新高考数学二轮复习热点难点题型强化训练专题09 导数的几何意义及应用（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习热点难点题型强化训练专题09 导数的几何意义及应用（2份，原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023届山西省运城市运城中学高三第二次模拟）函数在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，，所以所求切线方程为：，即.
故选A
2．（2024届江苏省淮安市高三上学期第一次调研）函数与直线相切，则实数a的值为（ ）
A．1B．2C．eD．
【答案】B
【解析】设函数与直线相切于，直线斜率为，，
故，则，故，
即，解得，故.故选B
3．（2024届江苏省南通市如东县高三上学期期初学情检测）已知是奇函数，则在处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为为奇函数，所以，
化简可得，
当时，对任意方程成立，
故，所以，
故，所以切线方程为，即.故选B
4．（2024届陕西省榆林市府谷县高三上学期第一次联考）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，对求导得，则，且，所以，
对求导得，则，且，所以.
令，所以，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，当时，，所以，
因为，，即，
所以，，所以，故.故选C.
5．（2024届河南省新未来高三上学9月联考）若存在，，使得直线与，的图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，图象上的切点分别为，，
则过这两点处的切线方程分别为，，
则，，
所以，设，，
设，则，
所以为单调递增函数，，
可得时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.故选C.
6．（2024届北京市八一学校高三上学期开学摸底考试）直线l经过点，且与直线平行，如果直线l与曲线相切，那么b等于（ ）．
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】设切点为，且的导数为，因为直线l经过点，且与直线平行，所以切线的斜率为，即切线的斜率为，解得，
可得切点为，由，解得.故选B
7．（2024届重庆市第十一中学高三上学期第一次质量监测）已知曲线与直线相切，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设切点为，，时，，，
切线方程为，又切线方程为，即，
所以，消去得，易知，
所以，
令，则，
当时，，递增，当时，，递减，
所以时，，从而取得最大值．故选C．
8．（2024届广东省高三上学期新高考联合质量测评9月联考）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【解析】因为，所以，设切点坐标为，所以，所以切线方程为，所以，即，
依题意关于的方程有两个不同的解、，
即关于的方程有两个不同的解、，所以.故选D
9．（2023届云南省保山市高三二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由函数，可得，
因为，设切点为，则，
则公切线方程为，即，
与联立可得，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，函数在上单调递增，且，
当时，，即，此时函数单调递减，
当时，，即，此时函数单调递增，
所以，且当时，，所以函数的值域为，所以且，解得，即实数的取值范围为.故选A.
10．（2023届河南省信阳高级中学高三下学期2月测试）已知过点不可能作曲线的切线．对于满足上述条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设是曲线上的任意一点，，
所以在点处的切线方程为，
代入点得，，
由于过点不可能作曲线的切线，
则直线与函数的图象没有公共点，
，
所以函数在区间上导数大于零，函数单调递增；
在区间上导数小于零，函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值也即是最大值，
则．
对于满足此条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，
等价于恒有两个不同的变号零点，
等价于方程有两个不同的解．
令，则，，
即直线与函数的图象有两个不同的交点．
记，则，
记，则，
所以在上单调递增．令，得．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，上单调递增．所以．
所以．因为，所以，所以．
即实数a的取值范围是．故选A
二、多选题
11．（2024届福建省厦门市松柏中学高三上学期第一次月考）已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】的定义域为，
，即直线的斜率，
设与垂直的直线的斜率为，则，所以，.
对于A，直线的斜率为，故A正确；
对于B，直线的斜率为，故B错误；
对于C，直线的斜率为，故C正确；
对于D，直线的斜率为，故D错误.故选AC.
12．（2024届广东省深圳市宝安第一外国语学校高三上学期8月月考）若过点 可作 3 条直线与函数 的图象相切， 则实数 可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】设切点为，
因为，，
所以切线方程为，又切线过，
则，整理得，
所以令，则，
令得，
所以当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，取极小值，当时，取极大值，
由可知当时，
所以函数的图象大致如图，

由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点，
此时过点可作3条直线与函数的图象相切，
由此可知，BCD符合题意，故选BCD
13．（2023届湖南省长沙市实验中学高三二模）已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，其中，则m与n可能满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】设切点坐标为，因为，则，切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为
将点的坐标代入切线方程可得，
过点恰能作两条直线与曲线相切，
即方程有2个解，即，
与的图象有2个交点，
，
若，令，得或，令，得，
即在上单调递减，在和上单调递增，

若，令，得或，令，得，
即在上单调递减，在和上单调递增，

又，，
故由图可知，当或时，与的图象有2个交点，
此时，或.故选AD.
14．已知函数，，直线分别与曲线和曲线相切于点，，且直线也与曲线，都相切，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】选项A，B：易知，，所以，则，
则曲线在点处的切线方程为，即，
则．
曲线在点处的切线方程为，
即，则，所以，
所以，，故A正确，B错误；
选项C，D：曲线与曲线关于直线对称，根据对称性可知，关于直线的对称点是与曲线的切点，则，，
所以，则，，故C错误，D正确．故选AD
三、填空题
15．（2024届江西省乐安县第二中学高三上学期开学考试）已知直线与曲线相切，则实数 .
【答案】
【解析】设切点为，，则有，解得
16．（2023届江西省景德镇市高三第三次质量检测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 .
【答案】
【解析】，，切线斜率，
切线方程可记为：或，
，，
则，易得，，
.
17．（2024届江苏省常州高级中学高三上学期期初检测）在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】设点的坐标为，
显然这两条曲线的公切线存在斜率，设为，
因此切线方程为，
设曲线的切点为，即，
由，所以过该切点的切线的斜率为，
则有，
设的切点为，即，
由，所以过该切点的切线的斜率为，
则有，
由题意可知：，于是有：
，得，或，
当时，则有，
当时，则有，
由可解，.
18．（2024届福建省漳州市第三中学高三上学期9月月考）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设过点的直线为，
，设切点为，
则 ，得有三个解，
令，，
当，得或，，得，
所以在，单调递增，单调递减，
又，，有三个解，
得，即.
19．（2024届江西省智学联盟体高三第一次联考）若过轴上任意点可作曲线两条切线，则的取值范围 ．
【答案】
【解析】设曲线上一点，，在点的切线方程，
把点代入切线方程得，得：，
令，则，分别令，解得
在单调递增，单调递减，，
当，，，，
要有两个解，
则即对任意，则，
对任意，则，只要，
令，，
在单调递减，在单调递增，则．．
20．已知函数有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可知的定义域为，
所以，,
由导数的几何意义可得，切点为时，切线斜率为，
切点为时，切线斜率为．
又∵两条切线与直线平行，可得，
即，
所以是关于方程的两根，
由，又，
可得，所以．
四、解答题
21．（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）已知函数．
(1)求证：曲线仅有一条过原点的切线；
(2)若时，关于的方程有唯一解，求实数的取值范围．
【解析】（1）的定义域为，，设切点，
则切线方程为，
当切线过原点时有，即，
故，因为，所以，即切点有且只有一个，则曲线仅有一条过原点的切线，即得证.
（2）关于的方程有唯一解，即方程，有唯一解，
令，则.
因为，故当，即时，，函数单调递增，且当时，，当时，.
易知的图象与直线有且仅有一个交点，满足题意，此时；
当，即时，设有两个根，，则，，故.
①若，则当时，单调递增；
当时，单调递减，且当时，，当时，.
故要使得有唯一解，则或恒成立.
此时，即，，.
则极大值，
令，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以，
又恒成立，故，；
同理，极小值，当时无最小值，此时无实数使得恒成立.
②若，则，，不满足；
③若，由①可得；
故当时，.
综上所述：
当时，；当时，.
22.（2024届江苏省南通市如东县高三上学期期初学情检）已知是函数的极值点.
(1)求的极值；
(2)证明：过点可以作曲线的两条切线.
【解析】（1）因为，所以.
因为是函数的极值点，
所以，所以.
即，
易知当时，；当或时，；
因为在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以当时，取得极大值；当时，取得极小值.
（2）设切点，
则切线方程是.
代入得，
整理得.
设，则
.
易知在上单调递减，上单调递增，
上单调递减，上单调递增，
又因，所以在上有且只有一个零点.
又因为，，
所以在上有且只有一个等点.
又因为当时，，
所以在上没有零点；
即有且仅有两个零点，也即过点可以作曲线的两条切线.