新高考数学二轮复习热点难点题型强化训练专题23 解析几何解答题分类练（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习热点难点题型强化训练专题23 解析几何解答题分类练（2份，原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了圆锥曲线方程与轨迹方程的确定，长度与周长问题，面积问题，斜率问题，定点问题，定值问题，最值与范围问题，与向量交汇问题等内容，欢迎下载使用。
1. （2024届广东省江门市部分学校高三上学期9月联考）在直角坐标系xOy中，动点P到直线的距离是它到点的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值．
【解析】（1）设，因为点P到直线的距离是它到点的距离的2倍，
所以，则，
整理得，故曲线的方程为．
（2）设，，
联立方程组整理得，
则，
，．
因为过点，
所以
．
令，，，
则在上恒成立，在上单调递增，
则当时，，则的最大值为3．
故面积的最大值为3．

2．（2023届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考）已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，
由题意知，
故椭圆的标准方程又为，即，
又椭圆过点，，
椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在且不过点，
设直线的方程为，，
由，消去整理得，
需满足，则，，
直线的倾斜角互补，，
，
，
将，代入得，
整理得，而，
，
所以直线的斜率为定值，其定值为2.
3.（2024届安徽省皖东智校协作联盟高三上学期10月联考）平面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知点，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.
【解析】（1）由题意设，由点到直线距离公式得
，，
∴，
∴，又∵垂足位于第一象限，
垂足位于第四象限，，
∴的轨迹方程为.
（2）解：由对称性，不妨设在第一象限，设，则，
设直线的斜率为，记，由为的角平分线，
则有，
其中，，，，
∴，
同理得：，代入中，
∴，化简得：.
将代入，中，
解得：，，
∴，，
设直线的方程为，将代入，
解得：，
∴直线的方程为，，
由点到直线距离公式得：.
由直线的斜率为，设直线的方程为，
将点代入，解得：，
∴直线的方程为，将其与联立得：
，
设，则，，
由可知，，
由均值不等式，，
当且仅当，即时，等号成立，
∵，故，
∴，当且仅当时，等号成立.
∴的最大值为.
二、长度与周长问题
4. （2024届云南省三校高三联考）已知点到定点的距离和它到直线：的距离的比是常数．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若直线：与圆相切，切点在第四象限，直线与曲线交于，两点，求证：的周长为定值．
【解析】（1）
设，由条件可知：，等号的两边平方，整理后得：；
（2）
由（1）的结论知：曲线C是方程为的椭圆，设，依题意有：，
则，所以直线l的方程为：，
联立方程： ，得：，
设，则，
，
，
由条件可知：，，
的周长，即定值为10；
综上，曲线C的方向为，的周长.
5．（2023届福建省厦门第一中学高三四模）已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，.
（i）求的面积与的面积之比；
（ⅱ）证明：为定值.
【解析】（1）∵、是椭圆，的两个顶点，且，
直线的斜率为，由，，得，
又，
解得，，
∴椭圆的方程为；
（2）
设直线的方程为，则，，
联立方程消去，
整理得，，得
设，，∴，.
（i），，
∴，
∴的面积与的面积之比为1；
（ii）证明：
综上，.
三、面积问题
6.（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟） 已知椭圆的左、右焦点为，离心率为.点是椭圆上不同于顶点的任意一点，射线分别与椭圆交于点，的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，，的面积分别为.求证：为定值.
【解析】（1）因为的周长为，即
所以，可得，
由椭圆的离心率，可得，从而，
所以椭圆的标准方程为．
（2）证明：设，则，
可设直线PA的方程为，其中，
联立方程，整理得，
则，
同理可得，．
因为，
所以
所以是定值．
7．（2023届河北省唐山市迁西县第一中学高三二模）已知椭圆，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4，是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，D为线段的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得，求三角形的面积．
【解析】（1）由题意知连接E的四个顶点所得四边形的面积为，
又点在E上，得，
解得，，
故椭圆E的方程为．
（2）设直线的方程为，
由，消去得，
又，
得，设，，，则
，．
由，可得为三角形的重心，
所以，且，
，，
故由在椭圆E上，得，得，
，
又原点到直线的距离为，
所以，故．

8．（2023届新疆伊犁州伊宁县第三中学高三上学期诊断）已知椭圆C：经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.
【解析】（1）由题意可设：直线l，，则，
可得：直线l的斜率，直线OM的斜率，
因为A，B两点在椭圆C上，则，
两式相减得整理得，即，
所以，可得，
又因为点在椭圆C上，则，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）因为四边形OAPB为平行四边形，则M为的中点，可得，
则，可得直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即，
可得点到直线l的距离，
由（1）可知：椭圆C的标准方程为，即，
联立方程，消去y得，
可得，且，
则，
所以四边形OAPB的面积.

四、斜率问题
9. （2024届陕西省商洛市部分学校高三上学期10月测试）已知椭圆C：过点，且C的右焦点为．
(1)求C的离心率；
(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，证明：．
【解析】（1）由得C的半焦距为，所以，
又C过点，所以，解得，
所以，．
故C的离心率为．
（2）

由（1）可知C的方程为．
设，，．
由题意可得直线MN的方程为，
联立 ，消去y可得，
则，，
则
，
又，
因此．
10．（2024届山东省金科大联考高三上学期9月质量检测）如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.

(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；
(3)证明：直线过定点.
【解析】（1）因为点和点在双曲线上，
所以，解得，所以双曲线的标准方程为.
（2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，
设，
联立，整理得，
若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，
此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，
所以
，
，
因为,所以
，所以.
（3）（i）当轴时，且，
所以，则，
联立，整理得，
即，解得或，
当时，，所以，
由于对称性，，此时直线过定点；
（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，
因为，所以联立，
即，所以，
解得或，
当时，，
所以,
同理，将上述过程中替换为可得，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以三点共线，即此时直线恒过定点，
综上直线过定点.
11．（2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考）已知是椭圆上的两点，关于原点对称，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值.
【解析】（1）设，易知，由，
得，
化简得，
故椭圆的标准方程为.
（2）
设的方程为，，，
将代入椭圆方程整理得，
，，
，，
则，
又原点到的距离为，
故，
当且仅当时取等号，
此时，的面积最大.
故
.
五、定点问题
12. （2024届四川省达州外国语学校高三9月月考）已知椭圆：经过，两点，是椭圆上异于的两动点，且，直线的斜率均存在.并分别记为，.
(1)求椭圆的标准方程
(2)证明直线过定点.
【解析】（1）∵椭圆过和，∴，解得，
∴椭圆的方程为：，
（2）如图所示：
由知与关于直线对称．
在上任取一点，设关于直线对称的点为，
则，解得，
从而，
于是．
设点，：．
由得，
∴，
从而．
同理，．
由（1）有，故，，
为方便，记，则
，
，∴，
即．
由此可知，当变化时，直线过定点．
13．（2024届广西玉林市高三联考）已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上、下顶点分别为，点，若直线与椭圆的另一个交点分别为点，证明：直线过定点，并求该定点坐标.
【解析】（1）因为椭圆的左焦点，可得，
由定义知点到椭圆的两焦点的距离之和为，
，故，
则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆的方程，可得，
且直线斜率存在，
设，设直线的方程为：，
与椭圆方程联立得：
，
则
直线的方程为，
直线的方程为，
由直线和直线交点的纵坐标为4得，
即
又因点在椭圆上，故，
得，
同理，点在椭圆上，得，
即
即
即
即
化简可得，即，
解得或，
当时，直线的方程为，直线过点，与题意不符.
故，直线的方程为，直线恒过点

14．（2024届贵州省高三适应性联考）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
【解析】（1）设双曲线的焦点坐标为，
依题意渐近线方程为，即，
有，解得，；
（2）由（1）可知右焦点，
设直线：，，，
由联立直线与双曲线，
化简得，，
故，，
，
又，则，
同理可得：
，
，
化简得，
故直线过定点.
六、定值问题
15.（2023届陕西省丹凤中学高三模拟演练）已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8．
(1)求的方程；
(2)若直线经过点，交于两点，直线分别交直线于，两点，试问与的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【解析】（1）由题意得，即①．
当点为的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，
所以，即②．
联立①②，得．
故的方程为．
（2）
与的面积之比为定值．
由（1）可得，
由题意设直线．
联立得，
则，
，
所以．
直线的方程为，
令，得，即．
同理可得．
故与的面积之比为
，
即与的面积之比为定值．
16．（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知椭圆的左右焦点分别为是椭圆的中心，点为其上的一点满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)设定点，过点的直线交椭圆于两点，若在上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求的范围．
【解析】（1）设，在中，设，
，
，
，
，
所以椭圆的方程为：
（2）设，直线的方程为，
，
，
，
设
，
若为常数，则，
即，而此时，
又，即或，
综上所述，或，存在点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值
17．（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）已知双曲线C：一个焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）由双曲线得渐近线方程为，设，则，
∴双曲线C方程为；
（2）依题意，直线的斜率不为0，设其方程为，，
代入得，设，，，
则，，
∴
若要上式为定值，则必须有，即，
∴，
故存在点满足

七、最值与范围问题
18. （2023届重庆市南开中学校高三下学期质量检测）已知椭圆的左右焦点为为椭圆上异于长轴端点的一个动点，为坐标原点，直线分别与椭圆交于另外三点，当为椭圆上顶点时，有．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的最大值．
【解析】（1）由题知，代入椭圆得，
∴，，
∴椭圆的方程为；
（2）
设，
设，由得，
解得，
则，
代入椭圆的方程得，
即，
即，
即，
即，
即，
∴，同理可得，
，
由题知，∴，
当即为短轴端点时取得最大值．
19．（2024届四川省南充高级中学高三上学期月考）已知，为椭圆的两个焦点．且，P为椭圆上一点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点的直线交椭圆于两点，若的中点为为坐标原点，直线交直线于点．求的最大值．
【解析】（1）依题意，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为，
，，，
设，则，
，
.
.
的中点为，则，即，
直线的方程为，
令，得，即，
而，所以，
所以，
令，则，
则，
当且仅当时等号成立.
所以的最大值为.

20．（2024届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考）已知椭圆过和两点.

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.
【解析】（1）依题意将和两点代入椭圆可得
，解得；
所以椭圆方程为
（2）（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，；
根据题意可知直线斜率均存在，且；
所以直线的方程为，的方程为；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
则，；
所以；
即可知为钝角，
所以点B在以为直径的圆内；
（ii）易知四边形的面积为，
设，则，当且仅当时等号成立；
由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以，可得，
由对称性可知，即当点的坐标为或时，
四边形的面积最大，最大值为6.
八、与向量交汇问题
21. （2023届广东省揭阳市惠来县第一中学高三最后一模）如图，矩形，，，、分别是、的中点，以某动直线为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点都落在上，记为，过点作，与直线交于点，设点的轨迹是曲线.

(1)建立恰当的直角坐标系，求曲线的方程；
(2)是上一点，，过点的直线交曲线于、两点，，求实数的取值范围.
【解析】（1）以为原点，以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图所示，
设，则直线的方程为，的中点坐标为，
直线是线段的垂直平分线为，
将代入上式，可得，所以点的坐标是，
由，整理得，所以点的轨迹方程为.
（2）解：因为，可得点的坐标为，设直线，
设，则是方程组的解，
整理得，所以，
因为方程在上有两个不同的实根，
所以，解得，
由，可得，所以，
代入，可得，
消去，可得，
因为，所以，解得，
即实数的取值范围是.

22．（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟 ）已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，，求证：为定值．
【解析】（1）∵，
∴，
由离心率为得，从而，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）
设，，则，
可设直线PA的方程为，其中，
联立，化简得，
则，同理可得，．
因为，．
所以
，
所以是定值.