新高考数学二轮复习函数培优专题10 函数的单调性和奇偶性综合（含解析）

专题10  函数的单调性和奇偶性综合

1．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（       ）

A． B． C． D．

【解析】在单调递增，A错误；为奇函数，B错误；为偶函数，且在上单调递减，，故符合题意，C正确；为偶函数，当时，为对勾函数，在单调递减，在上单调递增，故不合题意，D错误.故选：C

2．已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【解析】依题意奇函数是定义在区间上的增函数，

，.故选：B

3．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为 （       ）

A． B． C． D．

【解析】依题意函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，在上递增，.画出的大致图象如下图所示，

由图可知，不等式的解集为.故选：A

4．设是奇函数，且在上是减函数，，则的解集是（       ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【解析】当时，得出，因为在上是减函数，所以；

当时，得出，因为在上是减函数，所以

即的解集是或，故选：D

5．若函数，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【解析】的定义域为,因为，

所以是奇函数， 所以不等式可化为，

因为在上均为增函数，所以在上为增函数，

所以，解得，故选：A.

6．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有．则当时，有（       ）

A． B．

C． D．

【解析】对任意的，，

所以函数在上为增函数，

又因为函数在R上的偶函数，所以函数在上为减函数，且，

因为，所以.所以.故选：A

7．已知函数，若实数a满足，则a的取值范围（       ）

A． B． C． D．

【解析】的定义域为，且，所以是偶函数.

当时，，和在上递增，所以在上递增，而是偶函数，故在上递减.

依题意，即，

即，所以，

所以的取值范围是，故选：D

8．已知偶函数在上是增函数，若，则的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【解析】由题得，

因为函数在上是增函数，且，所以.故选：B

9．已知函数的定义域为，是偶函数，，在上单调递增，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【解析】依题意：函数的图象关于对称，则，

且在上单调递增，故 ，所以，故选：A.

10．已知奇函数在上单调递增，，则关于的不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【解析】由已知可得，，

由可得，

因为奇函数在上单调递增，则，

所以，，解得.故选：A.

11．若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，则，，的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为且，有，

所以函数在上单调递增，由为偶函数，得函数在上单调递减，

因为，，

所以，即.故选：A

12．定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【解析】当时，，所以在上单调递增，

因为，所以当时，等价于，即，

因为是定义在上的奇函数，

所以 时，在上单调递增，且，所以等价于，即，所以不等式的解集为，故选：D

13．已知对于任意的，都有成立，且在上单调递增，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为，所以关于对称，

因为在上单调递增，所以在上单调递减，

因为，所以，即，所以，

即，解得，故选：C.

14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为（       ）

A．(，1) B．(－∞，1) C． D．

【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴为定义在上的偶函数，

又∵，∴在上递减，则在上递增，

即，

则解得：．故选：D．

15．已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意，不等式恒成立，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【解析】对于任意，不等式恒成立，

即对于任意，不等式恒成立，

所以在上单调递减，因为函数是定义在上的偶函数，

所以在上单调递增，且，则，解得，故选：B

16．若在定义域内的任意都满足，则称为奇函数，可知奇函数的图象关于原点中心对称；若在定义域内的任意都满足，则称为偶函数，可知偶函数的图象关于轴对称. 知道了这些知识现在我们来研究如下问题：已知函数，是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【解析】根据题意，，则，

两式相加可得，

又由是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，所以，即，

若对于任意，都有，变形可得，

令，则在上单调递增；所以，

若，则在上单调递增，满足题意；

若，则是对称轴为的二次函数，

若在上单调递增，只需或，解得或，

综上，．即的取值范围为：，．故选：C．

17．已知函数，则关于不等式的解集为（          ）

A． B． C． D．

【解析】设，则函数的定义域为，

，即函数为奇函数，

因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，

设，，，则，

故函数的定义域为，且，

所以，，则函数为上的奇函数，

当时，由于内层函数为增函数，外层函数为增函数，

所以，函数在上为增函数，

由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数，

因为函数在上连续，故函数在上为增函数，

令，则函数在上为增函数，

且，即函数为奇函数，

由可得，即，

所以，，解得.

因此，不等式的解集为.故选：C.

18．已知函数，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【解析】由题意，，

由于，故 为奇函数，

当时， 递增，故递增，

故当时， 递增，

而 ，故函数在上单调递增，

且时，，时，，

故对于，当 时，即为，

即，矛盾，即0不是不等式的解，故选项B,C错误；

当时，不等式即，

由于，故不成立,

说明不是不等式的解，故A错误,

故选：D

19．已知定义在上的函数满足：函数为奇函数，且当时，成立（是函数的导函数），若，，，则、、的大小关系是（        ）

A． B．

C． D．

【解析】构造函数，则该函数的定义域为，

，所以，函数为偶函数，

当时，，所以，函数在上为减函数，

所以，函数在上为增函数，

因为，，，

且，所以，.故选：C.

20．已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为定义在上的偶函数，则，即是R上的偶函数，

又在上单调递增，则在上单调递减，

，

即，因此，，平方整理得：，解得，

所以原不等式的解集是.故选：B

21．(多选)已知奇函数是定义在上的减函数，且，若，则下列结论一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【解析】由题，是定义在上的奇函数，故，

又，所以，故A成立；

又函数是定义在上的减函数，且，

所以，故，故B不一定成立；

，

因为，故，故，故C成立，D不成立；

故选：AC

22．是定义在R上的奇函数，且满足以下两个条件：对任意的都有；当时，，且，则函数在上的最大值为__________．

【解析】是定义在R上的奇函数，

设，则，

因为，所以，所以，即函数在R上单调递减，

函数在上也单调递减，

因为，所以，，

所以函数的最小值为，函数的最大值为．

23．若函数为奇函数，则关于的不等式的解集为______．

【解析】，得，即

时，，在上单调递减，又为奇函数，

故在上单调递减 ，，由为奇函数可化为，

得，解得

24．已知函数，，若，则实数的取值范围是______.

【解析】，由，得是定义域上的奇函数，

函数在上单调递增，，在上单调递增，

因此，函数在上单调递增，则，

等价于，解得，所以实数的取值范围是.

25．若函数，则不等式的解集为______．

【解析】∵且定义域为R，

∴为偶函数，则，

由，即，又，

令，，由，单增，，单增，

故在上单调递增，又在上单调递减，由函数单调性的加减法则，

所以时单调递减，

所以，得：，即或，解得或．

故答案为：．

26．已知函数是定义在R上的偶函数，对任意m，都有，且.若，则实数a的取值范围是______.

【解析】对任意m，都有,

可知在是单调递增函数，

由可得：，

又根据函数是定义在R上的偶函数，即有，即，

所以，即或，解得或，故答案为：

27．已知，若恒成立，则实数的取值范围___．

【解析】因为，所以是上的奇函数，

，，

所以是上的增函数，

等价于，

所以，所以，

令，则，因为且定义域为，

所以是上的偶函数，所以只需求在上的最大值即可.

当时，，，

则当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

可得：，即.故答案为：.

28．已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则m的取值范围为__________.

【解析】中，取得，取得，

取，，得，所以是偶函数，

设，则，，所以，

所以在上是减函数，

设，是偶函数，且在上是减函数，

，，

所以，

且，所以m的取值范围是.

29．已知函数为上的偶函数，当时，．

(1)求时，的解析式；

(2)写出函数的单调增区间；

(3)若，求的取值范围．

【解析】(1)由题意，函数为上的偶函数，当时，

设，则，可得，

即当时，函数的解析式为.

(2)当时，，

因为和都是增函数，可得在上为增函数，

又因为函数为上的偶函数，所以函数在区间上为减函数，

所以函数的单调递增区间为.

(3)由函数为上的偶函数，

且函数在区间为上单调递增，在区间单调递减，

则不等式，即为，解得，

即不等式的解集为.

30．已知函数为R上的奇函数．

(1)求的值，并用定义证明函数的单调性；

(2)求不等式的解集；

(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

【解析】(1)因为为奇函数，

所以，得，

所以，下面用定义法证明单调性：

，且，则，

因为，所以，

所以，即，

所以函数在R上单调递增.

(2)由（1）知在R上单调递增，且为奇函数，

故不等式

即，整理得，即，

解得，故不等式解集为

(3)因为在R上单调递增，所以在区间上，，

，故

当时，，不存在符合题意的；

当时，在区间上为增函数，

要使对任意的，总存在，使得成立

则需，即，解得，即

31．设（为实常数）.

(1)当时，证明：不是奇函数；

(2)设是奇函数，求与的值；

(3)在（2）的条件下，当时，若实数满足，求实数的取值范围.

【解析】(1)当时，，，

所以不是奇函数.

(2)若为奇函数，则，即，，

，

，

恒成立，

所以或.

(3)由于，由（2）得，所以，

所以是定义在上的奇函数，且在上递减，

，即，

即，所以.所以的取值范围是.

32．已知函数，是定义在上的奇函数，且当时，，当时，.

(1)若成立，求x的取值范围；

(2)求在区间上的解析式，并写出的单调区间（不必证明）；

(3)若对任意实数x，不等式恒成立，求实数t的取值范围.

【解析】(1)由，

得，

则.解得，

所以x的取值范围是，.

(2)当时，；则；

当时，，则.

所以

因为是定义在上的奇函数，且当时，，

所以

所以的单调递减区间是，，递增区间是.

(3)因为，所以

由，得或或.

由的图象知，恒成立或，

即或.

即或恒成立

因为，则不恒成立.

因为，，

则恒成立，所以t的取值范围是.