新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第04章专题05 三角函数的图象与性质（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc141038670" 题型四： 三角函数的周期性、对称性、奇偶性 PAGEREF _Tc141038670 \h 10
\l "_Tc141038671" 题型五： 综合运用 PAGEREF _Tc141038671 \h 15
知识点总结
“五点法”作图
(1)在确定正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在确定余弦函数y＝cs x在[－π，π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(－π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)．
三角函数的图象和性质
例题精讲
三角函数的定义域
【要点讲解】根据函数解析式特征列出与三角函数有关的不等式,借助三角函数性质及图象求解.
涉及与正切函数有关的定义域,要注意正切函数本身的定义域.
函数的定义域为 ，且， ．
【解答】解：函数，
，且，，
函数的定义域为，且，，，
故答案为：，且，，，
（2022春•南阳期末）函数的定义域是 ．
【解答】解：要使函数有意义，需要满足，
解得：，
即，
故答案为．
（2023春•金牛区校级月考）定义域为
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意得，
解得，故定义域为．
故选：．
求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）要使有意义，可得，解得，；
（2）要使有意义，
可得，即：，
解得，；
（3）要使有意义，可得．
所以函数的定义域为：，．
三角函数的值域
【要点讲解】(1)求解形如或可化为或的值域,先求出的范围,再结合三角函数的性质求最值.
(2)形如或可化为的函数值域问题,可以通过换元转化为二次函数最值问题.
(3)形如或可化为,其中f(x),g(x)为正、余弦函数,常将已知条件式变形后,利用正、余弦函数的有界性求解;
(4)形如的三角函数,可先设,化为关于t的二次函数再求值域(最值).
（2022秋•南关区校级期末）函数的值域是
A．，B．C．D．
【解答】解：由于函数，
在处，函数最大值2，在处，取得最小值为，
故可知函数的值域为：，．
故选：．
（2023春•郫都区校级期中）若函数的最大值为，则的值等于
A．2B．C．0D．
【解答】解：由于，所以时，取最大值，
故，所以．
故选：．
（2023春•全南县校级期中）已知函数，任取，记函数在，上的最大值为，最小值为，设，则函数的值域为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，其中，分别是指在区间，上的最大值和最小值，
因为的周期，故在区间，的图象与在区间，上的图象完全相同，
故，，故，即是周期为4的函数，故，的值域与，，时的值域相同；
又在，单调递减，，单调递增，在，单调递减，
故当时，在区间，上的最大值为，最小值为，此时；
当时，在区间，上的最大值为，最小值为，此时；
当，时，在区间，上的最大值为，最小值为，此时；
当时，在区间，上的最大值为1，最小值为，此时；
当时，在区间，上的最大值为1，最小值为，此时；
当，时，在区间，上的最大值为，最小值为，此时；
故在，的函数图象如下所示：
数形结合可知，的值域为．
故选：．
（2023春•长葛市校级月考）求下列函数的值域，并求出最值．
（1），，
（2）．
【解答】解：（1），，
，
，
，
值域为，，最小值是1，最大值是2；
（2）
，
又，
当时，
当时，，
所以的值域为，，最小值是，最大值是1．
三角函数的单调性
【要点讲解】1.形如的单调区间求法
将看作一个整体,结合的性质求解,若时,先利用诱导公式将x的系数化为正数.
2.已知单调区间求参数范围的两种方法
(1)求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.
(2)由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.
（2023春•凌源市月考）下列区间中，函数单调递增的是
A．B．C．D．
【解答】解：由，
得．
所以在上不单调递增，
在上单调递增．
故选：．
（2023秋•崂山区校级期末）下列区间中，函数的单调递增区间是
A．B．，C．，D．，
【解答】解：函数，
由，，
解得，，
取，可得．
，，，
函数单调递增的区间是，．
故选：．
（2022•长治模拟）下列区间中，函数单调递增的是
A．B．C．D．
【解答】解：函数，
令，
解得，
所以函数的单调递增区间是，
因为，
所以函数单调递增的是，
故选：．
（2022春•河北月考）函数的单调递减区间为
A．B．
C．D．
【解答】解：将整体代入正弦函数单调递减区间，即．解得，
所以函数的单调递减区间为．
故选：．
三角函数的周期性、对称性、奇偶性
【要点讲解】1.三角函数周期的求法
①求或或 (为常数,)的周期直接应用公式或求解.
②形如y=f(x)(其中f(x)是三角函数)的周期,可以借助函数图象特征或定义求解.
2.三角函数奇偶性判断及应用
三角函数奇偶性判断借助定义,而根据奇偶性求解问题则利用性质为奇函数,则,若为偶函数,则.
（2023春•镇巴县期末）已知函数在上单调递减，且，，则
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：因为函数，
当 时，，
因为函数在上单调递减，
则，其中，
所以，其中，解得，
所以，解得，又因为且，则，
所以，因为，，即，
所以，解得，因此，．
故选：．
（2023•镇安县校级模拟）若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：根据在区间上单调递减，
得，
可得，
又由，
必有，
可得，
即正数的取值范围为，．
故选：．
（2023•烟台模拟）已知函数在上单调递增，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：由，所以，
又，所以，
且函数在上单调递增，
所以，解得，
即的取值范围为．
故选：．
（2023•宜春模拟）已知函数满足，且在上单调，则在上的值域为
A．，B．，C．，D．
【解答】解：由得，或，
当时在上不单调，
当时在上单调，
所以．
当时，，
所以，
所以在上的值域为，．
故选：．
（2023春•新邱区校级期中）函数的最小正周期是
A．B．C．D．
【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的最小正周期是；
故选：．
（2023春•凉州区期中）函数的最小正周期和最大值分别是
A．和3B．和2C．和3D．和2
【解答】解：的最小正周期，最大值为．
故选：．
（2023春•金安区校级期中）函数的最小正周期为，则
A．4B．2C．1D．
【解答】解：由得，
故选：．
（2023•广东模拟）已知函数，的最小正周期为，若，且为函数的极值点，则的最小值为
A．3B．C．D．
【解答】解：，，
，
得．
则，
为函数的极值点，
，，
得，，
，当时，最小，最小为．
故选：．
（2023春•房山区期中）已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求的单调递减区间．
【解答】解：因为．
（Ⅰ）故的最小正周期；
（Ⅱ）令，，
则，
故的单调递减区间为，，．
（2023春•简阳市校级期中）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求当时，的值域．
【解答】解：（1），
，
，
，
的最小正周期．
（2），，
，
故的值域．
（2023春•合江县校级期中）下列直线中，是函数图象的对称轴的是
A．直线B．直线C．直线D．直线
【解答】解：，
由，，得，．
取，可得．
函数图象的一条对称轴为直线．
故选：．
（2023•扬州三模）以点为对称中心的函数是
A．B．C．D．
【解答】解：的对称中心为，，错误；
的对称中心为，，错误；
的对称中心为，，正确；
令，
，不恒等于0，
的图象不关于，成中心对称，错误；
故选：．
（2023春•朝阳区校级月考）已知函数的最小正周期为，且恒成立，则图象的一个对称中心坐标是
A．B．C．D．
【解答】解：依题意，，
解得，
又，则，
所以，
令，
解得，
令，可得，
所以函数的一个对称中心为．
故选：．
综合运用
（2023春•焦作期末）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：函数，，
令，；
，；
图象的一个对称中心的横坐标在区间内，
所以，
又因为，所以，；
时，，
又因为图象两个相邻对称中心之间的距离大于，
所以，由，所以，
所以的取值范围是，．
故选：．
（2023春•高安市校级期中）函数，则下列结论正确的是
A．的最大值为1
B．的图象关于点对称
C．在上单调递增
D．的图象关于直线对称
【解答】解：
．
对于选项，，错；
对于，选项，，
所以函数的图象关于点对称，不关于点对称，
没有取得最值，则的图象不关于直线对称，，均错；
对于选项，当时，，
所以在上单调递增，对．
故选：．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2023春•盐城期中）设函数在区间恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：由函数，，
可得，．
由题意可得，
解得．
故选：．
2．（2023•唐山二模）函数的单调递减区间为
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：令，
解得，
故单调递减区间为，
故选：．
3．（2023•武侯区校级模拟）当，时，函数的值域是，，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：法一：由题意，画出函数的图象．
由，，可知，
因为且，
要使的值域是，，只要，
即，．
法二：由题，，可知，
由的图像知，要使的值域是，，
则，解之得，．
故选：．
4．（2023•武侯区校级模拟）已知函数在上单调递增，则在上的零点可能有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：由，
，，
即只能取0，得，
因为在上单调递增，则解得，
由，则，设，
则，
因为，且，
所以函数在上的零点最多有2个．
故选：．
5．（2023春•西城区校级期中）函数的图象
A．关于直线对称B．关于直线对称
C．关于点对称D．关于点对称
【解答】解：对于函数，
令，求得函数值，不是最值，故它的图象不关于直线对称，也不关于点对称，故，错误；
令，求得函数值，是最值，故它的图象关于直线对称，故正确；
令，求得函数值，是最值，故它的图象不关于点对称，故错误．
故选：．
6．（2023•广州二模）已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为
A．B．
C．D．
【解答】解：函数，其中为实数，若，对恒成立，
则：为函数的对称轴，
，，，，
由于，，
不妨取，
即：，
令：，，
解得：，，
则的单调递增区间为，，．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．（2023春•振兴区校级期中）下列关于函数的表述正确的是
A．函数的最小正周期
B．是函数的一条对称轴
C．是函数的一个对称中心
D．函数在区间上是增函数
【解答】解：对于函数，
对于：由于函数的周期，故正确；
对于：当时，，故正确；
对于：根据选项的结论，故错误；
对于：由于，所以，故正确．
故选：．
8．（2022秋•保定期末）已知函数，对，，，，且，都有，满足 的实数有且只有3个，则下列选项中正确的是
A．的取值范围是
B．的最小值为
C．满足条件的实数有且只有2个
D．满足条件的实数有且只有2个
【解答】解：函数，对，，，，
且，都有，
的极大值为，极小值为．
满足 的实数有且只有3个，
在区间，上，有且只有3个零点，故函数的最大值为2，最小值为，故错误；
设，则当，时，，，
作的图象如图所示：
，求得，故正确；
满足条件的实数可能有1个，也可能2个，故错误；
结合函数的图象可得，满足条件的实数有且只有2个，故正确，
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．（2023•湖北模拟）已知函数，若是函数的图像的一条对称轴，是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为 ．
【解答】解：根据题意可得，，，，，
，，
又，故．
故答案为：．
10．（2023•闵行区校级一模）已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足（a）（b），则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：因为，所以，
因为在上恰有两个不相等的实数、满足（a）（b），且，
所以，函数在上恰有两个最大值点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是，．
故答案为：，．
11．（2023•绵阳模拟）已知函数，则在，上的零点个数为 2 ．
【解答】解：函数
的零点个数，即方程的
实数根的个数．
当时，
0，，
本题即求函数， 0，和直线交点的个数．
由于，
故函数， 0，图中蓝色曲线和直线交点的个数为2．
故答案为：2．
12．（2022秋•荔湾区校级期末）函数图象的一个对称中心为，图象的对称轴为 ．
【解答】解：函数的图象对称中心为，
可知，可得，令．
得．
故答案为：
四．解答题（共3小题）
13．（2022秋•金凤区校级月考）已知函数，．
（1）求的对称轴方程；
（2）求在区间上的单调区间．
【解答】解：（1）
，
令，，解得，，
的对称轴方程为，．
（2），
，，
当，，即，时，函数单调递减；
，，即，时，函数单调递增．
在区间上的单调递减区间为，，单调递增区间为，．
14．（2022秋•河南月考）已知函数的最大值为．
（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；
（2）求使成立的的取值集合．
【解答】解：函数
的最大值为，，
函数，故它的最小正周期为．
令，，求得，，
故函数的增区间为，，．
（2），即，即，
，求得，，
故使成立的的取值集合为，．
15．（2022春•凉州区校级期中）已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期；
（3）求函数的单调递减区间．
【解答】解：因为，
所以（1）；
（2）；
（3）由，，
可得，，
所以的单调递减区间为：，，．函数性质
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象(一
个周期)
定义域
R
R
｛x|x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z｝
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
最值
(k∈Z)
当x＝eq \f(π,2)＋2kπ时，ymax＝1；
当x＝－eq \f(π,2)＋2kπ时，ymin＝－1
当x＝2kπ时，ymax＝1；
当x＝2kπ＋π时，ymin＝－1
无
对称性
(k∈Z)
对称轴：
x＝kπ＋eq \f(π,2)；
对称中心：
(kπ，0)
对称轴：
x＝kπ；
对称中心：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
无对称轴；
对称中心：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
最小正
周期
2π
2π
π
单调性
(k∈Z)
单调递增区间：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))；
单调递减区间：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))
单调递增区间：[2kπ－π，2kπ]；
单调递减区间：[2kπ，2kπ＋π]
单调递增区间：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－eq \f(π,2)，kπ＋eq \f(π,2)))
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数