高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第2课时同角三角函数的关系及诱导公式(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第2课时同角三角函数的关系及诱导公式(原卷版+解析)，共31页。

【回归教材】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：．
(2)商数关系：；
2.三角函数诱导公式
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：
（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【常用结论】
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．

【典例讲练】
题型一 诱导公式
【例1-1】已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
(1)求的值； (2)求的值.
【例1-2】若则（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习1-1】已知.
(1)化简； (2)若，求的值.
【练习1-2】已知，且为锐角，则（ ）
A．B．C．D．
题型二 同角三角函数的基本关系
【例2-1】已知，求，的值.
【例2-2】已知，是第四象限角.求：
（1）m的值； （2）的值.
归纳总结：
【练习2-1】已知，且为第一象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【练习2-2】已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型三 sinx+csx、sinx-csx、sinxcsx之间的关系
【例3-1】已知 ，且 ，给出下列结论：
①； ② ； ③； ④ .
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【例3-2】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】求函数，的值域.
归纳总结：
【练习3-1】已知，是关于x的一元二次方程的两根，
(1)求的值； (2)求m的值； (3)若，求的值.
【练习3-2】若，且 ，则_____.
题型四 齐次式下弦切互化
【例4-1】已知， .
(1)求的值； (2)求的值； (3)求 .的值
【例4-2】若，则（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习4-1】已知，.
(1)求的值； (2)求的值．
【练习4-2】已知 ，求
(1) 的值; (2) 的值.
【完成课时作业（二十五）】
【课时作业（二十五）】
A组 础题巩固
1．已知为锐角，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．下面公式正确的是（ ）
A． B． C．D．
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，且，则等于（ ）
A．0B．C．D．2
6．喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受，若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为的速度v喷向空气中时，水柱在水平方向上移动的距离为，能够达到的最高高度为（如图所示，其中g为重力加速度）若，则H与D的比值为（ ）
A． B． C．D．
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．【多选题】已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．C．D．
9．函数的值域是__________.
10．已知，求以下各式的值．
(1)； (2)．
11．已知为第二象限角，．
(1)求的值； (2)若，求的值．
12．已知关于的方程的两根为和，.求：
(1)的值； (2)的值.
B组 挑战自我
1．已知，则___ _.
2．按如图连接圆上的五等分点，得到优美的“五角星”，图形中含有很多美妙的数学关系式，例如图中点H即弦的黄金分割点，其黄金分割比为，且五角星的每个顶角都为等.由此信息可以求出的值为___________.
3．已知，且函数．
(1)化简； (2)若，求和的值．
4．如图，四边形是一块边长为的正方形铁皮，其中扇形的半径为，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一点，，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有两边分别在与上的矩形铁皮.
(1)写出矩形铁皮的面积与角度的函数关系式；
(2)求矩形铁皮面积的最大值和此时的值.
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
第 2 课时 同角三角函数的关系及诱导公式
编写：廖云波
【回归教材】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：．
(2)商数关系：；
2.三角函数诱导公式
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：
（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【常用结论】
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．

【典例讲练】
题型一 诱导公式
【例1-1】已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
(1)求的值； (2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数的定义，求得的值，再利用诱导公式即可求解；
（2）先求得的值，利用诱导公式及商数关系化简即可求解.
(1)
解：∵角的终边经过点，
∴，，
∴.
(2)
解：由（1）知：，，
∴，
∴
.
【例1-2】若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式计算可得；
【详解】
解：因为，
所以，
故选：B.
归纳总结：
【练习1-1】已知.
(1)化简；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据诱导公式化简即可；
（2）由题知，进而根据同角三角函数关系求解即可.
(1)
解：由题意得
(2)
解：∵，∴.
∴为第一或第二象限角，
∴，
∴
【练习1-2】已知，且为锐角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式直接求出.
【详解】
因为，所以.
故选：B.
题型二 同角三角函数的基本关系
【例2-1】已知，求，的值.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
解 由，得.
又，所以.
解得.
又由，知是第一或第三象限角.
若是第一象限角，
则，，；
若是第三象限角，
则，，.
【例2-2】已知，是第四象限角.求：
（1）m的值； （2）的值.
【答案】（1）8；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用即，解方程得到m的值，再代入检验是否满足是第四象限角即可；
（2）因，由（1）可得到，代入计算即可.
【详解】
（1）∵，∴.
化简整理，得.解方程，得或.
当时，，与是第四象限角矛盾，舍去；
当时，成立.
综上所述，.
（2）由（1）知，.
∴.
【点晴】
本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
归纳总结：
【练习2-1】已知，且为第一象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数值在各象限的符号以及平方关系即可解出．
【详解】
因为为第一象限角，，所以．
故选：A．
【练习2-2】已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用韦达定理得到，，由同角三角函数平方关系可构造方程求得，由的范围求得的范围，由此可得的取值.
【详解】
由题意得：，
，
即，解得：；
，，即，
，.
故选：B.
题型三 sinx+csx、sinx-csx、sinxcsx之间的关系
【例3-1】已知 ，且 ，给出下列结论：
①； ② ； ③； ④ .
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．②③④
C．①②③D．①③④
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ，且，将等式两边平方可得，可判断，即可判断①②③；继而利用求得，判断④，可得答案.
【详解】
∵, ，
等式两边平方得 ，
解得，故②正确；
∵，，
∴，,故①正确，③错误；
由可知， ，
且 ，
解得，故④正确，
故选：A
【例3-2】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据同角三角函数的基本关系和两角和的余弦公式化简可得
，结合和二倍角的正弦公式即可得出结果.
【详解】
，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【例3-3】求函数，的值域.
【答案】
【解析】
【分析】
利用的关系，将目标函数化为二次函数，即可求其值域.
【详解】
令，则，
由，又，
则，则，故，
则
故，，
即该函数值域为：.
归纳总结：
【练习3-1】已知，是关于x的一元二次方程的两根，
(1)求的值； (2)求m的值； (3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用根与系数的关系可求出结果，
（2）利用根与系数的关系列方程组，结合可求出m的值，
（3）先判断出，则，再代值计算即可
(1)
因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以
(2)
因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以，，且，
所以，
所以，得，满足，
所以
(3)
由（2）可得，，
因为，所以，所以，
所以
【练习3-2】若，且 ，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据同角平方和关系可解得，进而根据角的范围可得，进而可求.
【详解】
因为，所以
即 ，∴解得或 （舍去）．
， ，因此 ．
故答案为：
题型四 齐次式下弦切互化
【例4-1】已知， .
(1)求的值； (2)求的值； (3)求 .的值
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据可得，解方程并结合角的范围求得；
（2）利用弦化切，将化为，可得答案；
（3）利用，将化为，继而化为，求得答案.
(1)
由得，
解得或 ，
因为，故，则；
(2)
；
(3)
.
【例4-2】若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将已知等式平方，利用二倍角公式得出的值，由同角三角函数的关系化简求值即可．
【详解】
，两边平方得，即
则
故选: D
归纳总结：
【练习4-1】已知，.
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由平方关系及角的范围求得，再根据商数关系即可求.
（2）应用诱导公式化简目标式，由（1）所得结果代入求值即可.
(1)
因为sin α＝，则，又<α<，
所以，则.
所以.
(2)
原式==.
【练习4-2】已知 ，求
(1) 的值;
(2) 的值.
【答案】(1)2;
(2).
【解析】
【分析】
（1）将已知等式分子分母同除，可构造关于的方程，求得；
（2）将所求式子利用二倍角公式化为正余弦的二次式，配凑分母，分子分母同除可构造出关于的方程，代入可求得结果.
(1)
，
，解得：.
(2)
.
【完成课时作业（二十五）】
【课时作业（二十五）】
A组 础题巩固
1．已知为锐角，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由诱导公式与同角三角函数的基本关系求解即可
【详解】
因为，
所以，
又为锐角，
所以，
故选：C
2．下面公式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
跟诱导公式与二倍角公式逐个判断即可
【详解】
对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确；
故选：D
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据诱导公式求得，再根据弦化切，将化为，即可求得答案.
【详解】
由可得，，
故，
故选:D
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】
因为，则，则且，
所以，，故，因此，.
故选：D.
5．已知，且，则等于（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据余弦的二倍角公式以及可得，进而可得，代入即可求值.
【详解】
由得，因为，所以，进而得，故，所以，
故选：C
6．喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受，若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为的速度v喷向空气中时，水柱在水平方向上移动的距离为，能够达到的最高高度为（如图所示，其中g为重力加速度）若，则H与D的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先表示出，再用二倍角公式进行化简即可求解.
【详解】
因为，，
所以.
故选：B
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】
易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
8．【多选题】已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由两边平方得，可得，
再由求出逐项判断可得答案.
【详解】
因为，所以，
可得，
因为，所以，
由解得，
所以，故A正确；，故B错误；，故C正确；
，故D正确；
故选：A CD.
9．函数的值域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先换元，再利用三角变换，将函数转化为关于的二次函数，再求值域.
【详解】
设，因为，所以，
则，
，
当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，
所以函数的值域是
故答案为：
10．已知，求以下各式的值．
(1)； (2)．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）化简原式为即得解；
（2）化简原式为即得解.
(1)
解：.
(2)
解：.
11．已知为第二象限角，．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由诱导公式以及同角平方和关系即可求解，（2）根据诱导公式化简，由第一问的结果代入即可求解.
（1），因为为第二象限角，∴．
（2）∵，∴
12．已知关于的方程的两根为和，.求：
(1)的值； (2)的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用韦达定理及同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）利用同角三角函数的基本关系将切化弦，整理可得；
(1)
解：，是方程的两个根，
，
则
；
(2)
解：
B组 挑战自我
1．已知，则____.
【答案】或
【解析】
【分析】
进行切化弦后得到可得，或.利用平方关系及二倍角公式解得的值.
【详解】
， ①.
，，可得②，或③．
若②成立，则把①、②平方相加可得 ，
解得．可得：，
若③成立，则有．可得，
综上可得，，或．
故答案为：或．
2．按如图连接圆上的五等分点，得到优美的“五角星”，图形中含有很多美妙的数学关系式，例如图中点H即弦的黄金分割点，其黄金分割比为，且五角星的每个顶角都为等.由此信息可以求出的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
在中，利用正弦定理，结合诱导公式、二倍角公式计算作答.
【详解】
在中，，由正弦定理得：，而，
于是得，即，因此，.
故答案为：
【点睛】
关键点睛：条件较隐含的解三角形问题，根据题意设出变量，再选择恰当的三角形，借助正余弦定理列出方程、方程组是解题的关键.
3．已知，且函数．
(1)化简； (2)若，求和的值．
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数恒等变换公式直接化简即可，
（2）对平方可求出，再由可得，然后求出，从而可求得的值
(1)
．
(2)
由，
平方可得，
即．
∴．
又，∴，，
∴，
∵，
∴．
4．如图，四边形是一块边长为的正方形铁皮，其中扇形的半径为，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一点，，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有两边分别在与上的矩形铁皮.
(1)写出矩形铁皮的面积与角度的函数关系式；
(2)求矩形铁皮面积的最大值和此时的值.
【答案】(1)；
(2)面积最大值为，此时.
【解析】
【分析】
（1）延长RP交AB于点E，用表示出即可列式作答.
（2）由（1）的结论，利用同角正余的关系，借助换元法、二次函数求解作答.
(1)
记矩形铁皮的面积为S，延长RP交AB于点E，如图，四边形BQPE、BCRE均为矩形，
依题意，，，因此，，
，
所以.
(2)
由（1）知，令，因，则，
，即，
因此，显然此函数对称轴为，
则当，即时，，
所以矩形铁皮面积的最大值是，此时.
【点睛】
思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限