高考数学一轮复习：7空间向量与立体几何-专题2练习（题型归纳与重难专题突破提升）

这是一份高考数学一轮复习：7空间向量与立体几何-专题2练习（题型归纳与重难专题突破提升），文件包含专题72空间点直线平面之间的位置关系原卷版docx、专题72空间点直线平面之间的位置关系解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc154010524" 题型二： 共点、共线、共面的证明 PAGEREF _Tc154010524 \h 7
\l "_Tc154010525" 题型三： 异面直线所成角 PAGEREF _Tc154010525 \h 10
\l "_Tc154010526" 题型四： 综合运用 PAGEREF _Tc154010526 \h 17
知识点总结
平面的基本事实及推论
(1)基本事实
(2)基本事实1与2的推论
空间点、直线、平面之间的位置关系
(1)空间中直线与直线的位置关系
(2)空间中直线与平面的位置关系
当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．
(3)空间中平面与平面的位置关系
常用唯一性结论
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
异面直线
(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
(2)判定方法：
①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．
②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 异面直线所成角的范围是(0°，90°]．
例题精讲
位置关系的判定
【要点讲解】结合平面的基本事实及其相关推论进行判断，必要时画出图形分析.
设、、、为空间中的四个不同点，则“、、、在同一个平面上”是“、、、中有三点在同一直线上”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，
可得若、、、中有三点在同一直线上，则、、、在同一个平面上，则必要性成立，
由推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面，则若、、、在同一个平面上，
不能得到、、、中有三点在同一直线上，则充分性不成立，
故“、、、在同一个平面上”是“、、、中有三点在同一直线上”必要不充分条件．
故选：．
下列说法中正确的是
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个互异平面和有三个不共线的交点
【解答】解：中，不在同一直线上的三点确定一个平面，所以不正确；
中，四边形有可能是空间几何体，即三棱锥，所以不正确；
中，因为梯形的两底平行，两条平行线确定一个平面，所以梯形是平面图形，所以正确；
中，两个互异平面和有交点，则交点在同一条直线上，所以不正确．
故选：．
空间不重合的三个平面可以把空间分成
A．4或6或7个部分B．4或6或7或8个部分
C．4或7或8个部分D．6或7或8个部分
【解答】解：空间不重合的三个平面，
若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；
若三个平面有两个平面平行，则第三个平面与其它两个平面相交，可将空间分为6部分；
若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分；
若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分．
所以空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分．
故选：．
在正方体中，点是棱的中点，点是平面内的一点，且，则点为
A．一个定点B．一个平面上任意一点
C．一条直线上任意一点D．一个圆上任意一点
【解答】解：在正方体中，因为，
所以点在过点且与垂直的一个平面内，
即为平面的一个法向量，
又平面的法向量为，且与不平行，
所以平面与平面一定相交于直线，
所以点在直线上运动．
故选：．
共点、共线、共面的证明
【要点讲解】(1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可；(2)要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用基本事实3，即证点在两个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上；(3)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上.
在四棱柱中，，，，．
（1）当时，试用表示；
（2）证明：，，，四点共面；
（3）判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由．
【解答】解：（1）由三角形相似及几何关系，得；
（2）证明：由三角形相似原理可得，，，，所以，四边形与四边形相似，所以，，，四点共面；
（3）可以，
理由如下：若四棱柱为正四棱柱，则与平行且相等，
所以四边形是平行四边形，平面与平面重合，
又与平行且相等，所以四边形是平行四边形，平面与平面重合，
此时即为平面和平面的交线．
如图，在正方体，对角线与平面交于点．、交于点、为的中点，为的中点，
求证：（1）、、三点共线
（2）、、、四点共面
（3）、、三线共点．
【解答】证明：（1）平面，，平面；
又平面，平面；
、交于点，，；
又平面，平面，
平面，平面；
又平面，平面；
、、三点在平面与平面的交线上，
、、三点共线；
（2）为的中点，为的中点，
，
又，，
四边形是平行四边形，
；
，
、、、四点共面；
（3）平面平面，
设与交于一点，则：
，平面，
平面；
同理，平面，
平面平面，
直线、、三线交于一点，
即三线共点．
如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：
（1），，，四点共面；
（2）与的交点在直线上．
【解答】证明：（1），
，
，分别为，的中点，，
，
，，，四点共面．
（2）、不是、的中点，
，且，
与必相交，设交点为，
平面，平面，
平面，且平面，
平面平面，
，
与的交点在直线上．
异面直线所成角
【要点讲解】求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是
A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能
【解答】解：根据题意，直线与相交，与相交，
直线与直线可能相交、平行、异面，
故选：．
在长方体中，已知，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，0，，，2，，
所以，1，，，2，，
所以，，
因为异面直线夹角的取值范围为，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
已知平面平面，直线，直线，则与的位置关系是
A．平行B．平行或异面C．异面D．异面或相交
【解答】解：因为平面平面，直线，直线，
所以与没有交点，即与可能平行，也可能异面．
故选：．
堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，1，，，0，，，0，，，1，，
所以，1，，，，，
所以，，
因为异面直线夹角的取值范围为，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
如图在棱长为2的正方体中，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于
A．B．C．D．
【解答】解：建立空间直角坐标系，如图所示；
，0，，，0，，，0，，，2，，，0，；
，0，，，2，，，
，；
所以，；
所以异面直线和所成角的余弦值为．
故选：．
在正方体中，，分别是棱，的中点，则直线和所成角的余弦值是
A．B．C．D．
【解答】解：如图，以点为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则：
，0，，，1，，，2，，，0，，
，
，
直线和所成角的余弦值是．
故选：．
在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则异面直线与夹角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，取的中点，连接，，
因为是棱中点，
所以，故或其补角为异面直线与夹角，
又正四面体棱长为2，故，
，
故异面直线与夹角的余弦值为．
故选：．
已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，把三棱柱补成四棱柱，由题意得，
易知该四棱柱为长方体，，异面直线与所成角为（或其补角），
，
．
故选：．
如图，已知正方形所在平面与正方形所在平面构成二面角的平面角为，且异面直线与所成角为，则
A．2B．C．0D．
【解答】解：根据题意可知，即为平面与平面构成二面角的平面角，
所以，
设正方形边长为1，异面直线与所成的角为，
故或，
又，
所以，
即
所以，
所以，所以或2（舍去）．
故选：．
如图，，分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线，的夹角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：在中，由余弦定理得：
，
，
在中，由余弦定理得：
，
，
，．
故选：．
综合运用
如图，在正方体中，，分别是和的中点．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求异面直线且所成的角．
【解答】解：（1）证明：连接，
因为，分别是和的中点，
所以且，
又因为且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
所以，
所以与确定一个平面，
所以，，，，
即，，，四点共面；
（2）连结，，
在正方体中，平行且等于，
所以四边形为平行四边形，可得，
因此（或其补角）是异面直线与所成的角，
设正方体的棱长为，则△中，
所以△是等边三角形，可得，
即异面直线与所成的角等于．
如图，直四棱柱的底面为直角梯形，，，，，，分别为棱，的中点．
（1）在图中作出平面与该棱柱的截面图形，并用阴影部分表示（不必写出作图过程）；
（2）为棱的中点，求异面直线与所成角的正弦值．
【解答】解：（1）取中点，连结，，则四边形是平面与该棱柱的截面图形．
（2）因为直四棱柱的底面为直角梯形，，，，，，分别为棱，的中点，
所以以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，1，，，2，，，1，，，1，，
设异面直线与所成角为，
，
异面直线与所成角的正弦值为．
如图，所有棱长均为2的斜三棱柱中，，，分别是，的中点．
（1）求四边形的面积；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【解答】解：（1）令，，，
则，．
因为，，
所以，
所以，即，
所以四边形 是边长为2的正方形．
所以四边形 的面积为4；
（2）如图，连接，，由（1）易得，
所以，
因为，所以异面直线与所成的角，即直线与所成的角．
因为，所以
所以，
设直线与所成的角为．
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
基本
事实
文字语言
图形语言
符号语言
作用
基本
事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
确定平面；判定点线共面
基本
事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
确定直线在平面内；判定点在平面内
基本
事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
判定两平面相交；判定点在直线上
推论
文字语言
图形语言
符号语言
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α
位置关系
共面情况
公共点个数
共面
直线
相交直线
在同一个平面内
1
平行直线
在同一个平面内
0
异面直线
不同在任何一个平面内
0
位置
关系
直线在
平面内
直线与
平面相交
直线与
平面平行
公共点个数
无数个
1
0
图形表示
位置关系
两个平面相交
两个平面平行
公共点个数
无数个
(有一条公共直线)
0
符号表示
α∩β＝a
α∥β
图形表示