新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题01 集合的概念与运算（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题01 集合的概念与运算（含解析），共51页。

专题01 集合的概念与运算
【考纲要求】
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
一、集合的概念和表示
【思维导图】

【考点总结】
一、集合的含义
1、元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
2、元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A
a∈A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
a∉A
a不属于集合A
3、常用数集及表示符号
数集
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
二、集合的表示
(1)列举法：
①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法；
②形式：A＝{a1，a2，a3，…，an}．
(2)描述法：
①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；
②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
二、集合间的基本关系
【思维导图】

【考点总结】
一、子集的相关概念
(1)Venn图
①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
②适用范围：元素个数较少的集合．
③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
(2)子集、真子集、集合相等的概念
①子集的概念
文字语言
符号语言
图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集
A⊆B(或
B⊇A)

②集合相等
如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
③真子集的概念

定义
符号表示
图形表示
真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集
AB(或BA)

④空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集．
用符号表示为：∅.
规定：空集是任何集合的子集．
二、集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；
②若AB且BC，则AC.
③若AB且A≠B，则AB.
三、集合的基本运算
【思维导图】

【考点总结】
一、并集、交集
1、并集
(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．

2、交集
(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．

二、补集及综合应用
补集的概念
(1)全集：
①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
②记法：全集通常记作U.
(2)补集
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
图形语言

【常用结论】
1．三种集合运用的性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
2．集合基本关系的四个结论
(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．
(2)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.空集只有一个子集，即它本身．
(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若AB且BC，则AC.
(4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
【题型汇编】
题型一：集合的含义与表示
题型二：集合间的基本关系
题型三：集合的基本运算
题型四：集合的新定义

【题型讲解】
题型一：集合的含义与表示
1．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】
由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
2．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】

设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，
且，故.
因为，故，
故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
而三角形内切圆的圆心为，半径为，
故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为
故选：B
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知集合，，则中元素的个数为（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
由集合交集的概念及集合的描述求且中n的个数即可.
【详解】
由且可得：，即，
所以中的元素有6个.
故选：B
4．（2022·全国·模拟预测（文））已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先用列举法表示集合，再根据交集的定义计算可得；
【详解】
解：因为，又，
所以；
故选：D
5．（2022·全国·一模（理））已知集合，，则B中所含元素的个数为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合B的形式，逐个验证的值，从而可求出集合B中的元素.
【详解】
时，，3，4，
时，，3，
时，，
时，无满足条件的值；故共6个，
故选：D．
6．（2022·全国·模拟预测）若集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式求出集合A，再求出集合B，然后求两集合的交集即可
【详解】
解不等式，得，又，所以，
所以，所以．
故选：C
7．（2022·天津·耀华中学一模）已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的交运算即可求解.
【详解】
，所以
故选：A
8．（2022·山东潍坊·三模）已知集合，，若，，则一定有（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别分析每个选项，举出反例以否定错误选项.
【详解】
对于选项A，当集合时，，故此选项错误；
对于选项B，当集合时，，故此选项错误；
对于选项C，当集合时，，故此选项错误；
对于选项D，因为，，且，所以，故此选项正确.
故选：D.
9．（2022·河北秦皇岛·三模）已知集合中所含元素的个数为（       ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意利用列举法写出集合，即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以中含6个元素．
故选：C.
10．（2022·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出集合C的元素，可得答案.
【详解】
由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
11．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的新定义确定集合中的元素.
【详解】
因为，，，
所以，
故集合中的元素个数为3，
故选：C.
12．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出集合，在利用复数的四则运算化简各选项中的复数，即可得出合适的选项.
【详解】
当时，，，，，则，
，，
，，
故选：B.
13．（2022·山东聊城·二模）已知集合，，则集合中元素个数为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
由列举法列出集合的所有元素，即可判断；
【详解】
解：因为，，所以或或或，
故，即集合中含有个元素；
故选：C
14．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知集合，下列选项中均为A的元素的是（       ）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系判断．
【详解】
集合有两个元素：和，
故选：B
15．（2022·四川达州·二模（文））已知集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用集合的交集运算求解.
【详解】
∵集合，
所以.
故选：D.
16．（2022·宁夏·银川一中三模（理））下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（       ）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
【答案】A
【解析】
【分析】
根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.
【详解】
中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；

空集是任一集合的子集，所以正确；
是的子集，所以错误；
任何集合是其本身的子集，所以正确；
a是的元素，所以正确.
故选：A.
17．（2022·广西柳州·三模（理））设集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合描述列举出集合元素，再应用集合的补运算求.
【详解】
由题设，，，
所以.
故选：C
18．（2022·湖南常德·一模）已知集合，若，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出集合A，B，再利用并集的定义计算作答.
【详解】
解不等式得：，于是得，
因，即，解得，则，
所以.
故选：C
19．（2022·江西赣州·一模（理））设集合，.若，则实数n的值为（       ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
依据集合元素互异性排除选项AB；代入验证法去判断选项CD，即可求得实数n的值.
【详解】
依据集合元素互异性可知，，排除选项AB；
当时，，，
满足.选项C判断正确；
当时，，，
.选项D判断错误.
故选：C
20．（2022·山西·一模（文））已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合M的描述，判断集合N中元素与集合M的关系，再由集合的交运算求
【详解】
由题设，，，
所以.
故选：A
二、多选题
1．（2021·江西·模拟预测）下列命题正确的是（       ）
A． B．集合的真子集个数是4
C．不等式的解集是 D．的解集是或
【答案】AC
【解析】
【分析】
A. 利用集合相等判断；B.根据集合的真子集定义判断；C.利用一元二次不等式的解法判断；D.利用分式不等式的解法判断.
【详解】
A. ，故正确；
B.集合的真子集个数是3，故错误；
C.不等式的解集是，故正确；
D. 的解集是或，
故选：AC
2．（2021·全国·模拟预测）设集合，若，，，则运算可能是（       ）
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
【答案】AC
【解析】
【分析】
先由题意设出，，然后分别计算，，，，即可得解.
【详解】
由题意可设，，其中，，，，
则，，所以加法满足条件，A正确；，当时，，所以减法不满足条件，B错误；
，，所以乘法满足条件，C正确；，当时，，所以出发不满足条件，D错误.
故选：AC.
3．（2020·江苏省宜兴中学模拟预测）给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（       ）
A．集合为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合为闭集合，则为闭集合
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．
【详解】
选项A：当集合时，，而，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；
选项C：当时，设，
则，所以集合M是闭集合，C选项正确；
选项D：设，由C可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，D选项错误．
故选：ABD．
4．（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）设，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据题意先用列举法表示出集合B，然后直接判断即可.
【详解】
依题意集合B的元素为集合A的子集，
所以
所以，，
所以AD错误，BC正确.
故选：BC
5．（2022·全国·高一开学考试）已知集合，，若，则实数a的值可能是（       ）
A．−1 B．1 C．−2 D．2
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由题意可得，从而可求出的范围，进而可求得答案
【详解】
因为，所以，，则，解得.
故选：ABC
6．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一开学考试）已知集合A=，集合，则下列关系正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由已知可求得，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
A=，,.
,A正确，，B错误，,C正确，，D正确.
故选：ACD
7．（2021·湖北省孝感市第一高级中学高一开学考试）下列说法中正确的为（       ）
A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为
B．若一元二次不等式的解集为，则的取值范围为
C．设集合，，则“”是“”的充分不必要条件
D．若正实数，，满足，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据各选项中的命题的条件逐一分析、推理并判断作答.
【详解】
对于A，因集合有且仅有2个子集，则集合中只有一个元素，于是有或，A不正确；
对于B，因一元二次不等式的解集为，则，解得，B正确；
对于C，当时，，当时，或，则或，所以“”是“”的充分不必要条件，C正确；
对于D，因正实数满足，则，
当且仅当，即时取“=”，D正确.
故选：BCD
题型二：集合间的基本关系
1．（2021·全国·高考真题（理））已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分析可得，由此可得出结论.
【详解】
任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
2．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则的非空子集个数为（       ）
A．15 B．14 C．7 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出的元素，再求非空子集即可.
【详解】
因为，又，
所以，所以的元素个数为，其非空子集有个.
故选：C．
4．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知，，则集合M、N之间的关系为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求集合M，解分式不等式求集合N，即可判断M、N之间的关系.
【详解】
由，
由等价于，可得，
所以.
故选：C
5．（2022·全国·模拟预测（文））设，已知两个非空集合，满足，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用韦恩图，结合集合的交集和并集运算即可求解.
【详解】
根据题意，作出如下图韦恩图：

满足，即.
故选：B.
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知p：“”，q：“”，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由p、q分别定义集合和，用集合法求解.
【详解】
由选项可判断出m≥0.
由q：“”可得：.
由p：“”可得：.
因为p是q的必要不充分条件，所以ÜA.
若m=0时，，ÜA不满足，舍去；
若m>0时，.
要使ÜA，只需m>1.
综上所述：实数m的取值范围是.
故选：D
7．（2022·全国·模拟预测）已知集合，则的非空子集的个数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合，利用集合的非空子集个数公式可求得结果.
【详解】
，
即集合含有个元素，则的非空子集有（个）.
故选：B.
8．（2022·全国·模拟预测）设集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由对数函数的单调性化简集合，再由集合知识判断即可.
【详解】

A错误，B错误，C正确，D错误.
故选：C
9．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则下列结论一定正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由对数函数定义域、一元二次不等式的解法分别求得集合，进而得到结果.
【详解】
，，
，，.
故选：B.
10．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则集合B的子集的个数是（       ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合B，再根据子集的定义即可求解.
【详解】
依题意，所以集合B的子集的个数为，
故选：C.
11．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系，列出参数的不等关系式，即可求得参数的取值范围.
【详解】
∵集合，且，∴.
故选：C．
12．（2022·全国·模拟预测）已知，则的子集的个数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解指数不等式求集合B，根据集合的交补运算求，由所得集合中元素个数判断子集的个数.
【详解】
由，得：，
∴，
∴其子集个数为个.
故选：D.
13．（2022·全国·模拟预测）已知集合，集合，则的子集个数为（       ）
A．4 B．5 C．7 D．15
【答案】A
【解析】
【分析】
求出集合A、B，得到，再求出集合的子集个数.
【详解】
.

所以，
所以的子集个数为.
故选：A
14．（2022·山东聊城·三模）设集合，，则（       ）
A．⫋ B．⫋ C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合，再由真子集的定义即可求出答案.
【详解】
，所以，所以，
所以，所以⫋.
故选：A.
15．（2022·广东广州·三模）已知集合，则的子集个数为（       ）
A．3 B． C．7 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，再按照子集个数公式求解即可.
【详解】
由题意得：，则的子集个数为个.
故选：B.
二、多选题
1．（2021·河北衡水中学三模）已知集合，，则下列命题中正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求集合A，根据各选项中集合的关系，列不等式或方程求参数值或范围，判断A、B、C的正误，已知参数，解一元二次不等式求集合B，应用交运算求判断正误即可.
【详解】
由己知得：，令
A：若，即是方程的两个根，则，得，正确；
B：若，则，解得，正确；
C：当时，，解得或，正确；
D：当时，有，所以，错误；
故选：ABC.
2．（2021·重庆·三模）已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
采用特值法，可设，，，根据集合之间的基本关系，对选项逐项进行检验，即可得到结果.
【详解】
令，，，满足，但，，故A，B均不正确；
由，知，∴，∴，
由，知，∴，故C，D均正确.
故选：CD.
3．（2021·湖南·模拟预测）已知全集，集合，，则（       ）
A． B．
C． D．的真子集个数是7
【答案】ACD
【解析】
【分析】
求出集合，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.
【详解】
，，
，故A正确；
，故B错误；
，所以，故C正确；
由，则的真子集个数是，故D正确.
故选：ACD
4．（2021·广东湛江·二模）已知集合，，则下列命题中正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
【答案】ABC
【解析】
【分析】
求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】
，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.
故选：ABC．
题型三：集合的基运算
1．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合后可求.
【详解】
，故，
故选：B.
2．（2022·全国·高考真题（文））设集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算即可解出．
【详解】
因为，，所以．
故选：A.
3．（2022·浙江·高考真题）设集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】
，
故选：D.
4．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】
由补集定义可知：或，即，
故选：D．
5．（2022·全国·高考真题）若集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出集合后可求.
【详解】
，故，
故选：D
6．（2022·全国·高考真题（文））集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算即可解出．
【详解】
因为，，所以．
故选：A.
7．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】
由题意，，所以,
所以.
故选：D.
8．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简集合A、B，再去求即可
【详解】
，
，
则.
故选：A.
9．（2022·全国·模拟预测）若集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合的定义，先对集合进行化简，再利用交运算即可求解.
【详解】
由题意知，，所以．
故选:B．
10．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
通过Venn图进行直观思考，避免繁琐的集合运算，通过图解即可得到答案．
【详解】
根据下面的Venn图：

I区表示；
Ⅱ区表示；
Ⅲ区表示；
Ⅳ区表示．
由题，集合对应于I区，Ⅱ区，Ⅳ区的并集，
所以Ⅲ区对应，从而Q对应Ⅱ区，Ⅲ区的并集，故．
故选：B
11．（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（       ）


A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
找到每一个选项对应的区域即得解.
【详解】
解：如图所示，


A. 对应的是区域1；       
B. 对应的是区域2；
C. 对应的是区域3；       
D. 对应的是区域4.
故选：B
12．（2022·全国·模拟预测）设集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由交集运算求解即可.
【详解】
因为是非零自然数集，所以
故选：B
13．（2022·全国·二模（理））已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出集合，利用交集的定义可求得结果.
【详解】
因为，因此，.
故选：A.
14．（2022·全国·模拟预测（理））已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得集合A、B，再由集合的交集运算可得选项.
【详解】
因为，，
所以.
故选：C.
15．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数的性质先求出集合，再求出集合，由集合的交集运算，即可求出结果.
【详解】
由题知，集合，，所以.
故选：B．
二、多选题
1．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，即可得出结论.
【详解】
在阴影部分区域内任取一个元素，则或，
故阴影部分所表示的集合为或 .
故选：AD.
2．（2022·江苏苏州·模拟预测）下列命题正确的是（       ）
A．若A，B，C为任意集合，则
B．若，，为任意向量，则
C．若，，为任意复数，则
D．若A，B，C为任意事件，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据集合运算有结合律，可判断A；根据向量的数量积不满足结合律可判断B；根据复数的乘法运算满足结合律可判断C；根据可判断D.
【详解】
对于A，集合运算有结合律，任意集合A，B，C都有，故A正确；
对于B，向量的数量积不满足结合律，即 故B错误；，
对于C，复数的乘法运算满足结合律，所以对任意复数，，，有，故C正确；
对于D，若，，故D错误.
故选：AC.
3．（2022·河北秦皇岛·三模）定义：不等式的解集为，若中只有唯一整数，则称为“和谐解集”．若关于的不等式在上存在“和谐解集”，则实数的可能取值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据定义解不等式，然后验证哪些选项符合要求.
【详解】
本题考查新定义与三角函数，考查推理论证能力与直观想象的核心素养．
不等式可化为．
由函数的图像，可知只有一个整数解，这唯一整数解只能是，因为点是图像上的点，所以．因为，，，.
故选：CD.
4．（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合A，B均为R的子集，若，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据集合图逐一判断即可得到答案
【详解】
如图所示
根据图像可得,故A正确；由于 ，故B错误； ,故C错误


故选：AD
5．（2022·湖北武汉·二模）已知集合，若，则的取值可以是（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据并集的结果可得Ü，即可得到的取值；
【详解】
解：因为，所以Ü，所以或；
故选：AB

题型四：集合的新定义
一、单选题
1．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）定义，设全集，则（       ）
A．或 B．或
C． D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
求出集合，利用定义可得答案.
【详解】
或，，
则或.
故选：A.
2．（2022·上海黄浦·模拟预测）若集合，其中和是不同的数字，则A中所有元素的和为（       ）.
A．44 B．110 C．132 D．143
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得，从而表示出，再由，得的可能取值，从而得和的值，可确定的值.
【详解】
因为，
所以，所以，
所以可以为1，3，9，11，33，99，
所以可以为
因为和是不同的数字，所以可以为，
此时，所以A中所有元素的和为，
故选：D
【点睛】
求解本题的关键是理解是循环节长度为两位的循环纯小数，从而得，进而代入集合A化简计算.
3．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）设A是任意一个n元实数集合，令集合，记集合B中的元素个数为，则（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】
【分析】
利用排除选项D；利用排除选项AC；举例验证选项B正确.
【详解】
当集合A中的元素两两互质时，．
所以对于选项D，当时，，故选项D错误．
当时，若，其中，有，故．
对于选项A，，故．故选项A错误．
对于选项C，，则.故选项C错误．
对于选项B，，判断正确
（事实上，当时，要使最小，，记，其中，当时，有．）
故选：B
4．（2022·浙江温州·三模）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对A、B：不妨设，可得，根据集合的定义可得Y中至少有以上5个元素，不妨设，则集合S中至少有7个元素，排除选项A，若，则集合Y中至多有6个元素，所以，排除选项B；对C：对，则与一定成对出现，根据集合的定义可判断选项C；对D：取，则，根据集合的定义可判断选项D.
【详解】
解：不妨设，则的值为，
显然，，所以集合Y中至少有以上5个元素，
不妨设，
则显然，则集合S中至少有7个元素，
所以不可能，故排除A选项；
其次，若，则集合Y中至多有6个元素，则，故排除B项；
对于集合T，取，则，此时，，故D项正确；
对于C选项而言，，则与一定成对出现，，所以一定是偶数，故C项错误.
故选：D.
5．（2022·河南·二模（文））已知：，，记，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合，再按照给的定义计算即可.
【详解】
由题意知：或，，故.
故选：A.
6．（2022·北京房山·一模）已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆
①A1∩A2=0
②A1A2=U
③的元素个数不是中的元素.
则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（       ）
A．5 B．6 C．10 D．15
【答案】A
【解析】
【分析】
由真分拆的定义及规定即可求解.
【详解】
解：由题意，集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆有；
；；；，共5种，
故选：A.
7．（2022·贵州·模拟预测（理））定义集合 且.已知集合，，，则中元素的个数为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
首先要理解A-B的含义，然后按照集合交并补的运算规则即可.
【详解】
因为，，所以，
又因为，所以.
故选：B.
8．（2022·贵州·模拟预测（文））定义集合且.已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中定义直接求解即可.
【详解】
因为，，所以，
故选：C
9．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（       ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
由集合的新定义结合，可得，由此即可求解
【详解】
因为集合且，
若，
则中也包含四个元素，即，
剩下的，
对于①：由得，故①正确；
对于②：由得，故②正确；
对于③：由得，故③正确；
故选：D
10．（2022·辽宁·育明高中一模）已知有限集X，Y，定义集合，且，表示集合X中的元素个数.若，则（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
利用新定义及并集运算，即可得到结果.
【详解】
∵
∴，，
∴，
∴，
故选：A
11．（2022·山西省运城中学校模拟预测（文））定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（       ）
A．16 B．18 C．14 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设，列举法写出集合，根据所得集合，加总所有元素即可.
【详解】
由题设知：，
∴所有元素之和.
故选：A.
12．（2022·湖北·模拟预测）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（1），；（2）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素.则有序集合对的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合中元素个数分类讨论．
【详解】
中元素个数不能为0，否则有4个元素，不合题意，
中元素个数不能为2，否则中有一个含有元素2，且集合中元素个数为2，不合题意，
中元素个数只能是1或3，因此有或．共2对．
故选：B．
13．（2022·天津·二模）定义，若，，则A-B=（       ）
A．{9} B．{0，3，7}
C．{1，5} D．{0，1，3，5，7}
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用集合的新运算求解.
【详解】
因为，且，，
所以A-B={0，3，7}，
故选：B
【点睛】
本题主要考查集合的运算，属于基础题.
14．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知集合，则集合的元素个数为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
由题意得,所以集合共7个元素.故选B.
二、多选题
15．（2021·浙江金华第一中学高一开学考试）若非空集合G和G上的二元运算“满足：①，，；②，对，；③，使，，有；④，b，，，则称构成一个群下列选项对应的构成一个群的是（     ）
A．集合G为自然数集，“”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“”为有理数的乘法运算
C．集合G为整数集，“”为整数的加法运算
D．集合，“”为求两整数之和被7除的余数
【答案】BC
【解析】
【分析】
分别分析题中的四个条件的含义，然后对四个选项中进行逐一判断即可．
【详解】
解：由题意可知，条件①表述了“⊕”的封闭性，
条件②表述了“⊕”对于有单位元，
条件③表述了“⊕”对于有逆元，
条件④表述了“⊕”的结合律，
对于，自然数集中的加法是封闭的，有单位元0，但无逆元，不满足条件③，故选项A错误；
对于B，正有理数集中的乘法是封闭的，有单位元1，逆元1，满足结合律，故选项B正确；
对于C，整数集中的加法是封闭的，有单位元0，逆元0，满足结合律，故选项C正确；
对于D，集合中对于“求两整数之和被7除的余数”不是封闭的，如被除的余数为0，，故选项D错误．
故选：BC．
16．（2021·河南·林州一中高一开学考试）若集合A具有以下性质：
（1）0∈A，1∈A；
（2）若x∈A，y∈A；则x﹣y∈A，且x≠0时，∈A．
则称集合A是“好集”．下列命题中正确的是（　　）
A．集合B＝{﹣1，0，1}是“好集”
B．有理数集Q是“好集”
C．整数集Z不是“好集”
D．设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x+y∈A
【答案】BCD
【解析】
【分析】
逐一判断给定的3个集合，是否满足“好集”的定义，最后综合讨论结果，可得答案．
【详解】
解：对于，假设集合是“好集”，因为，，所以，这与矛盾，所以集合不是“好集”．故错误；
对于，因为，，且对任意的，有，且时，，所以有理数集是“好集”，故正确；
对于，因为，但，所以整数集不是“好集”．故正确；
因为集合是“好集”，所以，又，所以，即，又，所以，即，故正确．
故选：．
17．（2021·广东·深圳第二外国语学校高一开学考试）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则xy，，且当 时，，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（       ）
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合A是“紧密集合”，且x，，则
【答案】BC
【解析】
根据“紧密集合”具有的性质逐一排除即可.
【详解】
A选项：若，，而，故整数集不是“紧密集合”，A错误；
B选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；
C选项：集合是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；
D选项：集合是“紧密集合”，当，时，，D错误．
故选：BC.
【点睛】
新定义题目的关键在于正确理解定义，从题意入手.

三、填空题
18．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知集合 ， 设 整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的个数， 则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据的定义进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
表示集合所含元素的个数，
其中，，
整除的有共个.
整除的：
（1）整除的有个；
（2）整除的有个；
（3）整除的有个.
重复的有共个.
所以.
故答案为：
19．（2022·上海·模拟预测）对于复数a、b、c、d，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，，结合题意分类讨论确定集合．
【详解】
∵，则，即，则
若，则取，则
若，则取，则，
经检验满足题意
∴
故答案为：．
三、解答题
20．（2022·北京丰台·二模）设，，…，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点．
(1)已知，为聚合区间，求t的值；
(2)已知，，…，，为聚合区间．
（ⅰ）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，，使得；
（ⅱ）若对任意p，q（且p，），都有，互不包含．求证：存在不同的i，，使得．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得当且仅当时成立即可得；
（2）（ⅰ）设，根据区间端点的大小关系证明所有区间都包含即可；
（ⅱ）先分析可得个互不相同的集合的区间端点的大小关系，再设，再根据区间端点的最小距离为 ，累加即可证明
(1)
由可得，又，为聚合区间，由定义可得，故当且仅当时成立，故
(2)
（ⅰ）由，是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设，因为，故，又，故，不妨设中的最大值为，中最小值为，则，即，故存在区间
（ⅱ）若存在 则或，与已知条件矛盾
不妨设 ，则
否则，若，则，与已知条件矛盾
取，设
当时，，

又，所以，所以，
即，所以，
此时取，则，
当时，同理可取，使得，
综上，存在不同的i，，使得
【点睛】
本题主要考查了新定义的集合类证明，可根据题意先画数轴分析题目中区间的关系，再凑出所需证明的不等式即可,属于难题