新高考数学二轮复习导数专项练习专题09 二阶导数的应用（2份，原卷版+解析版）

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2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
3、解决这类题的常规解题步骤为：
①求函数的定义域；②求函数的导数，无法判断导函数正负；
③构造求，求；④列出的变化关系表；⑤根据列表解答问题。
函数极值的第二判定定理：若在附近有连续的导函数，且，
若则在点处取极大值；
若则在点处取极小值
二阶导数处理的解题步骤：
(一) 利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）
例1、已知函数在处有极值10，则等于（ ）
或 B. C. D.或
【答案】C
【解析】，，由函数在处有极值10。利用函数极值的第二判定定理可得，即，
所以，
故选C
【变式训练1-1】、（2022·广西北海·一模（理））已知，若，恒成立，则正数m的最小值是（ ）
A．B．1C．D．e
【答案】B
【分析】不等式化简可得，利用导数研究函数的单调性，结合已知条件和函数的单调性可求m的最小值.
【详解】由，化简可得，即．令，则原不等式可化为， 由已知在上为单调递减函数，又，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以当时，，当时，．故当时，，当时，．即在上单调递增，在上单调递减．所以．所以正数m的最小值是1，
故选：B．
例2、 (2018全国 = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）已知函数．
(1)设是的极值点．求，并求的单调区间；
(2)证明：当时，．
【解析】(1)函数的定义域为，，，由题意可知
，即 ，又因为，利用函数极值的第二判定理可得是函数的极小值点，所以的单调减区间为，单调增区间为
当时，，设，下面只需证明即可；因为， ，由，
利用函数极值的第二判定定理可得是函数的极小值点，也是最小值点，所以，所以当时，因此，当时，
【变式训练2-1】、(安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考)函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间的最值．
【解析】(1)略
(2),,由，，利用函数极值的第二判定定理可得是的极小值点，所以在的单调递在单调增区间.所以，，又
(二) 利用二阶导数求函数的单调性
例3、（2022·河南·模拟预测（理））己知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】变形，构造函数，通过二次求导可知函数单调性，然后利用单调性可得a、b符号.
【详解】，设，
则，
设，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，所以，单调递增．
当时，，故此时；
当时，，故此时，所以.
故选：C．
【变式训练3-1】、（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若，，， 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由对数的运算法则把转化成同底的对数，再构造函数，利用导数判断单调性，进而的真数的大小关系，最后利用的单调性判断的大小.
【详解】由对数的运算法则得，.
令函数，则，即函数在是单调递减.
令函数，则，
令函数，则，
在上单调递减，且，
， 所以在上单调递增，在单调递减.
又 在恒成立
，即在上单调递增 ，则 当时，.
又在上单调递增

故选：C
【点睛】利用导数判断函数值大小应注意的问题：
在构造函数时需要视具体情况而定
在判断导函数的正负时，尽量不要求二阶导数，而是把原导函数令为一个新函数，再求导判断正负来得到原导函数的单调性.
例4、已知函数，.
（1）若在上为单调递减函数，求的取值范围；
（2）设函数有两个不等的零点，且，若不等式恒成立，求正实数的取值范围．
【解析】（1），由，令，，
当时，；当时，．
在上为单调递增函数，在上为单调递减函数.
，.
（2）函数有两个不等的零点且，
，两式相除得，
若证不等式恒成立，即证，
即证，令，
，.
①时，，在上为单调递减函数，
，在为单调递增函数，， 满足条件.
②时，当时，，在上为单调递增函数，
，在上为单调递减函数．，
不满足条件，舍去.
综上，正实数．
【变式训练4-1】、【华中师大附中2017级高三上期中考试，21题】
（1）已知，证明：当时，；
（2）证明：当时，有最小值，记
最小值为，求的值域.
【解析】（1）证明：在上单调递增，
时，即，时， 成立 .
（2）
由在上单增且
知存在唯一的实数，使得，即
单减；单增
，满足

记，则在上单
所以的值域为
(三) 利用二阶导数求参数的范围
例5、（1）、【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化）
已知关于的不等式在上恒成立，则整数的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B．
【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令时，化简：；
令时，，化简
你还可以在算出3,4，选择题排除法。B为最佳选项。
【第二种解法（二次求导）】：
构造 求导，令，即，
再令，在，，在上是单调递减，
设点，在递减；在递增，
所以=，，，
所以m的最大值是2.
（2）、若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由，得，又关于的不等式在上有解，
所以在上有解，即，
令，，则，
设，，则，
即在上单调递增，则，
于是有，从而得在上单调递增，
因此，，则，
所以的取值范围是.故选：D
【变式训练5-1】、若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．3B．4 C．5D．6
【答案】B
【解析】因为变形令
求导：，令求导
在上为增函数；
令=0，零点满足即，
所以在时，是单减，
在时，是单增的
，再令，
,
所以，，取整数，那么的最大值是4
【变式训练5-2】、已知函数，若，使得在恒成立，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解析】依题意，，令，则．
令，，∴时，，即单调递增，
∵，，设并记其零点为，
故．且，所以当时，，即，单调递减；当时，即，单调递增，所以，因此，由于且，即，所以，故选:C
(四) 利用二阶导数证明不等式
例6、（2022·全国·高二专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题中a，b，c的形式构造函数，利用二次求导的方法判断函数的单调性，根据单调性即可比较大小.
【详解】因为，，，
所以令，则，
令，则，
∴在上单调递减，，
∴恒成立，∴在上单调递减．
∵，∴，
即，所以，
所以，即，
故选：D．
【变式训练6-1】、（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，使得在恒成立，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】首先参变分离得，再设函数，求导数，再设，再求导数，通过函数恒正，判断函数的单调性，并判断的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得的最大值.
【详解】依题意，，令，则．令，，∴时，，即单调递增，
∵，，设并记其零点为，故．且，所以当时，，即，单调递减；当时，即，单调递增，所以，因此，由于且，即，所以，
故选:C
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.
例7.【全国卷Ⅰ第20题】 已知函数.
若，求的取值范围；
证明：.
【解析】（1）函数的定义域为（0，+∞）， ，， .
令
从而当时，，
故所求的范围是[-1,+∞﹚.
(2)由(1)知,,则
时，；
.
综上可知，不等式成立.
我们也可以运用二阶导数的方法加以证明：
【二次求导的巧妙运用】:令.
因 ，
显然当时，，
当时，，在（0,1﹚递减；
当时，，的符号仍不能判定，求二阶导数得：，
从而在时递增，，在[ 1,+∞﹚递增，
所以当时，，故成立，原不等式成立.
【变式训练7-1】已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：当，且时，．
【解析】（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故
即，解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
考虑函数，则
所以当时，
当时，
当时，
从而当
1．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小.
【详解】令，
∵，∴是偶函数，
∵，
令，则，∴在上单调递增，当时，，此时，∴在上单调递增.
由可得，即，∴，
∵是偶函数，则，∴.
故选：C.
【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.
2、（2022·浙江省春晖中学模拟预测）在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将不等式转化为，分别研究两个函数的性质，确定的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小的取值范围，列出不等式组，求出结果.
【详解】由，
化简得：，
设，，则原不等式即为.
若，则当时，，，
原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴.
∵，，∴.
当，即时，设，
则.
设，则在单调递减，所以，所以在单调递减，∴，
∴当时，，∴在上为减函数，
即，
∴当时，不等式恒成立，
原不等式的解集中没有大于2的整数.
要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，
则，即，
解得.
则实数的取值范围为.
故选：D
【点睛】已知整数零点个数，求参数的取值范围，要从特殊点，特殊值缩小参数的取值范围，再利用导函数及放缩法进行求解，最终得到关于参数的不等关系，进行求解.
3．（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合导数以及函数的奇偶性判断出的单调性，由此化简不等式来求得不等式的解集.
【详解】当时，单调递增，，所以单调递增.
因为是偶函数，所以当时，单调递减.
，，
，
或.
即不等式的解集为.
故选：D
4．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）设函数，，的图像上的两点，处的切线分别为，，且，，在y轴上的截距分别为，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用导数求切线方程，结合两条切线平行，得到 的取值区间；再利用一阶导数求出相应点的切线方程，再求y轴上的截距，然后确定 的单调性，然后就可以确定它的取值范围.
【详解】因为而，所以，
在点 处的切线方程为：；
在点 处的切线方程为：；
所以；；
令 ，则

又因为 ，所以，且
所以， ， ，
所以，
令 ， 则
所以在单调递减.
所以.
故选：C
5．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】等价于，设函数，利用导数求出函数的最大值即得解.
【详解】解：依题意，，
设函数，则，
令，故，
所以函数在上单调递减，而，
故当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
故，则.
故选：B．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出原函数的导函数并化简得到，为导函数的零点，进而设，然后再通过导数方法判断出函数的零点，进一步得到函数的单调区间，最终确定出极值点个数求出答案.
【详解】由题意，，则，
设，.
当时，时，单调递减，时，单调递增，
（1）若，则，则时，单调递减，时，单调递增，所以有唯一极值点.
（2）若，则，，，结合函数的单调性可知，函数分别在上存在唯一一个零点，于是时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减， 时，，单调递增，所以有三个极值点；
（3）若，则，，，结合函数的单调性可知，函数在上存在唯一一个零点，于是时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递增，所以有唯一一个极值点；
（4）若，则，又时，，所以且时，.
设，，所以函数在上单调递增，故，于是时，，所以且时，.
结合函数的单调性可知，函数分别在上存在唯一一个零点，于是时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减， 时，，单调递增，所以有三个极值点.
当时，时，单调递增，时，单调递减，，即恒成立，于是时，单调递增，时，单调递减，所以有唯一极值点.
综上所述：的取值范围为.
故选：A.
【点睛】本题非常复杂，注意以下两个方面：①对函数求完导之后一定要因式分解，，现在只需要考虑的零点即可；②因为导函数有一个零点1，所以在讨论函数的零点时一定要注意它的零点是否为1，方法是将x=1代入得到，以此作为讨论的一个分界点.
7．（2021·江苏·高二单元测试）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把给定不等式转化为在上有解，构造函数，，探讨该函数最大值即可得解.
【详解】由，得，又关于的不等式在上有解，
所以在上有解，即，
令，，则，
设，，则，
即在上单调递增，则，
于是有，从而得在上单调递增，
因此，，则，
所以的取值范围是.
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及不等式在给定区间上有解求参数范围问题，常常采用分离参数，构造函数，再求函数最值的思路来解决问题.
8．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数的图象过点，且当时，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将元不等式变形为，利用导数研究的单调性可得当直线与相切时取得最小值，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程求出切线方程，进而得出，利用二次求导研究的单调性，求出即可.
【详解】由知，∴，
∴，
令，则，
，令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
如图，若图象在图象上方，则，
要使图象在图象上方，则表示x轴截距的相反数，
的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线与相切，
记切点为，则，又，
所以，
有，设，
则，
故当时，函数，当时，，
故当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，
综上，的最小值为.
故选：D.
9．（2021·江苏·高二专题练习）设函数，则（ ）
A．时，在处取得极大值
B．时，在处取得极小值
C．时，在处取得极大值
D．时，在处取得极小值
【答案】D
【分析】先对求导并整理，当时，令，对二次求导判断其单调性，得在R上单调递增，由函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得的单调性即可判断；当时，令，同理求导，判断单调性即可判断.
【详解】解：由，得
，
当时，，
令，
，
，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
又，则在区间上存在唯一零点，
当时，，即，在单调递减；
当时，，即，在单调递增；
所以在处取得唯一极值，故选项A、B错误；
当时，
令，
则，
，
所以当时，，在上单调递减；
当时，， 在上单调递增；
所以，则在上单调递增，
又，则在区间上存在唯一零点，
则令，得或，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，选项C错误，选项D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是，利用二次求导判断导函数的单调性，然后再利用函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得原函数的单调性.
10．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数，若函数与有相同的最小值，则的最大值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】首先利用导数求解函数的单调性，再根据函数值域与定义域的关系即可得出结论.
【详解】根据题意，求导可得，，
∵（ ），
∴在上单调递增，
又∵当时，
∴当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
故有，即得，
所以根据题意，若使，需使的值域中包含，
即得，
故的最大值为2.
故选：B.
【点睛】求函数最值和值域的常用方法：
（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，使得在恒成立，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】首先参变分离得，再设函数，求导数，再设，再求导数，通过函数恒正，判断函数的单调性，并判断的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得的最大值.
【详解】依题意，，令，则．令，，∴时，，即单调递增，
∵，，设并记其零点为，故．且，所以当时，，即，单调递减；当时，即，单调递增，所以，因此，由于且，即，所以，
故选:C
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.
12．（2022·陕西渭南·高二期末（理））给出定义:若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数.记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的有（ ）
①，②，③，④.
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据题意，分别验证各个选项中的函数的二阶导数在上是否是负数即可.
【详解】①,则，当时，，则，选项①满足；
②，则，当时，，即，②不符题意；
③，则，选项③满足；
④，当时，，选项④满足.
综上有个函数符合题意.
故选：B
13．（2021·江苏扬州·高三阶段练习）函数在区间，上连续，对，上任意二点与，有时，我们称函数在，上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据题目中定义，逐个判断各函数是否满足条件二阶导函数大于零，即可解出．
【详解】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足在定义域内恒成立．
对于A，，则在时恒成立，
不符合题意，故选项A错误；
对于B，，则恒成立，
符合题意，故选项B正确；
对于C，，则在时恒成立，
符合题意，故选项C正确；
对于D，，则在时恒成立，不符合题意，故选项D错误.
故选：B
14．（2023·全国·高三专题练习）已知是上的偶函数，当时，，且对恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】利用二次求导法，结合偶函数的性质进行求解即可.
【详解】，
故为增函数，当时，，可得为增函数.
又为偶函数，故，
恒成立.
因为，，
所以有，故答案为：
方法
二次求导
使用情景
对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
解题步骤
设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
15．（2023·全国·高三专题练习）设函数f（x）在区间I上有定义，若对和，都有，那么称f（x）为I上的凹函数，若不等号严格成立，即“1时,令，得到；令，得到或.此时在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+∞)上为增函数.
综上：①当时， 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；
②当时， 在(a,1)上为减函数，在(0,a)和上为增函数；
③当a=1时，在0,+∞)上为增函数；
④当a>1时，在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+∞)上为增函数.
（2）在内有两个零点，即关于x方程在上有两个不相等的实数根.
令则，
令，则，
显然在上恒成立,故在上单调递增.
因为p(1)=0，所以当，有，即所以单调递减；
当，有，即所以单调递增；
因为，所以a的取值范围
20．已知函数，．
（1）当时，若在点，切线垂直于轴，求证：；
（2）若，求的取值范围．
【解析】（1）由题意可知，
则，设切点为，，
则由，解得，则，即，故等式得证；
（2）解：因为，其中，
所以对恒成立，令，
则，即，
令，则，其中，
则为上的增函数，
又因为（1），，
所以存在，使得，
即，即，
又因为在上单调递增，故，即，
又当时，，所以为减函数，当时，，所以为增函数，
所以，所以的取值范围为，．
21．已知函数．
（1）若对恒成立：求实数a的取值范围；
（2）当时，证明：．
【解析】（1）因为，所以，.
当时，显然，则在上单调递增，所以，不合题意；
当时，由得，则在上单调递增，所以存在，
使，不合题意；
当时，因为，所以，则在上单调递减，所以.
综上可知，实数的取值范围是.
（2）当时，，要证，
只需证，即证（*）.
令（），则，
令（），则，
则在上单调递减，所以，即，
所以在上单调递减.由（*）可知，只需证（）.
令（），则，所以在上单调递增，
所以对任意，，即.故原不等式成立.
22．已知函数.
（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：.
【解析】（1）函数的定义域为，由，得，则，又，则曲线在点处的切线的方程为，即，显然恒过定点.
（2）若有两个零点，，则，，得.
因为，令，则，
得，则，
所以.
令，则，
令，则，
则在上单调递增，所以.
所以，则在上单调递增，
所以，即，故.