新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第06章跟踪训练01 数列的概念（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第06章跟踪训练01 数列的概念（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了已知数列的前项和，，则等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列9，99，999，9999，，写出的通项公式
A．B．C．D．
【解答】解：数列9，99，999，9999，，
可以表示为：，，，，，
的通项公式：，
故选：．
2．已知是各项均为正整数的递增数列，且，若，则的最大值为
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：若要使尽可能的大，则取最小值，数列递增幅度要最小，
则的最小值为，的最小值为，
即当是公差为1的等差数列，的值最大，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，
则，
所以，
当，，
当，，
当，，所以的最大值为10．
故选：．
3．数列，4，，16，的一个通项公式为
A．B．
C．D．
【解答】解：设此数列为，其符号为，绝对值为．
．
故选：．
4．已知数列的项满足，而，通过计算，，猜想等于
A．B．C．D．
【解答】解：数列的项满足，而，
．
猜想．
故选：．
5．已知数列的前项和，，则
A．20B．17C．18D．19
【解答】解：数列的前项和，，
则．
故选：．
6．等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，使一定为递减数列的条件是
A．B．，
C．，或，D．
【解答】解：等比数列为递减数列，
当首项，公比时，为递减数列；
当首项，公比时，数列为递增数列；
当首项，公比时，数列为递增数列；
当首项，公比时，数列为递减数列；
使一定为递减数列的条件是，或，．
故选：．
7．设数列的前项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不是充分也不是必要条件
【解答】解：数列中，对任意，，则，；
所以数列是递增数列，充分性成立；
当数列为递增数列时，，；
即，所以，
如数列，2，2，2，；不满足题意，必要性不成立；
所以“对任意，”是“数列为递增数列”的充分不必要条件．
故选：．
8．数列0，，4，，的一个通项公式为
A．B．C．D．
【解答】解：数列0，，4，，，
即数列，，，，，
所以数列的一个通项公式为，即．
故选：．
9．数列，4，，20，的一个通项公式可以是
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意，数列，4，，20，，
有，
，
，
，
故该数列的一个通项公式可以为：．
故选：．
10．数列的第10项是
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，数列，
其通项公式为，故其第10项．
故选：．
11．已知无穷实数列的前项和为．若数列既有最大项，也有最小项，则在：①“且数列严格减”和②“且数列严格增”中，可能满足的条件是
A．不存在B．只有①C．只有②D．①和②
【解答】解：对于①，不妨设，，当，，因为，，当，，所以，
又，所以，可能满足条件①；
对于②，设，，则到轴的距离随的增大而增大，对某一整数，当，
若单调递增或单调递减或正负交替，数列均不能同时存在最大值和最小值，不可能满足条件②．
故选：．
12．数列，4，，8，的通项公式可以是
A．B．
C．D．
【解答】解：数列，4，，8，的奇数项为负，偶数项为正，且均为2的倍数，
故．
故选：．
13．若数列为，，，，，则是该数列中的
A．第17项B．第18项C．第19项D．第20项
【解答】解：根据题意，数列，，，，
则其通项可以为，
若，解可得，即是第20项，
故选：．
14．已知各项均为正整数的递增数列的前项和为，若，，当取最大值时，的值为
A．10B．61C．64D．73
【解答】解：因为为递增数列且均为正整数，，，
若取最大值时，则当时，均取到最小，即，，，，
即当时，可得，所以数列是以首项为3，公差为1的等差数列，
则，
又因为，，，
若的最大值为61，则，，符合题意；
若的最大值为62，则，，不符合题意；
综上所述：当取最大值时，的值为73．
故选：．
15．数列2，0，2，0，的通项公式可以为
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，其前4项为0，2，0，2，不符合题意；
对于，，其前4项为0，4，0，4，不符合题意；
对于，，其前4项为2，0，，0，不符合题意；
对于，，其前4项为2，0，2，0，符合题意；
故选：．
二．多选题（共5小题）
16．下列说法中正确的是
A．数列1，2，3，4，5和数列5，4，3，2，1是相同的数列
B．2，2，2，2，2，2是数列，这些数也可以构成集合，2，2，2，2，
C．数列1，3，5，7，9的第1项是1，第2项是3
D．已知是一个数列，则也是一个数列
【解答】解：对于选项：数列1，2，3，4，5和数列5，4，3，2，1是不同的数列，故错误；
对于选项，2，2，2，2，2是数列，这些数也可以构成集合，故错误；
对于选项：数列1，3，5，7，9的第1项是1，第2项是3，故正确；
对于选项：已知是一个数列，则也是一个数列，故正确；
故选：．
17．下列叙述不正确的是
A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B．数列0，1，2，3，可以表示为
C．数列0，1，0，1，是常数列
D．数列是递增数列
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，数列1，3，5，7与7，5，3，1，数字的顺序不同，是不同的数列，错误；
对于，数列0，1，2，3，可以表示为，错误；
对于，数列0，1，0，1，是摆动数列，错误；
对于，数列，有，则，则数列是递增数列，正确；
故选：．
18．已知数列，2，，，则下列说法正确的是
A．此数列的通项公式是B．8是它的第32项
C．此数列的通项公式是D．8是它的第4项
【解答】解：数列，2，，，即，，，，，
则此数列的通项公式为，故正确，错误，
令，解得，
故8是它的第32项，故正确，错误．
故选：．
19．已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为
A．B．
C．D．
【解答】解：：若，则数列的前4项为0，2，0，2，不符合题意；
，则数列的前4项，2，0，2，0，符合题意；
，则数列的前4项，2，0，2，0，符合题意；
，则数列的前4项，2，0，2，0，符合题意．
故选：．
20．已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，该数列的前4项为0，2，0，2，不符合题意；
对于，，该数列的前4项为2，0，2，0，符合题意；
对于，，该数列的前4项为2，0，，0，不符合题意；
对于，，该数列的前4项为2，0，2，0，符合题意；
故选：．
三．填空题（共5小题）
21．已知无穷数列满足，，，，写出满足条件的的一个通项公式： （或（答案不唯一） ．（不能写成分段数列的形式）
【解答】解：由，，，，
猜想．
故答案为：．（答案不唯一）．
22．数列的通项公式为，对于任意自然数，数列都是递增数列，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：因为，当时，，
因为是递增数列，所以，即，也即，
因为，所以．
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
23．已知数列满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列的通项公式： ．
【解答】解：根据题意，要求数列①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数；
则符合，
故答案为：（答案不唯一）．
24．“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二．问物几何？”即著名的“孙子问题”，最早由《孙子算经》提出，研究的是整除与同余的问题．现有这样一个问题：将1到2022这2022个数中，被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的中位数为 1007 ．
【解答】解：由题意可知，既是3的倍数，又是5的倍数，即，
故，
当时，，
当时，，
故，2，3，，135，
故数列共有135项，即中位数为第68项，
故．
故答案为：1007．
25．已知数列的通项公式为，，且为单调递增数列，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：数列的通项公式为，且数列是递增数列，
，恒成立，
即，恒成立，
而，随的增大而增大，
即当时，，取得最小值2，则，
所以实数的取值范围是，
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
26．已知数列满足，
（Ⅰ）数列中有哪些项是负数？
（Ⅱ）当为何值时，取得最小值？并求出此最小值．
【解答】解：（Ⅰ），解得，
，
数列中第1，2，3，4，5项为负数，即，，，，，
（Ⅱ），当，3时取得最小值，最小值为．
27．已知有穷数列、，2，，，函数．
（1）如果是常数列，，，，在直角坐标系中在画出函数的图象，据此写出该函数的单调区间和最小值，无需证明；
（2）当，时，判断函数在区间，上的单调性，并说明理由；
（3）当，，时，求该函数的最小值．
【解答】解：（1）是常数列，，，，则，
则其图象为如图，
由图象可得减区间，，增区间，，最小值（2）；
（2），时，且，，
所以，
所以，
所以且，
所以在，上单调递增；
（3）因为，
显然当，时，单调递增，当，时，单调递减，
设存在一个值，使得时单调递减，时单调递增，
此时最小值为，下面证明存在：
因为若要时单调递减，时单调递增，
则有解得：，
且，解得，
所以，所以，所以存在满足条件，故假设成立，
综上可知：在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为．
28．已知数列的前项和为．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）试讨论数列的单调性（递增数列或递减数列或常数列）．
【解答】解：（1）由已知，得，
（3分）
又，（2分）
所以，数列为公差为的等差数列．（1分）
（2）由，得
当时，数列为递增数列；（2分）
当时，数列为常数列；（2分）
当时，数列为递减数列．（2分）