新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第05章跟踪训练02 平面向量的基本定理及坐标表示（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第05章跟踪训练02 平面向量的基本定理及坐标表示（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了已知向量，，若，则，在中，为线段上一点，且，则，在边长为2的正三角形中，，，则等内容，欢迎下载使用。
1．是平行四边形外一点，用、、表示，正确的表示为
A．B．C．D．
【解答】解：作出图形，设，则为、的中点，如图所示：
，
同理可得，
，
．
故选：．
2．已知向量，，若，则
A．0或2B．2C．0或D．
【解答】解：向量，，则
因为，
所以，得或．
故选：．
3．在中，已知是边上的中点，是的中点，若，则实数
A．B．C．D．1
【解答】解：因为是边上的中点，是的中点，
所以，
所以，
，
又因为，
所以，则．
故选：．
4．在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最大值是
A．1B．C．D．
【解答】解；由余弦定理得：
，，
所以，所以，
以的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
易得，，，设的坐标为，
所以，，，
又，
所以，，，，
所以，，
所以，
当且仅当时，等号成立．
故选：．
5．已知，，若，的夹角为钝角，则的取值范围为
A．B．
C．D．
【解答】解：夹角为钝角，，且，
由得：，解得：；
当共线时，，解得：或，
当时，，此时，；
综上所述：实数的取值范围为．
故选：．
6．在中，为中点，连接，若，则的值为
A．B．C．D．1
【解答】解：因为为边的中点，所以，，
因为，所以，
所以，
又，因此有，则．
故选：．
7．在中，为线段上一点，且，则
A．B．C．D．
【解答】解：由，可得，
则
．
故选：．
8．在边长为2的正三角形中，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：边长为2的正三角形中，，，
所以，，
所以．
故选：．
9．在平行四边形中，，，，，则与的夹角为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
所以，
，
因为，，，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
因为，，
所以，即与的夹角为．
故选：．
10．在中，为的中点，为边上的点，且，则
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示：
因为为的中点，
所以．
又因为，，
所以．
所以，．
故选：．
11．如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，则，则的最小值
A．1B．3C．5D．8
【解答】解：由题意可知，，
又是线段上的动点，则可设，且，
所以
则，所以，则，且，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8．
故选：．
12．两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解答】解：由题意可得，，且，
所以．
设与的夹角为θ，0°≤θ≤180°，
则，
所以θ＝150°．
故选：D．
13．给定两个向量，，若，则的值是
A．23B．C．D．
【解答】解：因为，，
所以，，
若，则，
故．
故选：．
14．如图，在中，，为的中点，设，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，
为的中点，，，
．
故选：．
15．在中，点是边的中点，则有
A．B．C．D．
【解答】解：点是边的中点，
，
错误，正确．
故选：．
二．多选题（共5小题）
16．下列命题正确的是
A．
B．单位向量，，满足
C．对于向量，，有恒成立
D．向量，不能作为所在平面内的一组基底
【解答】解：，错误；
根据单位向量的定义可知，显然正确；
因为，为，的夹角），
因为，显然正确；
因为，即，不共线，可以作为一组基底．
故选：．
17．下列两个向量，能作为基底向量的是
A．B．
C．D．
【解答】解：，零向量与任一向量共线，与共线，不能作为基底，
，，与不共线，能作为基底，
，，与共线，不能作为基底，
，，与不共线，能作为基底．
故选：．
18．如图，在平行四边形中，已知，分别是靠近，的四等分点，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：对于选项，，即选项错误；
对于选项，由，分别是靠近，的四等分点，则，即选项正确；
对于选项，，即选项错误；
对于选项，，即选项正确，
故选：．
19．已知向量，，则下列说法正确的是
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为6
D．若与的夹角为锐角，则
【解答】解：向量，，
若，则，求得或，故错误；
若，则向量，，由，可得，故正确；
，，当且仅当时，取等号，
故的最小值为6；故正确；
若与的夹角为锐角，，且与不共线，
即，且，求得且，故错误，
故选：．
20．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则
A．B．
C．存在最大值D．的最大值为
【解答】解：对于选项，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
，
，故正确；
对于选项，，
，故正确；
对于选项，以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，，
点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
点的轨迹方程为，且在轴的下半部分，
设，，，
则，，，，．，
，
又，，，
当时，取得最大值9，故正确；
对于选项，，
，，，
，
，
又，，
当时，取得最大值，故错误．
故选：．
三．填空题（共5小题）
21．已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于、两点，且，，，则的最小值是 ．
【解答】解：延长交于点，
则点为的中点，且，
故，
又因为，
所以，
因为，，三点共线，
所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值是．
故答案为：．
22．已知向量，则与夹角的大小为 ．
【解答】解：由于，
所以，
由于，所以，
故，
即，整理得，
故，，
故．
故答案为：．
23．在平行四边形中，若，则 4 ．
【解答】解：在平行四边形中，，
，，，，
则．
故答案为：4．
24．已知与的夹角为，若，则的值为 ．
【解答】解：，
，
解得．
故答案为：．
25．已知向量，若，则与的夹角为 ．
【解答】解：由题意得，
由，得，则，
所以，
所以，
由可知．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
26．已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），，，
，
，
，
．
（2），两边同平方得，
则化简得，
，
，
．
（3）与的夹角是钝角，
，且与不反向共线，
即，由（1）可知，
则，且，
故实数的取值范围为，，．
27．如图，在中，为重心，，延长交于点，设，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）在中，连接并延长交于，
因为是重心，则是的中点，
所以，
由知，，
即，
因此，
因为不共线，且，
所以由平面向量基本定理得：，
所以；
（2）由题意知，，
所以，
由（1）知，，且，
因此存在，使得，
即，
则由平面向量基本定理得：，解得，
所以的值是．
28．已知向量，，．
（1）若，试判断，能否构成平面的一组基底？并请说明理由．
（2）若，且，求与的夹角大小．
【解答】解：（1）当时，，，
因为，所以向量，不共线，所以，能构成平面的一组基底；
（2）因为，，所以，
又，且，所以，所以，
此时，，则，
又因为，所以，即向量与的夹角为．