新高考数学二轮复习导数重难点突破训练专题01 导数的几何意义（2份，原卷版+解析版）

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1．已知函数，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．
【解析】根据导数定义得：，又，所以.
故选：C.
2．已知是定义在R上的可导函数，若，则（ ）
A．0B．2C．D．
【解析】由导数的定义，可得．
故选：D
3．已知函数，若，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
【解析】根据导数的定义得：，即，
所以，所以，解得.故选：C.
4．已知函数，则（ ）
A．12B．6C．3D．
【解析】∵，∴，
∴．故选：B．
5．已知函数的导数存在，且，则（ ）
A．B．C．1D．－1
【解析】．故选：D．
二、多选题
6．设函数在处的导数存在，则（ ）.
A．B．
C．D．
【解析】因为函数在处的导数存在，所以
，故B正确.
又∵，所以C正确.
故选：BC.
7．若当，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．曲线上点处的切线斜率为
D．曲线上点处的切线斜率为
【解析】由得：，即，
曲线上点处的切线斜率为，C错误；D正确；
，A正确；B错误.
故选：AD.
三、填空题
8．已知函数，则的值为____________
【解析】，，
.
专项突破二 求曲线的斜率(或倾斜角)
一、单选题
1．曲线在处的切线斜率为（ ）
A．0B．1C．2D．
【解析】，.故选：B.
2．曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，所以，
所以曲线在处的切线的斜率为，所以其倾斜角为.故选：B.
3．直线过坐标原点且与曲线相切，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设切点，，则直线的斜率为，直线方程为，代入点，得，解得，则斜率为1，故倾斜角为.故选：B.
4．函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（ ）
A．B．±C．D．±
【解析】因为，所以，
当时，，此时，
∴．故选：C.
5．过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意，函数，可得，
因为，所以，即切线的斜率，
设切线的倾斜角为，则，又因为，所以或，
即切线的倾斜角的范围为.故选：B.
6．若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】的导数为，所以曲线在点处的切线的斜率为.
因为曲线在点处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直，
所以曲线y=ln x在点P处的切线的斜率.
而y=ln x的导数，所以切点的横坐标为，所以切点.故选：D
7．设点是函数图像上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】，，，，
，，
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，，
，.故选：B.
8．已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】函数的定义域是R，求导得：函数，而，
则曲线在点处的切线的斜率，
当且仅当，即，时取“=”，而，
于是得，有倾斜角锐角，因此，，所以的取值范围是.故选：A
二、多选题
9．（多选）设点P是曲线上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含（ ）
A． B． C． D．
【解析】，，
依题意：，，
∵倾斜角的取值范围是，∴，故选：CD.
10．已知曲线及点，则过点且与曲线相切的直线可能有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【解析】因为，所以，设切点， 在点处的导数为，
根据导数的几何意义等于切线斜率，以及导数的比值定义式有：
整理得 ，所以，
①当时，可化为，由函数定义域知分母不为0，，
所以只能解得，因此过只能找到一条与曲线相切的直线；
②当时，可化为，
是关于的二次方程，，且两根之积为，
所以所求根之中一定不含0，此时对任意能够找到两个满足条件.
综上所述，过点且与曲线相切的直线可能有1或2条.故选：BC.
三、填空题
11．已知，则曲线在点处的切线斜率为______．
【解析】，所以，
12．已知，函数的图象在处的切线方程为 _____．
【解析】由得，
所以在处的切线的斜率为，又，故切点坐标，
所以所求的切线方程为，即，
13．已知函数，则曲线在点处的切线恒过定点_____
【解析】函数的定义域为，
由，得，则．
又，则曲线在点处的切线的方程为，
即，由可得，所以直线恒过定点．
专项突破三 求在一点和过一点的切线方程
一、单选题
1．曲线在点的切线方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【解析】由题意，，故点的导数值为，故在点的切线方程为，整理得，故选：A
2．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【解析】∵，∴.又，切点为
所以曲线在点处的切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为
，即.故选：B.
3．已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为函数的图象经过坐标原点，
所以，所以，所以所以．
因为，所以．所以所求切线方程为，
即．故选：A.
4．已知函数的图象在（1，f（1））处的切线经过坐标原点，则实数a的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【解析】，，，可得切线方程为，代入得.
故选：B.
二、多选题
5．已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（ ）
A．B．C．D．
【解析】设切点为，则，所以，
所以切线方程为，因为切线过点（1，3），
所以，即，即，
解得或，所以切线方程为或，故选：AB
三、填空题
6．已知，则曲线在处的切线方程为________．
【解析】因为，所以，所以，
∴切线方程为，即．故答案为：.
7．已知函数则曲线在点处的切线方程为_______.
【解析】因为，又，
切线方程为：，即
8．已知直线l为函数的切线，且经过原点，则直线l的方程为__________.
【解析】设切点坐标为，所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为
又直线l过点，所以，
整理得，解得，所以，
直线l的斜率，所以直线l的方程为
9．过曲线上一点的切线方程为_____.
【解析】设切点坐标为，因为，所以切线斜率，
所以切线方程为…①，
因为切线过点，所以，
整理得，即，
解得或，代入①整理得或
专项突破四 两切线平行、垂直、公切线等问题
一、单选题
1．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（ ）
A．-1B．1C．2D．3
【解析】∵，∴，∴，∴，∴曲线在处的切线方程为，由得，由，解得．故选：B
2．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由，得，所以该曲线在点处的切线斜率为.
由，得，
所以该曲线在点处的切线斜率为.因为两切线平行，所以.故选：D.
3．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】对于函数，，
所以，曲线在点处的切线的斜率为，
直线的斜率为，由题意可得，解得.故选：D.
4．已知函数在处的切线与直线垂直，则（ ）
A．2B．0C．1D．－1
【解析】由题可知：函数在处的切线的斜率为，直线的斜率为-1，
故=-1得1，故选C.
5．对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，
，，
设，则，即……①
又，即……②
由①②可得，.故选：B.
6．曲线在 处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．-1B．1C．2D．4
【解析】令，则，
依题意，即，解得；故选：B
二、填空题
7．若曲线的一条切线与直线：互相垂直，则该切线的方程为_________.
【解析】设曲线的切点坐标为，
，所以过该切点的切线的斜率为，
因为直线：的斜率为1，过该切点的切线与直线互相垂直，
所以，所以切点坐标为：，过该切点的切线的斜率为，所以过该切点的切线的方程为：，化为一般式为：.
8．已知与的图象有一条公切线，则c=______.
【解析】因为,，
所以，，
所以公切线的斜率为2，与的图象相切于点，与的图象相切于点，
故，即.
9．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___________.
【解析】由得：，则曲线在点处的切线斜率为，
由得：，则曲线在点处的切线斜率为，而两切线平行，
所以.
10．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则__________．
【解析】因为，所以，
所以，又，所以在点处的切线为，
又，则，
所以，又当时，
所以曲线在点的切线方程为，
所以，解得，即；
11．函数与有公切线，则实数的值为__________．
【解析】根据题意，函数与有公切线，
设切点分别为，，，，；
所以且，所以公切线为，
则有，
设，
则在 上递增，又，故，
三、解答题
12．已知，求：
(1)当时，求；
(2)当时，求a；
(3)在处的切线与直线平行，求a？
【解析】(1)当时，，
(2)由题知，因为，所以，解得
(3)由（2）知，
因为在处的切线与直线平行，所以，解得.
此时，切线方程为：，即，
满足与直线平行，所以.
专项突破五 已知切线方程(斜率)求参数
一、单选题
1．若曲线在点外的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题得，所以切线的斜率为，
因为切线与直线垂直，所以故选：B
2．已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【解析】由，则，所以
解得：，，所以，.故选：D.
3．已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为函数的图像在点处的切线方程是，
所以，，得，，所以，故选：C
4．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，
则由题可得切线斜率，解得.故选：D.
5．若，曲线在点处的切线的斜率为2，则（ ）
A．1B．2或1C．或2D．2
【解析】,
根据导数的几何意义可得，
所以，所以或，所以或，故选：B.
6．若直线与曲线相切，则（ ）
A．3B．C．4D．2
【解析】由题得，设切点为，
所以，
又，所以，
所以，所以.故选：B
7．已知曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的横坐标为（ ）
A．1B．C．2D．
【解析】设，点 ，则，
由在点P处的切线与直线垂直可得，即，
又，∴,故选：B
8．已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】作出函数的图象如图：
依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点，
因为必过，且，
若时，方程不可能有三个实数解，则必有，
当直线与在时相切时，
设切点坐标为，则，即，则切线方程为，
即，切线方程为，
且，则，所以，
即当时与在上有且仅有一个交点，
要使方程有且仅有三个的实数解，
则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即，所以，故选：B
9．已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，，所以，
所以切线的方程为，又，所以，
设切线与的切点为，可得切线的斜率为，即，
，可得切点为，以，解得．选：D．
10．已知奇函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．或1B．或C．或2D．或
【解析】由可得，
因为，所以，解得.
所以，故切线斜率，
又，所以，解得或，
所以或.故选：D
二、多选题
11．若曲线在处的切线与直线互相垂直，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】选项A，已知曲线，所以，故该选项错误；
选项B，已知曲线，所以，故该选项正确；
选项C，因为，所以，故该选项正确；
选项D，直线的斜率为，而，由已知，曲线在处的切线与直线互相垂直，所以，所以，该选项正确；
故选：BCD.
三、填空题
12．设曲线在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=______.
【解析】由题设，，又(0，0)处的切线方程为y=2x，所以，可得.
13．函数的图象在处的切线与直线平行，则=______．
【解析】因为，所以．
由，得．因为，所以．
专项突破六 导数几何意义的应用
一、单选题
1．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．13
【解析】设切点为 ，的导数为，
由切线的方程可得切线的斜率为1，令，
则 ，故切点为，代入，得，、为正实数，
则，
当且仅当，时，取得最小值9，故选：B
二、填空题
2．点在函数的图象上．若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为________．
【解析】过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行，又，于是，则；所以，于是当点到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点有且仅有个，所以，解得或，
又当时，函数的图象与直线没有交点，所以不满足；故．
3．已知直线与曲线和直线分别交于P，Q两点，则的最小值为____________．
【解析】设点P到直线的距离为d，则，
所以当点P到直线的距离最小时最小，
又当曲线在点P处的切线与直线平行时d最小，所以此时最小，设，
因为函数的定义域为， ，
令，解得或（舍去），所以切点为，
点P到直线的距离，所以的最小值为4，
4．若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为_______
【解析】设与直线平行且与曲线相切于点时，
此时两点距离的最小值为点到直线的距离，
因为，所以，即得，
，所以点到直线的距离为，
所以两点距离的最小值为．
三、解答题
5．已知函数.
(1)求导函数；
(2)当时，求函数的图像在点处的切线方程.
【解析】(1)由题意，函数，
可得.
(2)当时，可得，由（1）得，所以，
所以函数的图像在点处的切线方程，即.