新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第04章专题02 同角三角函数基本关系式及诱导公式（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第04章专题02 同角三角函数基本关系式及诱导公式（2份，原卷版+解析版），共8页。
\l "_Tc141037771" 题型二： 弦化切的求值 PAGEREF _Tc141037771 \h 4
\l "_Tc141037772" 题型三： 形如的求值问题 PAGEREF _Tc141037772 \h 6
\l "_Tc141037773" 题型四： 诱导公式及应用 PAGEREF _Tc141037773 \h 10
\l "_Tc141037774" 题型五： 综合应用 PAGEREF _Tc141037774 \h 12
知识点总结
同角三角函数的基本关系
sin2α＋cs2α＝1.
eq \f (sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f (π,2)，k∈Z)).
诱导公式
同角关系的几种变形
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin_α)(1－sin_α)．
(2)sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f (π,2)＋kπ，k∈Z)).
(3)sin2α＝eq \f (sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (tan2α,tan2α＋1).
(4)cs2α＝eq \f (cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (1,tan2α＋1).
【常用结论与知识拓展】
1．sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α三者之间的关系
(1)(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α.
(2)(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α.
(3)(sin α＋cs α)2＋(sin α－cs α)2＝2.
(4)(sin α＋cs α)2－(sin α－cs α)2＝4sin αcs α.
2．诱导公式可推广归结为要求角k·eq \f (π,2)±α的三角函数值，只需直接求α的三角函数值，其转化过程及所得结果满足：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指k的奇和偶，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角所在象限的三角函数值的符号．
例题精讲
简单的求值问题
【要点讲解】(1)利用实现角α的正弦、余弦的互化.
(2)利用实现角α的弦切互化.
（2023春•海淀区校级期中）已知，且，则
A．B．C．D．
【解答】解：，且，
，
，
．
故选：．
（2022•西湖区校级模拟）已知是第二象限角，且，则
A．B．C．D．
【解答】解：是第二象限角，且，
则，
．
故选：．
（2022•广南县校级学业考试）已知，且为第四象限的角，则的值等于
A．B．C．D．
【解答】解：因为，为第四象限的角，
所以，
所以．
故选：．
（2022春•和平区校级期末）已知，且为第四象限角，则
A．B．C．D．
【解答】解：为第四象限角，，
，
．
故选：．
弦化切的求值
【要点讲解】(1)形如或的分式,分子、分母同时除以cs α或cs2α,将正、余弦转化为正切,从而求值.
(2)形如asin2α+bsin αcs α+ccs2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为,转化为形如的式子求值.
（2023春•上饶期末）已知，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
即，
故，
整理得．
故选：．
（2023春•砚山县校级期中）已知，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：，
．
故选：．
（2023春•顺庆区校级期中）已知，则
A．B．C．或1D．或1
【解答】解：因为，
所以，
则解得．
故选：．
（2023•山西模拟）已知，则
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得：，
整理得，
且，可得，
即，，可得，
因为，可得，
所以．
故选：．
（2023春•海淀区校级期中）已知，则
A．B．C．D．2
【解答】解：，．
故选：．
（2023春•萍乡期中）已知，则
A．0B．C．D．
【解答】解：因为，
所以．
故选：．
形如的求值问题
【要点讲解】已知sin θ±cs θ求值的问题涉及的三角恒等式
(1)(sin θ+cs θ)2=1+2sin θcs θ;
(2)(sin θ-cs θ)2=1-2sin θcs θ;
(3)(sin θ+cs θ)2+(sin θ-cs θ)2=2;
(4)(sin θ-cs θ)2=(sin θ+cs θ)2-4sin θcs θ.
已知sin θ+cs θ,sin θ-cs θ,sin θcs θ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.
（2023春•南通月考）已知角终边上有一点，则 ．
【解答】解：是角终边上的一点，，
则，
．
故答案为：．
（2023春•重庆月考）已知，且为第三象限角，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
所以，又因为为第三象限角，
所以，
则．
故选：．
（2023春•南阳期中）若为第三象限角且，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为为第三象限角且，
则．
故选：．
（2023春•德安县校级期中）已知，那么
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
所以，
因此，．
故选：．
（2023春•德安县校级期中）已知，则
A．2B．C．1D．
【解答】解：由，可得，
于是．
故选：．
（2023•潮州模拟）已知为第二象限角，且，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，
又，
，
解得，
又为第二象限角，，
，
．
故选：．
（2023•武侯区校级模拟）如图，的值为
A．B．C．D．
【解答】解：设，
则，，
因，则，
故，
，
故选：．
诱导公式及应用
【要点讲解】1.诱导公式用法的一般思路
(1)化负为正,化大为小,化到锐角为终了.
(2)角中含有加减π2的整数倍时,用诱导公式去掉π2的整数倍.
2.常见的互余和互补的角
(1)常见的互余的角:π3-α与π6+α;π3+α与π6-α;π4+α与π4-α等.
(2)常见的互补的角:π3+θ与2π3-θ;π4+θ与3π4-θ等.
3.求解与三角形内角有关的三角函数问题,要充分利用三角形内角和为π的性质进行转化.
（2023春•播州区校级月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】（1）解：因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点，
由三角函数的定义，可得．
（2）方法1：由（1）知，
则．
方法2：由角终边过点，可得，则，，
所以．
（2023春•朝阳区校级月考）已知函数．
（1）化简函数的解析式；
（2）若，，求的值．
【解答】解：（1）；
（2）由题意，
因为，所以，
由得，
所以，
所以．
（2023春•红花岗区期中）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）依题意得，，
解得；
（2）．
（2023春•谯城区校级期中）已知．
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求的值；
【解答】解：（1）；
（2）因为，又，
所以，又是第三象限的角，
所以，
所以．
综合应用
【要点讲解】利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简的方法
(1)对于含有根号的,常把被开方数(式)化成完全平方数(式),然后去根号达到化简的目的;
(2)化切为弦,即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的;
(3)化简含高次的三角函数式,常借助于因式分解,或构造sin2α+cs2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
（2022秋•花都区校级期末）黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形），例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形中，，根据这些信息，可得
A．B．C．D．
【解答】解：由图可知，，且．
．
则．
故选：．
（2023春•辽宁月考）若，，
A．B．C．D．
【解答】解：，，，
，，
．
故选：．
（2023春•海安市校级期中）设，则 ．
【解答】解：因为
，
即，
令，可得；
令，可得；
令，可得；
所以．
故答案为：．
（2023•崇川区校级开学）已知函数．
（1）化简；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求的值．
【解答】解：（1）；
（2），
因为，
所以，
可得，
结合，，
所以．
（3）由（2）得，即为，联立，解得，
所以：．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2023•广西模拟）的值所在的范围是
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
且，所以，
所以，
所以的值所在的范围是，．
故选：．
2．（2023春•李沧区校级月考）已知，则下列描述中正确的是
A．函数周期是
B．为锐角，函数最大值是
C．直线不是函数的一条对称轴
D．为钝角，函数没有最小值
【解答】解：，
函数周期是，故错误；
当，所以，，所以函数最大值是，故正确；
当时，，此时函数取到最大值，故直线是函数的一条对称轴，故错误；
当，所以，，所以函数最小值是，故错误．
故选：．
3．（2023春•德阳期末）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．若在上恰有两个极值点，则的取值范围是
D．若在上恰有两个极值点，则的取值范围是
【解答】解：因为的最小正周期为，
所以，解得，
所以，
当时，，，
由正弦函数的性质可知在，上不单调，所以，错误；
当时，，，
当在上恰有两个极值点时，
则有，解得，
所以的取值范围是，故正确，错误．
故选：．
4．（2023春•西城区校级期中）下列函数中，周期为且在区间上单调递增的是
A．B．
C．D．
【解答】解：由，各项函数单调性如下：
由，，，故在上递增，且周期为；
由，，，故在上不单调；
由定义域为，而不满足定义域；
由，，则在上递增，且周期为．
故选：．
5．（2022秋•宁波期末）已知，则
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
6．（2023春•龙华区校级月考）已知角的终边过点，且，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
角的终边过点，
，
，
又，
．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．（2023春•成都期中）下列大小关系正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：对于，在上单调递减，，
又，，正确；
对于，在上单调递减，，，正确；
对于，当时，；当时，；，错误；
对于，，，，正确．
故选：．
8．（2022•江门一模）在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点，它与原点的距离是，我们规定：比值、、分别叫做角的正割、余割、余切，分别记作、、，把、、分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是
A．
B．的定义域为，
C．
D．
【解答】解：根据、、的定义，可得，，，
可能为负数，故不一定成立，故排除；
的定义域为，，故排除；
，而，故一定成立，故正确；
，故成立，
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．（2023•上海模拟）已知为角终边上一点，则 ．
【解答】解：（1）点为角终边上一点，，
则，，
．
故答案为：．
10．（2023春•青浦区校级期中）已知，则 ．
【解答】解：．
故答案为：．
11．（2023春•运城期中）已知角的终边上有一点，，则的值是 ．
【解答】解：角的终边上有一点，，
，，
．
故答案为：．
12．（2023春•安徽月考）若函数的最小正周期为，则 1 ．
【解答】解：，
函数的最小正周期为，
，解得．
故答案为：1．
四．解答题（共3小题）
13．（2023•长宁区二模）（1）求简谐振动的振幅、周期和初相位；
（2）若函数在区间上有唯一的极大值点，求实数的取值范围；
（3）设，，若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
所以振幅为，周期为，初相为．
（2），
设，则，
当时，取得极大值，
由题意，方程在区间上有唯一解，
所以，得，
故的取值范围为；
（3），
当时，
因为，
所以，
进而，，
此时，在区间上是严格增函数，
当时，，不是严格增函数；
当时，设，则，进而，，
此时，在区间上是严格减函数，
综上，若函数在区间上是严格增函数，则，
故的取值范围为．
14．（2023春•伊犁州期中）设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为．
（1）求，的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）由三角函数的定义可得，，
当时，，当时，；
（2）．
15．（2023春•安徽期中）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点，若点位于轴上方且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点，
，，
点位于轴上方且，
，且，
，，
，故是第二象限角．
．
（2）．
公式一
公式二
公式三
公式四
公式五
公式六
角
α＋2kπ
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f (π,2)－α
eq \f (π,2)＋α
与α终
边关系
相同
关于原
点对称
关于x
轴对称
关于y
轴对称
关于直线
y＝x对称
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin_α
cs α
cs_α
余弦
cs α
－cs_α
cs α
－cs α
sin_α
－sin α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan α
记忆
规律
函数名不变，符号看象限
函数名改变，
符号看象限
奇变偶不变，符号看象限