北师大版（2024）八年级上册数学 第二章 实数 教案【表格式】

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北师大版（2024）八年级上册数学第二章 实数 教案本章教材分析本章相关内容分析（一）单元地位与作用北师大版八年级数学上册《实数》单元在初中数学课程中具有重要的基础性地位和承上启下的作用，主要体现在以下几个方面： 1.数系的扩充与数学理论的基础；有理数到实数的扩展：在小学和七年级，学生主要学习有理数（整数、分数、小数），而《实数》单元引入了无理数（如√2、π等），使数的范围从有理数扩充到实数，形成了完整的实数体系。 数学概念的深化：学生通过学习平方根、立方根、算术平方根等概念，理解数的开方运算，为后续学习更复杂的数学理论（如复数）奠定基础。 2.后续数学学习的基础； 一元二次方程：实数范围内的运算（如开平方）是解一元二次方程的基础，例如配方法、求根公式都依赖于实数理论。 函数与解析几何：实数与数轴的一一对应关系（数形结合）是学习函数图像、坐标系的基础，例如一次函数、二次函数的定义域和值域均在实数范围内讨论。 三角函数与解直角三角形：在后续的三角函数学习中，角度和边长计算均涉及实数运算，如正弦、余弦值的计算。 3.运算能力与数学思维的培养； 实数运算的普适性：实数的四则运算、乘方、开方等运算法则与有理数一致，但增加了无理数的处理，如√2 + √3的计算，培养学生的运算能力。 数形结合思想：通过数轴表示无理数（如√2、π），强化数形结合思维，为解析几何的学习做准备。 逻辑推理能力：例如证明√2是无理数，培养学生的数学严谨性和逻辑推理能力。 4.数学文化的渗透 ；数学史教育：无理数的发现（如希帕索斯因发现√2而被惩罚的故事）帮助学生理解数学发展的历史，增强学习兴趣。 科学应用：实数在物理、工程等领域的应用（如测量、建模）让学生体会数学的实用性。 （二）知识结构本章一共设计了三节内容：第1节“认识实数”。教材首先通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际景和引入的必要性，借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想。给出无理数的概念，进而给出实数的概念及其分类，并用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等。第2节“平方根与立方根”。通过具体问题的解决，引入平方根和立方根的概念和开方运算（无理数有很多，开方开不尽的数是其中的一种，也是我们计算中经常接触到的）。由于在实际情境中的开平方运算结果多是正的，而且正数有两个平方根与学生长期的运算经验不符，学生不易接受，因此教材先引入算术平方根的概念，然后再引入一般的平方根的概念。在实际生活和生产实际中，人们常常通过估算来求实数的近似值，为此教材安排了一课时的估算内容，介绍估算的方法，包括通过估算比较大小，检验计算结果的合理性等。同时探索用计算器求平方根和立方根。经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力。第3节“二次根式”。学习实数的运算，介绍二次根式的概念及其化简和运算。对二次根式的运算规律，结合具体的实例进行探索，经历归纳、猜想和论证的过程，并据此进行简单的化简，发展运算能力和代数推理能力。（三）重点难点重点1.实数的概念与分类； 有理数与无理数的区分：理解无理数是无限不循环小数（如√2、π），而有理数包括整数、分数及有限或循环小数。 实数的分类：按定义分为有理数和无理数；按符号分为正实数、0、负实数。 2.平方根与算术平方根； 掌握平方根（如±√a）和算术平方根（仅非负值，如√a）的区别。 能求一个数的平方根，并理解其性质（如√a² = |a|）。 3.实数的运算；二次根式的化简：确保结果是最简形式（如√12 = 2√3）。 混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，注意符号处理。 4.实数与数轴的对应关系； 理解实数与数轴上的点一一对应，能在数轴上表示无理数（如√2、π）。 利用数轴比较实数大小（右边的数总比左边大）。 难点1.无理数的理解与识别； 易混淆带根号的数是否都是无理数（如√4=2是有理数）。 判断无限不循环小数（如0.1010010001…）是否为无理数。 2.实数的大小比较； 涉及无理数时需灵活运用平方法、差值法或近似值法； 3.二次根式的运算与化简；4.实数与数轴的结合应用； 在数轴上表示无理数需借助几何方法（如勾股定理构造√2）。 根据数轴位置化简含绝对值的表达式（如|a+b|−√a²）。 5.实数的混合运算与代数推理 综合运用运算律（如分配律、结合律）简化计算。 过逻辑推理证明实数的性质（如√2的无理性）。（四）教学建议1.多强调无理数与实数的概念理解；新课标明确要求学生“了解无理数和实数的概念”，知道实数由有理数和无理数组成，并能理解实数与数轴上的点一一对应的关系。教学中应通过具体实例（如√2、π等）帮助学生理解无理数的存在及其性质，避免仅停留在机械记忆层面。2.平时强化比较与估算能力；新课标新增要求“能用有理数估计一个无理数的大致范围”，并强调比较实数大小的方法。教学中可结合实际问题（如估算√3的近似值）培养学生的估算能力，同时借助计算器辅助计算，提高精确度。3.课上适时的融入数学史与文化背景；新课标建议在教学中融入数学史内容（如无理数的发现、古希腊数学家的贡献），增强学生的数学文化素养和学习兴趣。例如，介绍希帕索斯因发现无理数而遭受迫害的历史，帮助学生理解数学发展的曲折性。 4.联系生活加强实际应用；新课标强调数学与现实生活的联系，建议设计实际问题（如测量、金融计算）让学生体会实数的应用价值。例如，通过计算圆的周长或面积，让学生体会π的作用。5.多利用信息技术辅助教学；新课标鼓励使用计算器或计算机软件（如几何画板）进行实数运算和可视化展示，帮助学生直观理解无理数的性质。 1　认识实数第1课时　无理数的发现一、新课导入设计【情境导入】老师：同学们，我们学过不计其数的数，概括起来我们在小学阶段以及七年级阶段都学过哪些数呢？学生：在小学我们学过自然数、小数、分数、负数．学生：在七年级我们还学过有理数．老师：对，我们在小学学了自然数、小数、分数、负数，在七年级我们把数从小学学过的正数、零、负数扩充到了有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题．二、数学文化拓展阅读无理数的发现毕达哥拉斯学派是以古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约前580—约前500)为代表人物的一个学派．毕达哥拉斯学派发现了无理数，这是数学史上的一件大事，它导致了第一次数学危机．毕达哥拉斯学派有一个信条——“万物皆数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”．也就是一切现象都可以用有理数去描述．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯(Hippasus)发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示．这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌．据说，希帕索斯为此被投入了大海，他为发现真理而献出了宝贵的生命．但真理是不可战胜的，后来，古希腊人终于正视了希帕索斯的发现，并进一步给出了证明．假设边长为1的正方形的对角线的长可写成两个整数 p，q的比eq \f(p,q)(p，q互质)，于是有(eq \f(p,q))2＝2，p2＝2q2.因此，p2是偶数，p是偶数．于是可设p＝2m，那么p2＝4m2＝2q2，q2＝2m2.这就是说，q2是偶数，q也是偶数，这与“p，q是互质的两个整数”的假设矛盾．从无理数的发现可以看出，无理数并不“无理”，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映．教学设计续表教学活动续表续表第2课时　实数新课导人设计【复习导入】问题1：什么是有理数？有理数怎样分类？问题2：什么是无理数？教学设计教学设计续表续表续表2　平方根与立方根第1课时　算术平方根新课导入设计【复习导入】上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道了有理数和无理数的区别：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．上一节课我们解决了这样一个问题：有两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大正方形，那么有a2＝2，2是有理数，而a是无理数．那么该怎样表示a呢？在前面我们学过：若x2＝a，则a叫x的平方，反过来，x叫a的什么呢？本节课我们一起来学习．教学设计教学活动续表续表第2课时　平方根新课导入设计【复习导入】(1)什么叫作算术平方根？怎样表示？(2)9的算术平方根是3，17的算术平方根是eq \r(17)．(3)我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？(4)什么叫乘方？什么叫幂？(5)填空：①32＝9，(－3)2＝9;__②(0.8)2＝0.64，(－0.8)2＝0.64．(6)平方等于9的数有几个？平方等于0.64的数有几个？教学设计教学活动续表续表第3课时　立方根新课导入设计【置疑导入】去年夏天天气特别干燥，我们小区定时供水，我们家用棱长为1 m的正方体水箱存满水，可供全家一天使用．请你帮老师算一算，我们家一天需要多少水呢？如果停水8天，我们家该储存多少水呢？应该准备多大的正方体水箱呢？假如停水27天呢？【复习导入】问题：(1)若一个正方形的面积为a，则这个正方形的边长为eq \r(a)；(2)若一个正方体的体积为a，则这个正方体的棱长为多少？教学设计教学活动续表续表第4课时　估算及用计算器开方新课导入设计【情境导入】自从“第一次数学危机”，即古希腊人希帕索斯发现了无理数以来，人们对无理数的探究就从来没有停止过，而比较两个无理数的大小和对无理数的估算，则是其中重要内容之一．无理数是无限不循环小数，所以无法写出某个无理数，人们想到了用符号准确地表示一个无理数，如π，eq \r(2)等，但这给它们的大小比较和估算带来了一定的困难．那么，究竟如何估算无理数，如何比较两个无理数的大小呢？这节课我们就来研究它们．教学设计教学活动续表续表续表3　二次根式第1课时　二次根式的乘除运算新课导入设计【复习导入】前面我们学习了勾股定理和平方根等内容，请利用所学知识回答下列问题(多媒体出示问题)：(1)11的算术平方根是多少？(2)面积为a(a>0)的正方形的边长是多少？(3)直角三角形的两条直角边的长度分别是1和2，则斜边的长度是多少？(4)上述式子有什么共同特征？教学设计教学活动续表续表续表第2课时　二次根式的化简及加减运算新课导入设计【复习导入】问题1：二次根式的乘法法则和除法法则分别是什么？问题2：计算：(1)eq \r(6)×eq \r(\f(1,2))；(2)eq \f(\r(30),\r(5))；问题3：计算：(1)2eq \r(5)×3eq \r(2)；(2)(eq \r(5)＋2)2；(3)(eq \r(5)＋3)(eq \r(5)－3)；(4)(eq \r(18)－eq \r(2))×eq \r(\f(1,2)).教学设计教学活动续表续表续表第3课时　二次根式的混合运算新课导入设计【复习导入】1．什么是最简二次根式？2．二次根式的乘、除法运算法则分别是什么？eq \r(a)·eq \r(b)＝eq \r(ab)(a≥0，b≥0)；eq \f(\r(a),\r(b))＝eq \r(\f(a,b))(a≥0，b>0)．3．化简：(1)eq \r(27)；(2)eq \r(45)；(3)eq \r(128)；(4)eq \r(54)；(5)eq \r(\f(32,9))；(6)eq \r(\f(125,16)).根号里面的数有一部分移到了根号外面，进一步思考：什么数能往外移呢？它们又具备什么条件呢？教学设计教学活动续表续表续表课题第1课时　无理数的发现授课人素养目标1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．2．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想．3．理解无理数的概念，能判断一个数是否为无理数.教学重点1.无理数的探索过程．2．了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.教学难点1.无理数概念的建立．2．会判断一个数是无理数还是有理数，理解有理数与无理数的本质区别.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.有理数的概念是什么？2．有理数的分类有哪些？让学生回忆并回答，为本节课的学习提供迁移或类比方法.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】A→A→B跑，谁先到达终点B呢？通过学生熟悉的故事引起学生的关注和兴趣，同时也为新课的展开做铺垫.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】师：今天的龟兔赛跑故事谁会取胜？学生计算之后得出结论．师：它们各用多长时间？生：龟用50分，兔用32分．师：如果我们将BC＝400米改成200米结果会怎样？学生先自己计算，再小组讨论，但求不出结果．师：为什么算不出呢？我们如果设 AB＝m，m2＝130，你能求出m吗？它是整数吗？它是分数吗？它是有理数吗？学生讨论之后排除整数，因为整数的平方没有等于130的；也排除分数，因为分数的平方是分数，既不是整数也不是分数，因此它不是有理数．师：以上的例子说明我们学习的有理数已经不够用了，在日常生活中不能用有理数表示的现象还有很多，现在让我们动手体验一下吧！活动1：学生拿出课前准备的两个边长均为1的正方形彩纸(颜色不同)，把两个正方形剪拼成一个大正方形，认真讨论之后，动手剪一剪、拼一拼，设法得到一个面积为2的正方形并展示．1.通过类比思想，由特殊到一般，循序渐进地进行探究，激发学生对数学的学习兴趣.教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交流新知教师用大屏幕将学生剪拼的正方形展示给全班同学并提问：(1)设大正方形的边长为a，a满足什么条件？(2)a可能是整数吗？说说你的理由．(3)a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流．学生因为有了前面的经验，很快得出a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数．活动2：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？(1)如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由．(2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索．师生活动：先让学生分组讨论并整理过程，教师最后用课件呈现探索过程如下：边长a面积S1