新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第05章跟踪训练04 余弦定理、正弦定理（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第05章跟踪训练04 余弦定理、正弦定理（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了关于题目等内容，欢迎下载使用。
1．在△ABC中，若asinB=3bcsA，且sinC＝2sinAcsB，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【解答】解：已知asinB=3bcsA，
则sinAsinB=3sinBcsA，
则tanA=3，
即A=π3，
又sinC＝2sinAcsB，
则sinAcsB+csAsinB＝2sinAcsB，
即sinAcsB﹣csAsinB＝0，
即sin（A﹣B）＝0，
又﹣π＜A﹣B＜π，
即A＝B，
即A＝B＝C=π3，
即△ABC一定是等边三角形，
故选：D．
2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠OBE的度数为​（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．
∵OE＝OF，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∵∠AFE＝25°，
∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，
∴∠FAO＝20°．
在△AOF和△BOE中，
OA=OB∠AOF=∠BOE=90°OF=OE，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴∠EBO＝∠FAO＝20°．
故选：B．
3．如图，在△ABC中，AB＝10，以点B圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC点于M，N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点O．作射线BO交AC于点D．过点D作DE∥BC，交AB点E，若AD＝4，则△ADE的周长等于（ ）
A．6B．8C．14D．18
【解答】解：依题意可知，△BMO≌△BON，
即∠MBO＝∠NBO，
即BO是∠ABC的角平分线，
由于DE∥BC，
所以∠NBO＝∠EDB，
所以∠EBD＝∠EDB，
所以BE＝DE，
又AB＝10，
所以△ADE的周长等于10+4＝14．
故选：C．
4．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝20米，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（ ）
A．10（3+3）B．10（3+1）C．20（3−1）D．20（3−3）
【解答】解：设AB＝h，则BC=ℎtan60°=ℎ3，
因为∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝20米，
所以在△BCD中，sin∠CBD＝sin（30°+45°）=12×22+32×22=2+64，
所以由正弦定理CDsin∠CBD=BCsin∠BDC，
可得202+64=ℎ322，
解得h＝20（3−3）．
故选：D．
5．关于题目：“在△ABC中，BC＝4，点D为BC边上一点，AD＝2，且∠BAC＝2∠BAD”，甲、乙、丙、丁四名同学研究它的周长时，得出四个结论：
甲：△ABC周长的最小值为4+22；
乙：△ABC周长的最大值为4+23；
丙：△ABC周长的最小值为4(1+2)；
丁：△ABC周长的最大值为4(1+3)．
你认为四人中得出正确结论的是（ ）
A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学
【解答】解：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠BAC＝2θ，则∠BAD＝∠CAD＝θ，
由题意得S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
则12bcsin2θ=12AD⋅bsinθ+12AD⋅csinθ，
∴bcsinθcsθ＝bsinθ+csinθ，则bccsθ＝b+c，
∴csθ=b+cbc，
由余弦定理得cs2θ=b2+c2−162bc，
又cs2θ＝2cs2θ﹣1，
则b2+c2−162bc=2(b+cbc)2−1，整理得4（b+c）2＝bc[（b+c）2﹣16]，
∴4(b+c)2≤(b+c)24[(b+c)2−16]，解得b+c≥42，
当且仅当b=c=22时取得等号，
∴△ABC周长的最小值为4(1+2)．
故选：C．
6．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝csinB+bcsC，b＝4，则a−csinA−sinC=（ ）
A．4B．6C．42D．62
【解答】解：设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=2R，
所以a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
所以a＝csinB+bcsC，可化为sinA＝sinCsinB+sinBcsC，
又sinA＝sin（B+C）＝sinBcsC+csBsinC，
所以sinCsinB＝csBsinC，因为sinC≠0，csB≠0，
所以tanB＝1，又B∈（0，π），
所以B=π4，
又a−csinA−sinC=2RsinA−2RsinCsinA−sinC=2R=bsinB=422=42．
故选：C．
7．如图，点E，F在正方形ABCD内部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝4，EF＝3，FC＝5，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．25B．35C．210D．310
【解答】解：连接AC交EF于点O，如图所示：
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AHO＝∠CHO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO∽△CFO，
∴AE：CF＝OE：OF，
∵AE＝4，EF＝3，FC＝5，
∴4：5＝（3﹣OF）：OF，解得OF=53，
∴OE＝3−53=43，
在Rt△COF中，OC=OF2+CF2=(53)2+52=5310，
在Rt△AOE中，OA=AE2+OE2=42+(43)2=4310，
∴AC＝310，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，解得AB＝35，
∴正方形ABCD的边长为35．
故选：B．
8．在△ABC中，|AB|＝5，|BC|＝6，|AC|＝7，则△ABC的面积是（ ）
A．1532B．66C．12D．126
【解答】解：△ABC中，∵|AB|＝5，|BC|＝6，|AC|＝7，则由余弦定理可得49＝25+36﹣2×5×6×csB，
求得csB=15，∴sinB=1−cs2B=265，
故△ABC的面积为 12•|AB|•|BC|•sinB=12×5×6×265=66，
故选：B．
9．在锐角△ABC中，若B＝2A，则sinAsinB的取值范围是（ ）
A．(2，3)B．[−12，12]C．(33，22)D．(−12，12)
【解答】解：在锐角△ABC中，由B＝2A，得C＝π﹣3A，
于是0＜2A＜π20＜π−3A＜π2，解得π6＜A＜π4，22＜csA＜32，
所以sinAsinB=sinAsin2A=12csA∈(33，22)．
故选：C．
10．在△ABC中，若A=π3，csB=277，b＝2，则a＝（ ）
A．3B．5C．3D．7
【解答】解：∵A=π3，csB=277，b＝2，
∴sinB=1−cs2B=217，
由正弦定理可得，asinA=bsinB，
∴a=bsinAsinB=2×32217=7．
故选：D．
11．已知△ABC中，内角A，B，C满足A+sinC＞π2+csB，则（ ）
A．cs2C+cs2B＜cs2AB．sinCcsB+sinBcsC≥2
C．b＞acsCD．sin2C+sin2B＜sin2A
【解答】解：对于选项A，不妨取B=C=π6，A=2π3，满足A+sinC＞π2+csB，
但cs2C+cs2B＝csπ3+csπ3=12+12=1＞cs2A＝cs4π3=−12，故A错误；
对于选项B，由A+sinC＞π2+csB，得π−B−C+sinC＞π2+sin(π2−B)，
即sinC−C＞sin(π2−B)−π2+B，
构造函数f（x）＝sinx﹣x，x∈（0，π），则f'（x）＝csx﹣1＜0，
所以f（x）在（0，π）上单调递减，
因为f(C)＞f(π2−B)，所以C＜π2−B，故A=π−B−C＞π−B−(π2−B)=π2，
可得B，C∈(0，π2)，π2−B∈(0，π2)，A∈(π2，π)，
因为y＝sinx在(0，π2)上单调递增，所以sinC＜sin(π2−B)=csB，即sinCcsB＜1，
因为y＝csx在(0，π2)上单调递减，所以csC＞cs(π2−B)=sinB，即sinBcsC＜1，
可得sinCcsB+sinBcsC＜1+1=2，故B错误；
对于选项C，因为A∈(π2，π)，csA=b2+c2−a22bc＜0，即b2+c2﹣a2＜0，
可得b−acsC=b−a⋅a2+b2−c22ab=b2+c2−a22b＜0，故C错误；
对于选项D，由C可知，b2+c2﹣a2＜0，
由正弦定理可得（2RsinB）2+（2RsinC）2﹣（2RsinA）2＜0，
即sin2C+sin2B＜sin2A，故D正确．
故选：D．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＝a2+c2+ac，则角B＝（ ）
A．π6B．π3C．3π4D．2π3
【解答】解：因为b2＝a2+c2+ac，
所以a2+c2﹣b2＝﹣ac，
所以csB=a2+c2−b22ac=−ac2ac=−12，
又B∈（0，π），
所以B=2π3．
故选：D．
13．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA'等于（ ）
A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm
【解答】解：由题意知，两个三角形重叠部分是一个平行四边形，
设AC交A′B′于H，
∵∠A＝45°，∠D＝90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形，
设AA′＝xcm，则A′H＝xcm，A′D＝（2﹣x）cm，
∵两个三角形重叠部分的面积为1cm2，
∴A′H•A′D＝1，即x⋅（2﹣x）＝1，
解得x＝1，
∴AA′＝1cm．
故选：B．
14．在△ABC中，BD平分∠ABC，且BD交AC于D，若BD=2，cs∠ABC=35，则AB+4BC的最小值为（ ）
A．5B．952C．92D．55
【解答】解：由题意得cs∠ABC=35＞0，∠ABD=∠DBC=12∠ABC∈(0，π4)，
则sin∠ABD=sin∠DBC=1−cs∠ABC2=55，sin∠ABC=35，
∵S△ABC＝S△ABD+S△DBC，
∴12×AB×BC×sin∠ABC=12×AB×BD×sin∠ABD+12×BC×BD×sin∠DBC，
∴2AB×BC=5(AB+BC)，整理得1AB+1BC=255，
∴AB+4BC=(AB+4BC)⋅1AB+1BC255=52(5+4BCAB+ABBC)≥52×(5+24BCAB⋅ABBC)=952，
当且仅当AB=352，BC=354时，等号成立，
故AB+4BC的最小值为952．
故选：B．
15．西昌市某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，且C，D的距离为12米，则旗杆的高度为（ ）
A．9米B．12米C．133米D．15米
【解答】解：设AB＝x，由图利用直角三角形的性质可得：BC＝AB＝x，BD=3x，
在△BCD中，由余弦定理可得：3x2＝x2+122﹣2•12xcs120°，化为x2﹣6x﹣72＝0，
解得x＝﹣6（舍去），或x＝12．
故选：B．
二．多选题（共5小题）
（多选）16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝1，且a2﹣c2＝2，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜32
B．tanA+3tanC＝0
C．角B的最大值为π3
D．△ABC的外接圆面积的最小值为π
【解答】解：∵b＝1，a2﹣c2＝2，
由余弦定理可得：csC=a2+b2−c22ab=32a＜1，故 a＞32，选项A不正确；
所以csC=32a=3b2a=3sinB2sinA，∴2sinAcsC＝3sinB，又sinB＝sin（A+C）
∴2sinAcsC＝3sinAcsC+3csAsinC，即 tanA+3tanC＝0，选项B正确；
因为csC=32a＞0，C∈（0，π2），tanC＞0，
所以tanB＝﹣tan（A+C）=−tanA+tanC1−tanAtanC=−−3tanC+tanC1+3tan2C=2tanC1+3tan2C=21tanC+3tanC≤221tanC⋅3tanC=33；
（当且仅当 tanC=33，即 C=π6，B=π6，A=2π3 取等号），
∴B≤π6，选项C不正确；
∴B≤π6，∴sinB≤12，△ABC的外接圆直径 2R=bsinB≥2
△ABC的外接圆面积 S＝πR2≥π，（当且仅当 tanC=33，即 C=π6，B=π6，A=2π3时取等号），选项D正确．
故选：BD．
（多选）17．在△ABC中，下列说法正确的是（ ）
A．若a＝2bsinA，则B=π6
B．若A＞B，则sinA＞sin B
C．AB＝22，∠B＝45°，若AC=6，则这样的三角形有两个
D．若b2+c2＞a2，则△ABC为锐角三角形
【解答】解：选项A，a＝2bsinA由正弦定理得sinA＝2sin BsinA，
三角形中sinA≠0，所以sinB=12，而B∈（0，π ），所以B=π6或B=5π6，故A错误；
选项B，△ABC 中，asinA=bsinB，所以A＞B，所以a＞b，所以sinA＞sinB，故B正确；
选项C，由于ABsinC=ACsinB，sinC=22sinπ46=63，又AC＜AB，
角C可能为锐角也可能为钝角，三角形有两解，故C正确；
选项D，b2+c2＞a2，由余弦定理得csA＞0，A为锐角，但B，C两个角大小不确定，
不能得出其为锐角三角形，故D错误．
故选：BC．
（多选）18．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2＝ca且3asinA=bcsB，则下列说法正确的是（ ）
A．B＝30°
B．(AB→|AB→|+CB→|CB→|)⋅AC→=0
C．△ABC为等腰非等边三角形
D．△ABC为等边三角形
【解答】解：对于A，由正弦定理及3asinA=bcsB知，3sinAcsB＝sinAsinB，
因为sinA＞0，所以tanB=sinBcsB=3，又B∈（0°，180°），所以B＝60°，故A正确；
对于B，由平面向量的加法运算法则知，AB→|AB→|+CB→|CB→|与∠ABC的角平分线共线，
因为△ABC为等边三角形，所以（AB→|AB→|+CB→|CB→|）⊥AC→，即（AB→|AB→|+CB→|CB→|）•AC→=0，故B正确；
对于C与D，由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accsB，因为b2＝ca，所以ac＝a2+c2﹣2accs60°，
整理得（a﹣c）2＝0，即a＝c，所以△ABC为等边三角形，即选项C错误，故D正确．
故选：ABD．
（多选）19．已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题正确的有（ ）
A．若a=10，b＝2，c＝3，则BA→⋅AC→=32
B．若△ABC为锐角三角形，则sinA+sinB＞csA+csB
C．若sin2A+sin2B+cs2C＞1，则△ABC为锐角三角形
D．若cs（A﹣B）cs（B﹣C）cs（C﹣A）＝1，则△ABC是等边三角形
【解答】解：对于选项A，已知a=10，b＝2，c＝3，
则csA=b2+c2−a22bc=4+9−102×2×3=14，
则BA→⋅AC→=cbcs(π−A)=3×2×(−14)=−32，
即选项A错误；
对于选项B，已知△ABC为锐角三角形，
则π2＞A＞π2−B＞0，即sinA＞sin(π2−B)=csB，
同理sinB＞csA，
即sinA+sinB＞csA+csB，
即选项B正确；
对于选项C，已知sin2A+sin2B+cs2C＞1，
则sin2A+sin2B＞1﹣cs2C＝sin2C，
即a2+b2﹣c2＞0，
即csC＞0，
即C为锐角，
即选项C错误；
对于选项D，因为﹣1＜cs（A﹣B）≤1，﹣1＜cs（B﹣C）≤1，﹣1＜cs（C﹣A）≤1，
又cs（A﹣B）cs（B﹣C）cs（C﹣A）＝1，
则当且仅当A﹣B＝B﹣C＝C﹣A＝0时取等号，
即A＝B＝C，
即△ABC是等边三角形，
即选项D正确．
故选：BD．
（多选）20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列关系式恒成立的是（ ）
A．c＝a•csB+b•csA
B．2sin2A+B2=1+csC
C．a2﹣b2＝c•（a•csB﹣b•csA）
D．tanC=tanA+tanB1−tanAtanB
【解答】解：sinC＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B），
则sinC＝sinA⋅csB+sinB⋅csA，
结合正弦定理得c＝a⋅csB+b⋅csA，故A正确；
2sin2A+B2=1−cs(A+B)=1−cs(π−C)=1+csC，故B正确；
c⋅(a⋅csB−b⋅csA)=ac⋅a2+c2−b22ac−bc⋅b2+c2−a22bc=a2−b2，故C正确；
tanA+tanB1−tanAtanB=tan(A+B)=tan(π−C)=−tanC，故D错误．
故选：ABC．
三．填空题（共5小题）
21．记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝8，c＝7，C＝60°，则sinB＝ 5314 ．
【解答】解：因为a＝8，c＝7，C＝60°，
由余弦定理，得csC=82+b2−722×8×b=12，解得b＝5或b＝3，
当b＝3时，a2﹣b2﹣c2＝82﹣32﹣72＝6＝﹣2bccsA＞0，
所以csA＜0，
所以△ABC为钝角三角形，不符题意，
所以b＝5，由正弦定理，得7sin60°=5sinB，
所以sinB=5314．
故答案为：5314．
22．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为 2或5−13 ．
【解答】解：分两种情况：（1）当点P在菱形对角线AC上时，如图所示：
由对称性得AN＝PN，AM＝PM．
因为四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，此时△ABC为等边三角形，
所以AN＝AM＝2．
（2）当点P在菱形对角线BD上时，如图所示：
设AN＝x，由对称性得PM＝AM＝2，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A﹣60°．
因为AB＝3．所以BM＝AB﹣AM＝1．
因为四边形ABCD是菱形，所以∠ADC﹣180°﹣60°＝120°，
∠PDN−∠MBP=12∠ADC=60°．
在四边形AMPN中，∠ANP+∠AMP＝360°﹣∠A﹣∠NPM＝240°．
所以∠DNP+∠PMB＝180°﹣∠ANP+180°﹣∠AMP＝120°，
又因为∠BPM+∠PMB＝180°﹣∠PBM﹣120°，所以∠BPM＝∠DNP，
又∠PDN＝∠MBP，所以△PDN∽△MBP，
所以 DNBP=PDBM=PNPM，即3−xBP=PD1=x2，
所以PD=12x，得3−x3−12x=12x．
解得：x=5−13或x=5+13（不合题意舍去）．
∴AN=5−13．
综上所述，AN的长为2或5−13．
故答案为：2或5−13．
23．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，BC=27，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝ 43 ．
【解答】解：如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a，
由余弦定理可得，BC2＝AC2+AB2﹣2AC⋅BCcs∠BAC，
即22+b2﹣2×2×b×cs120°＝28，
因为b＞0，解得b＝4，
由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
可得12×2×4×sin120°=12×2×AD×sin60°+12×AD×4×sin60°，
解得AD=43．
故答案为：43．
24．已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径r＝ 2 ．
【解答】解：依题意，作出图形如下：
其中AB＝5，BC＝12，AC＝13，圆O与△ABC三边分别切于D，E，F，
因为AB2+BC2＝169＝AC2，
所以AB⊥BC，
所以S△ABC=12AB⋅BC=12×5×12=30，
又由圆相切易得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且OD＝OE＝OF＝r，
所以S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
=12AB⋅OD+12BC⋅OE+12AC⋅OF
=12(AB+BC+AC)⋅r
=12×(5+12+13)r
＝15r，
从而15r＝30，则r＝2．
故答案为：2．
25．在△ABC中，a=7，b＝2，C＝2B，则AB的长为 4+27 ．
【解答】解：根据题意，由正弦定理得bsinB=csinC，即2sinB=csin2B，
将sin2B＝2sinBcsB代入上式，整理得c＝4csB，
由余弦定理，得csB=a2+c2−b22ac=7+c2−427c=3+c227c，
因此，c=4⋅3+c227c，整理得(7−2)c2=6，
即c2=67−2=27+4，故c=4+27，即AB=4+27．
故答案为：4+27．
四．解答题（共3小题）
26．在①2acsC＝2b﹣c，②3bcsB+C2=asinB，③asinC=ccs(A−π6)这三个条件中任选一个作为条件，补充到下面问题中，然后解答．
已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且____（填序号）．
（1）若a=3，cs(B−C)=910，求△ABC的面积；
（2）求b+ca的取值范围．
【解答】解：选①：由2acsC＝2b﹣c可得：2sinAcsC＝2sinB﹣sinC，
即2sinAcsC＝2（sinAcsC+csAsinC）﹣sinC，化简可得：csA=12，
因为A∈（0，π），则A=π3；
选②：由3bcsB+C2=asinB可得：3sinBcs(π−A2)=sinAsinB，
则3sinA2=2sinA2csA2，则csA2=32，
因为A∈（0，π），所以A2=π6，则A=π3；
选③：由asinC＝ccs（A−π6）可得：sinAsinC＝sinC（32csA+12sinA），
化简可得：tanA=3，
因为A∈（0，π），则A=π3；
（1）选①②③均可得A=π3，cs(B−C)=csBcsC+sinBsinC=910，
则cs(B+C)=csBcsC−sinBsinC=−12，∴sinBsinC=710，
由正弦定理可得：asinA=2=bsinB=csinC，则b＝2sinB，c＝2sinC，
所以S=12bcsinA=12⋅4sinBsinCsinA=7310；
（2）因为b+ca=sinB+sinCsinA=23(sinB+sinC)=23[sinB+sin(π3+B)]
=23(32sinB+32csB)=2sin(B+π6)，
∵△ABC为锐角三角形，则0＜B＜π2，0＜2π3−B＜π2，
解得B∈(π6，π2)，所以B+π6∈(π3，2π3)，所以b+ca∈(3，2]．
27．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，B，C，D三地位于同一水平面上，这种仪器在B地进行弹射实验，观测点C，D两地相距100m，∠BCD＝60°，在C地听到弹射声音的时间比D地晚217秒，在C地测得该仪器至最高点A处的仰角为30°．（已知声音的传播速度为340m/s）
求：（1）B，C两地间的距离；
（2）这种仪器的垂直弹射高度AB．​
【解答】解：（1）设BC＝x，
∵在C地听到弹射声音的时间比D地晚217秒，
∴BD＝x−217×340＝x﹣40，
在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cs∠BCD，
∴（x﹣40）2＝x2+10000﹣100x，解得x＝420，
故B，C两地间的距离为420米．
（2）在△ABC中，BC＝420，∠ACB＝30°，
∴AB＝BC•tan∠ACB＝420×33=1403米．
故该仪器的垂直弹射高度AB为1403米．
28．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acsB+bcsA＝2ccsB，
（1）求B；
（2）请指出△ABC不满足下面的哪一个条件并说明理由，根据另外两个条件，求△ABC的面积．
①csA=−22；②b＝3；③△ABC的周长为9．
【解答】解：（1）因为acsB+bcsA＝2ccsB，
由正弦定理可得sinAcsB+sinBcsA＝2sinCcsB，
所以sin（A+B）＝2sinCcsB，
又sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC，
即sinC＝2sinCcsB，
又C∈（0，π），
故sinC＞0，
所以1＝2csB，即csB=12，
又B∈（0，π），
所以B=π3；
（2）因为B=π3，
故A∈(0，2π3)，
若选①csA=−22，则A=3π4，故不合要求，
所以A不存在，则△ABC不存在，
故不能选①；
所以只有一种情况，选择②③，即b＝3，△ABC的周长为9，
所以a+c＝6，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，
即9＝a2+c2﹣ac，即（a+c）2﹣3ac＝9，
故36﹣3ac＝9，
解得ac＝9，
故a2+c2＝9+ac＝18，
所以（a﹣c）2＝a2+c2﹣2ac＝0，
故a＝c，
又a+c＝6，
所以a＝c＝3，
此时三角形存在且唯一确定，
所以S△ABC=12acsinB=12×9×32=934．