高考数学第二轮复习专项练习——函数的单调性与奇偶性（含解析）

这是一份高考数学第二轮复习专项练习——函数的单调性与奇偶性（含解析），共10页。试卷主要包含了设f，下列函数中，既是偶函数又在区间，下列函数中，既是偶函数又在，若函数f，若函数f为偶函数等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共7小题）
1．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（ ）
A．﹣B．﹣C．D．

2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+ex

3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．y=x+1B．y=﹣x3C．y=D．y=x|x|

4．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A．y=e﹣xB．y=x3C．y=lnxD．y=|x|

5．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A．B．y=e﹣xC．y=lg|x|D．y=﹣x2+1

6．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ）
A．y=3xB．y=|x|+1C．y=﹣x2+1D．y=

7．若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a≠0）有四个单调区间，则实数a，b，c满足（ ）
A．b2﹣4ac＞0，a＞0B．b2﹣4ac＞0C．﹣＞0D．﹣＜0


二．填空题（共6小题）
8．已知函数，若f（x）为奇函数，则a= ．

9．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a= ．

10．已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= ，f（x）的最小值是 ．

11．设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a= ．

12．已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m= ．

13．函数为奇函数，则实数a= ．


三．解答题（共2小题）
14．判断函数的奇偶性．

15．已知函数f（x）=x+
（1）求证：函数y=f（x）是奇函数；
（2）若a＞b＞1，试比较f（a）和f（b）的大小．


参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）
1．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（ ）
A．﹣B．﹣C．D．

2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+ex

3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．y=x+1B．y=﹣x3C．y=D．y=x|x|

4．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A．y=e﹣xB．y=x3C．y=lnxD．y=|x|

5．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A．B．y=e﹣xC．y=lg|x|D．y=﹣x2+1

6．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ）
A．y=3xB．y=|x|+1C．y=﹣x2+1D．y=

7．若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a≠0）有四个单调区间，则实数a，b，c满足（ ）
A．b2﹣4ac＞0，a＞0B．b2﹣4ac＞0C．﹣＞0D．﹣＜0

二．填空题（共6小题）
8．已知函数，若f（x）为奇函数，则a= ．

9．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a= 1 ．

10．已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= 0 ，f（x）的最小值是 ．

11．设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a= ．

12．已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m= ﹣2 ．

13．函数为奇函数，则实数a= ﹣1 ．

三．解答题（共2小题）
14．判断函数的奇偶性．

15．已知函数f（x）=x+
（1）求证：函数y=f（x）是奇函数；
（2）若a＞b＞1，试比较f（a）和f（b）的大小．
考点：
奇函数；函数的周期性．
专题：
计算题．
分析：
由题意得 =f（﹣ ）=﹣f（），代入已知条件进行运算．
解答：
解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），
∴=f（﹣ ）=﹣f（）=﹣2× （1﹣ ）=﹣，
故选：A．
点评：
本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．
考点：
函数奇偶性的判断．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
直接利用函数的奇偶性判断选项即可．
解答：
解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；
对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；
对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；
对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．
故选：D．
点评：
本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．
考点：
函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据奇函数的定义，导数符号和函数单调性的关系，反比例函数的单调性，二次函数的单调性即可找出正确选项．
解答：
解：A．该函数不是奇函数，所以该选项错误；
B．y′=﹣3x2≤0，所以该函数是减函数，所以该选项错误；
C．该函数是反比例函数，该函数在（﹣∞，0），（0，+∞）单调递增，所以在定义域{x|x=0}上不具有单调性，所以该选项错误；
D．容易判断该函数是奇函数，，根据二次函数的单调性x2在[0，+∞）是增函数，﹣x2在（﹣∞，0）上是增函数，所以函数y在R上是增函数，所以该选项正确．
故选D．
点评：
考查奇函数的定义，y=﹣x3的单调性，反比例函数的单调性，分段函数的单调性，以及二次函数的单调性．
考点：
函数单调性的判断与证明．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论．
解答：
解：对于选项A，y=ex为增函数，y=﹣x为减函数，故y=e﹣x为减函数，
对于选项B，y′=3x2＞0，故y=x3为增函数，
对于选项C，函数的定义域为x＞0，不为R，
对于选项D，函数y=|x|为偶函数，在（﹣∞．0）上单调递减，在（0，∞）上单调递增，
故选：B．
点评：
本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数单调性的性质．
考点：
函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．
解答：
解：A中，y=为奇函数，故排除A；
B中，y=e﹣x为非奇非偶函数，故排除B；
C中，y=lg|x|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增，
所以y=lg|x|在（0，+∞）上不单调，故排除C；
D中，y=﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，
故选D．
点评：
本题考查函数的奇偶i性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，熟记基本函数的有关性质可简化问题的解决．
考点：
函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据偶函数和单调性的定义分别进行判断即可．
解答：
解：A．y=3x在（0，+∞）单调递增，但为非奇非偶函数，不成立．
B．y=|x|+1为偶函数，当x＞0时，y=|x|+1=x+1，为增函数，满足条件．
C．y=﹣x2+1为偶函数，当x＞0时，函数为减函数，不满足条件．
D．y=在（0，+∞）单调递增，但为非奇非偶函数，不成立．
故选：B．
点评：
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性和奇偶性的性质．
考点：
函数的单调性及单调区间．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
要使f（x）在R上有四个单调区间，显然在x＞0时，f（x）有两个单调区间，x＜0时有两个单调区间，从而可得出a，b，c需满足．
解答：
解：x＞0时，f（x）=ax2+bx+c；
此时，f（x）应该有两个单调区间；
∴对称轴x=；
∴x＜0时，f（x）=ax2﹣bx+c，对称轴x=；
∴此时f（x）有两个单调区间；
∴当时，f（x）有四个单调区间．
故选C．
点评：
考查二次函数的单调性及单调区间，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的对称轴．
考点：
函数奇偶性的性质．
分析：
因为f（x）为奇函数，而在x=0时，f（x）有意义，利用f（0）=0建立方程，求出参数a的值．
解答：
解：函数．若f（x）为奇函数，
则f（0）=0，
即，a=．
故答案为
点评：
本题考查了函数的奇偶性的应用，当x=0时有意义，利用f（0）=0进行求解来得方便．
考点：
函数奇偶性的性质．
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：
由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解
解答：
解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），
∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），
∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，
∴，
∴lna=0，
∴a=1．
故答案为：1．
点评：
本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．
考点：
函数的值．
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：
根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解
解答：
解：∵f（x）=，
∴f（﹣3）=lg10=1，
则f（f（﹣3））=f（1）=0，
当x≥1时，f（x）=，即最小值，
当x＜1时，x2+1≥1，f（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，
故f（x）的最小值是．
故答案为：0；．
点评：
本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．
考点：
函数的值．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据分段函数的表达式，利用分类讨论的方法即可得到结论．
解答：
解：设t=f（a），则f（t）=2，
若t＞0，则f（t）=﹣t2=2，此时不成立，
若t≤0，由f（t）=2得，t2+2t+2=2，
即t2+2t=0，解得t=0或t=﹣2，
即f（a）=0或f（a）=﹣2，
若a＞0，则f（a）=﹣a2=0，此时不成立；或f（a）=﹣a2=﹣2，即a2=2，解得a=．
若a≤0，由f（a）=0得，a2+2a+2=0，此时无解；或f（a）=﹣2，即a2+2a+4=0，此时无解，
综上：a=，
故答案为：．
点评：
本题主要考查分段函数的应用，利用换元法分别进行讨论即可．
考点：
偶函数．
专题：
计算题．
分析：
根据偶函数的定义可得f（x）=f（﹣x）然后整理即可得解．
解答：
解：∵函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数
∴f（x）=f（﹣x）
∴（﹣x）2+（m+2）（﹣x）+3=x2+（m+2）x+3
∴2（m+2）x=0①
即①对任意x∈R均成立
∴m+2=0
∴m=﹣2
故答案为﹣2
点评：
本题主要考查了利用偶函数的定义求参数的值．事实上通过本题我们可得出一个常用的结论：对于关于x的多项式的代数和所构成的函数若是偶函数则x的奇次项不存在即奇次项的系数为0，若为奇函数则无偶次项且无常数项即偶次项和常数项均为0！
考点：
奇函数；对数的运算性质．
专题：
计算题．
分析：
根据奇函数的性质f（0）=0代入可得，lg（a+2）=0解方程可求 a
解答：
解：根据题意可得，使得函数有意义的条件：
根据奇函数的性质可得f（0）=0
所以，lg（a+2）=0
a=﹣1满足函数的定义域
故答案为：﹣1
点评：
本题主要考查了奇函数的性质的应用，解决本题可以利用奇函数的定义，使得f（﹣x）=﹣f（x）对于定义域内的任意的x都成立，也可利用奇函数的性质f（0）=0（定义域内有0），而利用性质解题可以简化运算．
考点：
函数奇偶性的判断．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据函数奇偶性的定义即可得到结论．
解答：
解：∵，（1分）
∴函数f（x）的定义域是（﹣1，1），（2分）
定义域关于原点对称，（3分），
（4分）=，（5分）
而，，
∴，（6分）
∴f（x）是奇函数不是偶函数． （7分）
点评：
本题主要考查函数奇偶性的判断，根据对数函数的性质是解决本题的关键．
考点：
函数奇偶性的判断；不等式比较大小．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
（1）根据函数奇偶性的定义即可证明函数y=f（x）是奇函数；
（2）利用作差法即可比较大小．
解答：
证明：（1）函数的定义域为：x∈R，x≠0，关于原点对称，
又
故函数y=f（x）是奇函数．…（3分）
（2）f（a）﹣f（b）=a+﹣b﹣=（a﹣b）+（﹣）=a﹣b+=（a﹣b）（1﹣）=（a﹣b），
∵a＞b＞1，∴a﹣b＞0，ab＞1，
∴f（a）﹣f（b）＞0，
∴f（a）＞f（b）．…（8分）
点评：
本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数值的大小比较，利用作差法是解决本题的关键．