第二章 实数【章末复习】（培优课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册（新教材）

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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月20日 章末复习第二章 实数第二章 实数 全章精讲总结（北师大版八年级上册）2.1 认识实数1. 有理数与无理数有理数：整数和分数的统称，可化为有限小数或无限循环小数。包含正整数、0、负整数、分数。无理数：无限不循环小数，无法化成分数。常见四类：开方开不尽的数、π及含π的式子、特殊无限不循环小数、无法化简的无理式。注意：带根号的数不一定是无理数，如$$\sqrt{4}=2$$是有理数。2. 实数的分类按定义分：实数分为有理数、无理数；按正负分：正实数、0、负实数。0是有理数，非正非负。3. 实数核心性质实数与数轴上的点一一对应（有理数不满足）。数轴上右边的数大于左边的数，大小规律：正实数＞0＞负实数。全体实数适用相反数、绝对值、倒数性质：实数$$a$$的相反数为$$-a$$，绝对值$$|a|\ge0$$，非零实数有倒数，0无倒数。2.2 算术平方根与平方根1. 算术平方根定义：若正数$$x^2=a$$，则$$x$$为$$a$$的算术平方根，记作$$\sqrt{a}$$，0的算术平方根为0。核心：双重非负性$$a\ge0，\sqrt{a}\ge0$$。公式：$$(\sqrt{a})^2=a(a\ge0)$$，$$\sqrt{a^2}=|a|$$。2. 平方根定义：若$$x^2=a$$，则$$x$$为$$a$$的平方根，记作$$\pm\sqrt{a}$$。性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数无平方根。核心区别：算术平方根唯一非负，平方根正负成对，审题务必区分。2.3 立方根与估算1. 立方根定义：若$$x^3=a$$，则$$x$$为$$a$$的立方根，记作$$\sqrt[3]{a}$$。性质：全体实数都有唯一立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0。公式：$$(\sqrt[3]{a})^3=a$$，$$\sqrt[3]{a^3}=a$$，$$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$$（负号可直接移出）。2. 无理数估算核心方法：夹值法。平方根估算找相邻完全平方数，立方根估算找相邻完全立方数，锁定无理数取值范围。通用公式：无理数小数部分 = 原无理数 − 整数部分，小数部分恒满足$$0\le$$小数部分$$0)$$运算规则：系数、根式分开运算，结果化为最简二次根式。3. 二次根式加减运算运算步骤：先化简、再找同类、最后合并。仅同类二次根式可合并，规则：系数相加减，被开方数不变，非同类根式直接保留。4. 四则混合运算与分母有理化运算顺序：有括号先算括号，无括号先乘除后加减，同级从左到右。可活用平方差、完全平方公式简便运算。分母有理化：分母含根式必须化简，单项分母乘本身，两项分母利用平方差公式化简，保证结果最简。第二章 高频易错总汇总1. 混淆平方根与算术平方根，求平方根漏写负根；2. 负数无平方根但有立方根，极易混淆两类根式取值范围；3. $$\sqrt{a^2}=|a|$$化简漏加绝对值，符号出错；4. 二次根式加减不化简直接运算，强行合并非同类根式；5. 根式运算结果不化简、分母含根式，不符合答题规范；6. 估算无理数小数部分时，忘记减去整数部分。全章核心口诀实数分有理无理，数轴对应唯一解；平方根成对非负，立方根随原数走；估算夹值定区间，小数部分判正负；根式先化最简式，乘除全系加减类。实数本章知识结构无理数无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.估算无理数近似值的方法：“夹逼法”. 有理数和无理数有什么区别？分别举几个有理数和无理数的例子.区别：任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.下列各数中，哪些属于有理数，哪些属于无理数？平方根 平方根： ，一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，是0本身；负数没有平方根. 开平方：被开方数为非负数.立方根 开立方：被开方数为任意实数. 开方运算与乘方运算有什么联系？举例说明.开方运算是乘方运算的逆运算.aaC 对于任意一个直角三角形，已知其中两边的长，你能求出第三边的长吗？与同伴进行交流.根据勾股定理 a2+b2=c2，已知其中两边的长，可以求出第三边的长.已知a、b，求c：已知a、c，求b：已知b、c，求a：1. 在数轴上表示实数如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，点A，B在数轴上，若以点A 为圆心，以AC的长为半径作弧交数轴的正半轴与点M，则点M表示的数为( ).Rt△ABCBC=AD点A表示-1勾股定理AM=ACA2. 网格图中实数与勾股定理的综合运用如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上. 请按要求回答下列问题：（1）连接BC，线段BC的长度为______；（2）连接AB，AC，请你判断△ABC的形状，并说明理由；（3）请计算△ABC的面积.解：(2)连接AB，AC如图，△ABC是直角三角形.理由：因为AB2=12+32=10，AC2=22+62=40，BC2=50，所以AB2+AC2=BC2. 因此，△ABC是直角三角形.估算估算出所给无理数的近似值，再比较.根据所要求的精确度，四舍五入确定最终估值.利用估算比较两数大小：放缩法 、估算法、作差法、乘方法、作商法、倒数法. 你在生活中使用过估算的方法吗？你能用有理数估计一个无理数的大致范围吗？举例说明.利用估算比较面积的大小，利用估算判断材料是否够用等.C实数概念与性质：相反数、倒数、绝对值.分类：根据概念——有理数和无理数；根据性质符号——正实数、0、负实数.数轴：实数和数轴上的点是一一对应的；在数轴上，右边的点比左边的点表示的数大.有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.1. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（ ）A. a B. b C. c D.无法确定A二次根式运算法则：先化简，再合并；实数的运算法则、运算律对二次根式仍然适用. 举例说明如何化简二次根式.化：如果被开方数中的分母不是完全平方数，可以通过分数的基本性质，令分子、分母同时乘一个数，将分母化成完全平方数分：把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式移：把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外A2 举例说明二次根式的运算法则.例1 下面四个数中，属于无理数的是 ( ) A. 0 B. π C. D. -3.14B考点一 无理数的概念中无理数的个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5A1. 下列各数2. 一个长方形的长与宽分别是 6、3，它的对角线的长是( )A. 整数D. 无理数 C. 有理数B. 分数D【变式训练1】例2 有一个数值转换器，原理如下：当输入的 x 为 81 时， 输出的 y 是 ( )A. 9 B. C. 3 D.D考点二 平方根与立方根例3 下列说法正确的是 ( ) A. (-3)2 的平方根是 3 B. = ±4 C. 4 的算术平方根是 2 D. 9 的平方根是 3C3. 下列语句中正确的是（ ） A. -9 的平方根是 -3 B. 9 的平方根是 3C. 9 的算术平方根是±3 D. 9 的算术平方根是 3D【变式训练2】4. 下列运算中，正确的是（ ） A考点二 平方根与立方根例4 下列结果为 -1 的是 ( )A. B. C. D. 例5 若 ，则 a = 。Ca = (-2)3 = -8-8考点二 平方根与立方根D例6 与 最接近的整数是 ( )A.2 B.3 C.4 D.5分析：32＜15＜42，且 15 更接近 16，C例7 已知 的整数部分为 a，则 2a - 1 = .分析：∵ 22＜5＜32，∴ 2a - 1 = 3.3考点二 平方根与立方根8. 估计 的值在 ( )A. 5 到 6 之间 B. 6 到 7 之间C. 7 到 8 之间 D. 8 到 9 之间C9. 已知 a 的立方根是 2，b 是 的整数部分，则 a + b 的算术平方根是 .分析： a = 23 = 832＜12＜42→ b = 3a + b = 11考点讲练【变式训练4】考点二 平方根与立方根考点三 实数1.实数的概念与分类例7 将下列各数填入相应的集合中：无理数集合：{ …}；分数集合：{ …}；正数集合：{ …}；负整数集合：{ …}。2.实数的性质例7 有下列语句：① 带根号的数都是无理数；② 任何实数的绝对值都是非负数；③ 所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；④ 若两个非负数的和为零，则这两个数都为零. 其中，错误的是 .①③考点三 实数3.实数的性质与大小比较例8 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点如图所示，则将它们用“ < ”连接是 .其中：c < d < b < aa + b-d - cb - ca - d| c－b|=| a－d|=考点三 实数11. 比较大小： 与解：∵ (-2 + )-(-2+ ) = -2+ +2- = - ＞0，∴ -2+ ＞-2+ 另解：直接由正负决定-2+ ＞-2+【变式训练5】考点三 实数4.实数的运算例9 计算： 解：(1) 原式 = 3 + 1 - 3 + 6= 7.= -1.考点三 实数1.二次根式有意义的条件例10 若要使 有意义，则 x 的取值范围为 .分析：被开方数为非负数分母不为 0→ x - 4 ≠ 0x≤3→ 3 - x ≥ 0x≤3考点四 二次根式13. 已知 ，那么 xy = .分析：被开方数为非负数 2x - 1≥0，1 - 2x≥0，∴ y = 2.1考点四 二次根式2.二次根式的化简例11 下列各式中，计算正确的是 ( )C(a≥0)考点讲练考点四 二次根式14. 先化简再求值：当 a = 时， 求 的值.考点四 二次根式考点讲练3.二次根式的运算例12 计算:考点四 二次根式15. 计算:= 6 - 5= 1.= 5 + 1= 6.考点讲练考点四 二次根式