新高考数学二轮专题分层精练第13 课 导数与函数的单调性（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题分层精练第13 课 导数与函数的单调性（2份，原卷版+解析版），共8页。
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023春·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答.
【详解】依题意，，令，，
则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减，
因此，，，而，则，
所以实数的取值范围是.
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用导函数证明在单调递增，再根据奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】当时，，
因为，所以恒成立，
所以在单调递增，
又因为是定义在R上的偶函数，所以在单调递减，
所以，
所以由可得，解得，
故选:D.
3．（2023春·河南开封·高二校考期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求导数，利用在上恒成立，分离参数进行求解.
【详解】，因为在区间上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
因为二次函数的图象的对称轴为，且开口向上
所以的最小值为1，所以.
故选：B.
4．（2023春·重庆北碚·高三西南大学附中校考期中）已知函数为偶函数，定义域为R，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据导函数小于0，得到偶函数在上单调递减，从而对不等式变形后得到，解出解集.
【详解】因为当时，，故偶函数在上单调递减，
故变形为：，
所以，显然不满足不等式，
解得：，故.
故选：B
二、多选题
5．（2023·广东汕头·统考三模）设函数的导函数为，则（ ）
A．B．是函数的极值点
C．存在两个零点D．在(1，+∞)上单调递增
【答案】AD
【分析】首先求函数的导数，利用导数和函数的关系，即可判断选项.
【详解】，所以函数在上单调递增，所以函数不存在极值点，故B错误，D正确；，故A正确；
，得，中，，
所以恒成立，即方程只有一个实数根，即，故C错误.
故选：AD
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是奇函数
【答案】AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可判断零点个数，根据导数的几何意义，以及奇偶性的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：，定义域为，则，
由都在单调递增，故也在单调递增，
又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；
对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又，
故只有一个零点，B错误；
对C：，根据导数几何意义可知，C正确；
对D： 定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.
故选：AC.
三、填空题
7．（2023春·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】由定义可判断函数的奇偶性，求导可得其单调性，从而可求解不等式.
【详解】因为函数，所以，即函数为奇函数，
且，则函数为增函数，
则不等式等价于，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
8．（2023·安徽宣城·统考二模）已知函数，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】令，判断的奇偶性与单调性，则问题转化为，即，即可得到自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为，令，
则，
则函数为偶函数，
又，
当时，，，所以，所以在上单调递增，
又，
由可得，即，即，
所以，解得，即不等式的解集是.
故答案为：
9．（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】先根据函数特点构造，得到其奇偶性和单调性，再对不等式变形得到，根据单调性得到，解不等式求出答案.
【详解】令，定义域为R，
且，
所以为奇函数，
变形为，
即，
其，当且仅当，即时，等号成立，
所以在R上单调递增，
所以，解得：，
所以解集为.
故答案为：
四、解答题
10．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何性质求解即可.
（2）首先求导得到，再分类讨论，，，情况的单调性即可.
【详解】（1）由已知，则，
当时，，，
则曲线在处的切线方程为，即
（2）由（1）知，，
①当时，，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
②当时，由，得，
（ⅰ）当时，，
当时，，在，单调递增；
当时，，在单调递减；
（ⅱ）当时，，，在单调递增；
（ⅲ）当时，，
当时，，在，单调递增；
当时，，在单调递减；
综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减；
②当时，在，单调递增，在单调递减；
③当时，在单调递增；
④当时，在，单调递增，在单调递减.
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知且且且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，利用导数研究其单调性后可得的大小.
【详解】因为，故，同理，
令，则，
当时，，当时，，
故在为减函数，在为增函数，
因为，故，即，而，
故，同理，，，
因为，故，
所以.
故选：D．
【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．
二、多选题
2．（2023春·江苏南京·高三江苏省江浦高级中学校考阶段练习）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
【答案】ABC
【分析】对于A，由可求出的值，对于B，由选项A，可求得，然后利用导数可求出在上的最小值，对于C，由题意可得，可求出的范围，对于D，将问题转化为在上恒成立，构造函数，再利用导数求出其最大值即可
【详解】对于A，由，得，因为是函数的极值点，所以，得，经检验是函数的极小值点，所以A正确，
对于B，由选项A，可知，则，由，得或，由，得，所以在和递增，在上递减，所以当时，时，取得最小值，所以B正确，
对于C，因为在上单调递减，所以，即，得在上恒成立，令，则，所以在单调递增，所以，即，所以，所以C正确，
对于D，由在上恒成立，得 在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以上单调递增，所以，所以，所以D错误，
故选：ABC
三、填空题
3．（2023春·贵州黔西·高二校考期中）过点与曲线相切的直线方程为 ．
【答案】
【分析】由导数的几何意义得出切线方程，进而由切点的位置得出，从而得出切线方程.
【详解】设切点坐标为，，.
则切线方程为，因为在切线上，
所以，即
又，所以，
令，，当时，，
所以在上单调递增，
所以方程只有唯一解为.
即切点坐标为，故所求切线方程为，即.
故答案为：
四、解答题
4．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后对其导函数进行通分再对其分子因式分解，分类讨论与时的单调性即可.
（2）求出，将所证转化为，进而转化为证明恒成立，构造函数求其最大值即可证明.
【详解】（1）∵，定义域为，
则，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减，
综上，①当时，在上单调递增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可得，当时，
.
要证，
只需证，
即证恒成立.
令，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴的最大值为，即：.
∴恒成立，
【三层练能力】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则下列关系式恒成立的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造，，求导研究其单调性，分类讨论得到正确选项.
【详解】构造，，
则，
当时，，，
所以在单调递增，
因为，
当，时，则,所以所以
单调递减，所以;
当，时,所以所以,
单调递增，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛，构造函数，本题中构造进行求解，利用函数单调性比较函数值的大小，.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】令，所以，因为，所以，化简得，
所以是上的奇函数；
，
因为当时，，
所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；
考虑到，由，
得，即，
由在上单调递增，得解得，
所以不等式的解集为，
故选：B.