新高考数学二轮复习热点难点题型强化训练专题07 函数与方程（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习热点难点题型强化训练专题07 函数与方程（2份，原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2024届广东省茂名市化州市林尘中学高三上学期第一次统测）函数的一个零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，又，，，根据零点存在性定理及函数的单调性可得函数在内有零点，故选B.
2．（2023届新疆乌鲁木齐市高三三模）定义符号函数，则方程的解是（ ）
A．2或B．3或C．2或3D．2或3或
【答案】D
【解析】依题意，当时，方程为：，解得或，因此或，
当时，方程为：，解得，于是无解，
当时，方程为：，解得或，因此，
所以方程的解是或或.故选D
3．（2024届河南省郑州高三上学期8月月考）已知函数，若关于x的方程有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，
则可转化为与只有1个交点，
当时，，故恒成立，
故在上单调递增，
当时，，故恒成立，
故在上单调递增，又，
画出的图象如下：

要想与只有1个交点，只需，故实数a的取值范围是.故选A
4．（2024届北京市第三十五中学高三上学期开学考）若关于x的方程有实数根，且，给出下列4个结论：
①当时，；②；③当时，；④当时，.其中正确的结论个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】对于①，时，方程为，解得，，∴①正确；
对于②，方程整理可得，则，可得，∴②正确；
作出函数的图象，

当时，，∴③不正确，④正确．
故正确的有①②④，共3个.故选C
5．（2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若函数存在1个零点位于内，
单调递增,又因为零点存在定理，
.故选A.
6．（2023届陕西省丹凤中学高三模拟）已知函数在区间上有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，得，
所以，
所以，
所以，则或．
由题意得方程在区间内有两个不同的实数根，
设两根分别为，则，，
所以，，
所以．
因为，所以，所以．
又，所以，即的取值范围是．故选B
7．（2024届四川省成都市石室中学高三上学期开学考）已知函数，若方程有三个不同的根，则（ ）
A．4B．3C．2D．
【答案】B
【解析】由题意，因为，所以为奇函数，
由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，
所以的图象关于点对称.而所表示的直线也关于点对称，
所以方程的三个实根中必有一个为1，另外两个关于对称，所以.
故选D.
8．（2024届宁夏石嘴山市平罗中学高三上学期月考）定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，可得函数的图象关于对称，且，
又因为函数为定义在上的偶函数，可得，
则，即，所以是以为周期的周期函数，
因为当时，，作出函数的图象，如图所示，
由关于x的方程恰有5个实数解，
即函数与直线的图象有5个交点，
结合图象，及其图象的对称性，则满足或，
解得或，
即实数的取值范围是.故选A.

9．（2024届辽宁省沈阳市第二中学高三上学期阶段验收）已知函数，且满足对任意的，总有，的图象上关于轴对称的点恰好有3对，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为当时，，故在上的图象具有局部周期性，
则在上的图象如图所示：
设，若要使函数的图象上关于轴对称的点恰好有3对，
则函数与的图象恰有3个交点，
在同一直角坐标系中画出与的图象，如图，
由图象可得，若使两函数的图象恰有3个交点，则且满足，，
即，，所以，解得，故选C
10．（2023届山西省吕梁市高三二模）已知，分别是方程，的根，则的值为（ ）
A．B．C．10D．5
【答案】D
【解析】在同一平面直角坐标系绘制函数，，的图象，
由题意可知，的值分别为图中点，的横坐标，
则，的值分别为图中点，的纵坐标，
因为函数和互为反函数，
互为反函数的图象关于直线对称，设直线与的交点为，
易知，结合对称性可知．故选D

11．（2024届天津市第二南开学校高三开学考试）函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，，即关于x的方程始终有一个根为，
当时，由，得，
由题意可知当时，直线与函数仅有一个交点，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取到最大值，
当时，，
作出函数的图象如下图所示，

由图象可知，要使直线与函数仅有一个交点，则
，或，或故选A
12．（2024届江西省宜春市宜丰中学高三上学期开学考试）已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于，可知其对称轴为，
令，解得或；
令，解得或；
作出函数的图象，如图所示，

若方程有四个不同的实根，
即与有四个不同的交点，交点横坐标依次为，
对于，则，
可得，所以；
对于，则，可得；
所以，
由对勾函数可知在上单调递增，
可得，所以的取值范围是.故选B.
二、多选题
13．（2024届辽宁省沈阳市实验中学高三上学期9月月考）已知函数，其中，为某确定常数，运用二分法研究函数的零点时，若第一次经计算且，则（ ）
A．可以确定的一个零点，满足
B．第二次应计算，若，第三次应计算
C．第二次应计算，若，第三次应计算
D．第二次应计算，若，第三次应计算
【答案】AB
【解析】对于A选项：由题意第一次经计算且，因此由零点存在定理可知存在满足，故A选项符合题意.
对于B选项：第二次应计算，若，又，所以有，满足零点存在定理，
所以第三次应计算，故B选项符合题意.
对于C选项：第二次应计算，若，又，所以有，满足零点存在定理，
所以第三次应计算，故C选项不符题意.
对于D选项：第二次应计算，而不是计算，故D选项不符题意.故选AB.
14．（2024届江苏省南通市海安市高三上学期学业质量监测）下列区间上，函数有零点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】时，，
，,
∴在有零点，C正确.
，所以，
在连续则在有零点，D正确.
时，时，
由于当时，
所以在单调递减，故，
而当时，，
所以无实数根，故在无零点.B错误，
，，
∴，∴在有零点， A正确，故选ACD.
15．（2024届辽宁省朝阳市高三上学期9月联考）设符号函数，已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在上的值域为
C．在上单调递减
D．函数在上有5个零点
【答案】CD
【解析】当时，，，，
当时，，，，
当时，，，，
即，作出的部分图象，如图所示：

由图可知，不是周期函数，故A错误；
由图可知，在上的值域为，故B错误；
由图可知，在上单调递减，故C正确；
令，得，由图可知，在上，的图象与直线只有5个交点，
所以在上有5个零点，故D正确.故选CD.
16．（2024届湖南省益阳市高三上学期9月月考）已知函数，则（ ）
A．有两个零点
B．直线与的图象有两个交点
C．直线与的图象有四个交点
D．存在两点，同时在的图象上
【答案】ABD
【解析】画出的图象，如下：
A选项，有两个零点，即和0，A正确；
B选项，当时，，则，令，
解得，又，
故在的切线方程为，
令，，则，
故在上单调递增，
故，即在上恒成立，
故在上与只有一个交点，
当时，，联立，可得，解得或0（舍去），
结合函数图象，可知直线与的图象有两个交点，B正确；
C选项，在同一坐标系内画出与直线的图象，
可知直线与的图象有2个交点，C错误；
D选项，点，是关于对称的两点，
因为，故是位于第一象限的点，位于第二象限，
在上，要想满足同时在的图象上，
只需与在第一象限内有交点，
因为，故，
又，故，
两函数均在单调递增，故一定存在，使得，D正确.
故选ABD
17．（2024届重庆市第八中学高三上学期入学测试）已知函数，则（ ）
A．，使得有2个零点B．，使得有3个零点
C．若有3个零点，则D．若有4个零点，则
【答案】ABD
【解析】令，则，则的图像如下所示，

当时，有两个交点，当时，有3个交点，
当时，有1个交点，当时，有0个交点.
由于直线的斜率为1，故当，
设斜率为1的切线的切点为，则，
故切点为，切线方程为，
当，设斜率为1的切线的切点为，
则，故切点为，切线方程为，
在图中做出在和的切线方程，如下图，的零点即为函数与的交点，

由图可知：当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，
当时，与有2个交点，目交点横坐标满足，和，
当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，
当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，
当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，
综上可知：当或时，有3个交点，当时，有4个交点
当时，有2个交点.故选ABD
三、填空题
18．（2024届广东省惠州市惠东县高三上学期第一次教学质量检测）已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由得，
所以函数的周期为4，
先作出在区间上图像：

又，，
则实数的取值范围为.
19．（2024届】河南省TOP二十名校高三上学期9月调研）已知函数若，函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】依题意，，可得，
函数恰有三个不同的零点，即恰有三个解，
转化为函数与图象有三个交点，
函数的图象如图所示．结合图象，，解得，
即实数的取值范围为．

20．（2023届河北省石家庄市部分学校高三下学期期中）已知为整数，若关于的方程有正数解，则 ．
【答案】
【解析】由得，所以．设，则，，因为为整数，所以，即，解得，
即，解得．
21．已知函数且有且仅有2个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当时，当时，，此时没有零点，
因此在上有且仅有2个零点，
由，得，于是，解得，
当时，当时，，在上恰有一个零点，
因此在上有且仅有1个零点，于是，解得，
所以的取值范围为.
22．（2024届江苏省常州市前黄高级中学高三上学期期初考试）已知函数，关于的方程恰有个不同实数解，则的取值范围为 ．
【答案】或
【解析】对于函数，
，所以当时，；
当时，.所以，
令 ，则方程 可化为 ①，
作出函数 的图象如下图所示，
则方程①有两个相等的实根或者两个小于2的不等实根，
即，（符合），或.
所以的取值范围是或.