新高考数学一轮专项（三角函数）训练专题二 同角三角函数基本关系式及诱导公式（2份，原卷版+解析版）

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【基本知识】
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1．(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))．
【常用结论】
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α．
(2)sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))．
【方法总结】
同角三角函数关系在解题中的应用
(1)对于sin α，cs α，tan α，由公式sin2α＋cs2α＝1，tan α＝eq \f(sin α,cs α)，可以“知一求二”．
(2)对于sin α±cs α，sin αcs α，由下面三个关系式(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，(sin α＋cs α)2＋(sin α－cs α)2＝2，可以“知一求二”．
(3)sin α，cs α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cs α的齐次式，或含有sin2α，cs2α及sin αcs α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cs2α＝1”代换后转化为“切”求解．
【例题选讲】
[例1] (1) 已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，eq \f(π,2)≤α≤π，则tan α＝( )
A．－2 B．2 C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
答案 D 解析 因为eq \f(π,2)≤α≤π，所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2)＝－eq \f(2\r(5),5)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(1,2)．
(2)已知α是第四象限角，tanα＝－eq \f(5,12)，则sinα等于( )
A．eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5) C．eq \f(5,13) D．－eq \f(5,13)
答案 D 解析 因为tan α＝－eq \f(5,12)，所以eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(5,12)，所以cs α＝－eq \f(12,5)sin α，代入sin2α＋cs2α＝1，解得sin α＝±eq \f(5,13)，又α是第四象限角，所以sin α＝－eq \f(5,13)．
(3) (2017·全国Ⅲ)已知sin α－cs α＝eq \f(4,3)，则sin 2α＝( )
A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(2,9) C．eq \f(2,9) D．eq \f(7,9)
答案 A 解析 将sin α－cs α＝eq \f(4,3)的两边进行平方，得sin2 α－2sin αcs α＋cs2α＝eq \f(16,9)，即sin 2α＝－eq \f(7,9)
(4) 若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin θ·cs θ＝eq \f(3\r(7),16)，则sin θ＝( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(4,5) C．eq \f(\r(7),4) D．eq \f(3,4)
答案 D 解析 ∵sin θ·cs θ＝eq \f(3\r(7),16)，∴(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θ·cs θ＝eq \f(8＋3\r(7),8)，(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(8－3\r(7),8)，∵θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴sin θ＋cs θ＝eq \f(3＋\r(7),4) ①，sin θ－cs θ＝eq \f(3－\r(7),4) ②，联立①②得，sin θ＝eq \f(3,4)．
(5) 已知sin α＋cs α＝eq \f(1,2)，α∈(0，π)，则eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝( )
A．－eq \r(7) B．eq \r(7) C．eq \r(3) D．－eq \r(3)
答案 A 解析 因为sin α＋cs α＝eq \f(1,2)，所以(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝eq \f(1,4)，所以sin αcs α＝－eq \f(3,8)，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cs α