线，的延长线上，的平分线交的延长线于点，连接交于点，且，求的度数．
【拓展延伸】如图3，在【变式应用】中的条件下，延长交的延长线于点，点在的延长线上，连接，且，若，求的度数．
类型三、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题
11．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上．
12．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，于E，于F，若．
(1)求证：平分；
(2)已知，求的长．
13．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，为上一点，，
(1)求证：；
(2)延长交于，连接，且．
①求证：为边的垂直平分线；
②直接写出线段与之间的数量关系．
14．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）在和中，，．
(1)如图1，若，连接，．
①求证：；
②设和的交点为点，求证：平分；
(2)如图2，若，连接，设的中点为点，连接，求证：．
15．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．
(1)如图，求证：；
(2)如图，连接，若平分，求证：；
(3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长．
类型四、不等式与不等式组中新定义型综合问题
16．（24-25七年级下·陕西西安·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：．
(1)______；（填“＞”“＜”或“＝”）
(2)若，求的取值范围．
17．（24-25八年级上·全国·期末）定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如．
(1)求的值．
(2)若，求x的取值范围．
(3)若不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围．
18．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”．
(1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”；
(2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围；
(3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围．
19．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题：
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？
20．（24-25七年级下·江西宜春·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“从属方程”．
例如：的解为，
的解集为，发现在的范围内，所以一元一次方程是一元一次不等式组的“从属方程”．
【问题解决】
(1)判断方程是不是不等式组的“从属方程”；
(2)若方程是不等式组的“从属方程”，求的取值范围．
类型五、等腰（等边）三角形的旋转综合问题
21．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
22．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，中，，，将绕着顶点A顺时针旋转，得到．点F，G分别在上，且，连接并延长交线段于点H．
(1)求证：；
(2)求的大小．
23．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为．
(1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°；
(2)如图②，当点在上时，若，求的度数；
(3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值．
24．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知中，，，点D为直线上一点．
(1)如图1，若点D与点C重合，点E为上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，直接写出与的关系：_________；
(2)如图2，点D在的延长线上，E为的角平分线上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，若，求证：；
(3)如图3，点D在边上，点E在直线左侧，连接，，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接若，，则线段的长为_________（直接写出结果）．
25．（25-26八年级上·上海普陀·期末）等腰中，，将绕点旋转一定角度后得到，点、分别是射线、上的点，且，连接、、，我们把、所在直线的夹角叫做和的底联角．如图1，就是和的底联角；
(1)如图1，当点在内部时，求证：两个等腰三角形的底联角与它们的顶角度数相等；
(2)当点在内部时，如果，那么___________；
(3)如图2，当点在外部时，如果，求的长．
类型六、因式分解的特殊分解方法
26．（25-26八年级上·江西·期末）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下：
一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：．
请仔细阅读材料，回答下列问题：
(1)填空：________；
(2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？
27．（25-26八年级上·江西赣州·期末）要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．
(1)请用上述方法分解因式：；
(2)已知，，求式子的值；
(3)已知的三边长，满足，试判断的形状．
28．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）方法探究：
已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．
我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”．
问题解决：
(1)用“试根法”分解因式：．
(2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中．
29．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．
例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式．
又如：因式分解．
我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式．
请根据上面的提示和范例解决下面问题：
(1)因式分解：______；
(2)已知，求的值；
(3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方．
30．（25-26八年级上·广东珠海·期末）【综合应用】材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
再如“”分法：
请根据上述材料的启发解决下列问题：
(1)【理解】分解因式：
①；
②；
(2)【应用】a，b，c是的三条边的长，试判断式子的值能否大于0？并说明理由；
(3)【拓展】a，b，c是的三条边的长，若，请判断的形状并说明理由．
类型七、分式的混合运算规律探究、新定义型问题
31．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并说明等式的正确性．
32．（24-25七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；
……
按照以上规律，解决问题；
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）；
(3)利用上述规律计算：．
33．（24-25八年级上·广东湛江·期末）我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
例如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
(1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C关于D的“雅中值”；
(2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表的代数式．
34．（24-25八年级上·江西上饶·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）；
①；②；③；④．
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________；
(3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？
35．（24-25八年级上·广东汕头·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，，
所以是的“关联分式”．
(1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由；
(2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为N，则，
∴，∴．
请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”；
(3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________；
②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值．
类型八、分式方程的规律探究、新定义型问题
36．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”
(1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母）
A．； B．
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．
37．（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用
【特例分析】
（1）填空：
①的解为x= ；
②的解为x= ；
③的解为x= ；
【总结规律】
（2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ．
【解决问题】
（3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程）
38．（24-25七年级下·山东济南·期末）观察下列各式：；
；
；
请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题：
(1)________；
(2)请你按利用发现的规律计算：；
(3)利用上面规律解方程：．
39．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）不妨定义：如果两个代数式A，B的值满足，则称A，B具有和谐关系．当具有和谐关系的两个代数式A，B都是整式时，则称A，B互为和谐整式；当具有和谐关系的两个代数式A，B都是分式时，则称A，B互为和谐分式．
(1)判断下列说法的正误，对的打“√”，错误的打“×”．
①整式与对任意x都具有和谐关系；（ ）
②分式 与 互为和谐分式；（ ）
③如果分式与互为和谐分式，则．（ ）
(2)当时， 如果分式与始终互为和谐分式，求a和b的值；
(3)已知x，y都是整数，当整式与互为和谐整式时，求x、y的值．
40．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
【探索规律】
（1）__________；__________；
（2）若x是正整数，猜想__________．
【应用规律】
（3）若，其中x是正整数，求x的值；
（4）若，其中x是正整数，尝试直接写出所有x的值__________．
类型九、分式方程的实际应用问题
41．（25-26八年级上·河北沧州·期末）商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个B玩具进价多2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍．
(1)求A、B两种玩具进价分别为多少元？
(2)若A玩具每个售价为13元，B玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？
42．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元．
(1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用；
(2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？
43．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）“读万卷书，行万里路”，某中学组织学生赴三星堆旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到三星堆文化，研学基地特设了青铜器皿制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36件青铜器皿，已知乙队每小时比甲队多制作6件，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的倍．
(1)求甲、乙两队每小时各制作多少件青铜器皿？
(2)制作活动开始1小时后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少件才能保证在乘车前完成任务．
44．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示：
根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元．
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用________元．
(2)分别求出这两款车的每千米行驶费用．
(3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
45．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床．
(1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？
(2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润．
类型十、平行四边形的性质和判定综合问题
46．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若是等边三角形，且，求的长．
47．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于．
(1)求证：；
(2)若，，则与之间的距离为____________；
(3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________．
48．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点是的中点，连接．将沿翻折至，点的对应点，落在内．射线交于，与射线相交于．延长交于．
(1)求证：；
(2)连接，若，平分．
①求证：；
②若，求证：．
49．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）综合与探究
问题情境：如图1，在中，，将绕点D顺时针旋转（），得到，点A，B的对应点分别为点F，E．
猜想证明：（1）如图2，当于点P时，分别与线段交于点G，H．猜想线段与的数量关系，并说明理由．
数学思考：（2）如图3，当B的对应点E恰好在线段上时，连接．判断与的位置关系，并说明理由．
拓展探究：（3）在图3的基础上，连接，若，，请直接写出线段的长度．
50．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）我们在平面几何的学习中，会碰到许多常见的几何模型，“手拉手”模型就是其中之一，面对题目时我们常会“寻模而入，破模而出”．
(1)如图1，在和中，，，，求证：；
(2)如图2，在中，的平分线交于点，将点绕点逆时针旋转，得到点，分别连接，，．
①求证：；
②试探究线段和线段的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在中，，点，分别在，上，且，，若，，请直接写出线段的长度．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10181" 类型一、等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题 PAGEREF _Tc10181 \h 2
\l "_Tc26181" 类型二、直角三角形性质和判定的综合问题 PAGEREF _Tc26181 \h 15
\l "_Tc14332" 类型三、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 PAGEREF _Tc14332 \h 26
\l "_Tc29535" 类型四、不等式与不等式组中新定义型综合问题 PAGEREF _Tc29535 \h 36
\l "_Tc26386" 类型五、等腰（等边）三角形的旋转综合问题 PAGEREF _Tc26386 \h 42
\l "_Tc13336" 类型六、因式分解的特殊分解方法 PAGEREF _Tc13336 \h 52
\l "_Tc18325" 类型七、分式的混合运算规律探究、新定义型问题 PAGEREF _Tc18325 \h 60
\l "_Tc1183" 类型八、分式方程的规律探究、新定义型问题 PAGEREF _Tc1183 \h 66
\l "_Tc29042" 类型九、分式方程的实际应用问题 PAGEREF _Tc29042 \h 74
\l "_Tc24534" 类型十、平行四边形的性质和判定综合问题 PAGEREF _Tc24534 \h 80
燃油车
新能源车
油箱容积：50L
电池容量：
油价：8元
电价：元
续航里程：a千米
续航里程：a千米
每千米行驶费用：元
每千米行驶费用：________元