山东威海荣成市16校联考（五四制）2025-2026学年八年级下学期期中 数学试题（含解析）

这是一份山东威海荣成市16校联考（五四制）2025-2026学年八年级下学期期中 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角相等B. 四条边相等C. 邻边互相垂直D. 对角互补
5. 方程的根是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
6. 若，化简的正确结果是（ ）
A. B. 1C. D.
7. 如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于( ).
A. 22.5°B. 45°C. 30°D. 135°
8. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）
A. B. 4C. 7D. 14
9. 把根号外的因式移入根号内，其结果是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，连接交于点M，连接，．若，，则下列结论：
①，；
②；
③四边形是菱形；
其中正确结论的个数是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为_____ ．
12. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为________．
13. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______．
14. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为，现已知的三边长分别为1，，3，则的面积为____________________ ．
15. 如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图③中，的度数为__________．
16. 如图，在矩形中，，点E，F分别在上，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为______．
三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
17. 计算：．
18. 解方程：2x2﹣4x﹣3＝0．
19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求此时方程的根．
20. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
21. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若四边形是菱形，，求的长．
22. 阅读理解：我们一起来探究代数式的值．
探究一：当时，代数式的值为4，当时，代数式的值为3，可见，代数式的值随x的值的变化而变化．
探究二：把代数式进行配方变形，如：
，可得：即当______时，代数式有最大值，最大值为________．
尝试探究：
（1）请补充完成探究二，直接在答题卡填空；
（2）当x取何值时，代数式有最大值，最大值为多少？
拓展应用：
（3）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园ABCD（围墙MN足够长），现在已备足可以砌40m长的墙的材料，设AB为x米，请用含x的代数式表示围成的长方形花园ABCD的面积S，并探究当x为多少米时，面积S有最大值，最大面积是多少？
23. 在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张，，，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题．
根据以上各小组探究内容，求解下列问题．
（1）根据第一小组探究内容，求证：是等腰三角形．
（2）根据第二小组探究内容，当，，三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度．
数学
总分值：120分 答题时间：120分钟
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．
解答过程：解：A、与不是同类二次根式，
B、与不是同类二次根式，
C、与是同类二次根式，
D、与不是同类二次根式.
故选C．
方法提示：此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查的是一元二次方程的定义，掌握定义进行判断是解题的关键．
一元二次方程：含有一个未知数，含有未知数的项的最高次数是2，2， 这样的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断即可．
解答过程：选项A：
整理为，是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合定义；
选项B：
含两个未知数和，不符合“一个未知数”的条件，排除；
选项C：
化简：
，化简后为一次方程，排除；
选项D：
未明确，当时方程变为一次方程，不符合定义，排除．
故选：A．
3. 若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
解得：．
4. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角相等B. 四条边相等C. 邻边互相垂直D. 对角互补
答案：B
解析：
思路：根据菱形的性质、矩形的性质判断即可．
本题考查的是菱形的性质、矩形的性质，掌握菱形的四条边相等、矩形的对边相等，邻边不一定相等是解题的关键．
解答过程：菱形和矩形均为平行四边形，具有对角相等和邻角互补的性质，故排除A、D；
矩形邻边互相垂直，而菱形邻边不一定垂直，故C为矩形特有；
菱形四条边相等，而矩形仅对边相等，邻边长度不同（除非为正方形）．
因此，菱形具有而矩形不一定具有的是B．
故选：B．
5. 方程的根是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
答案：B
解析：
思路：先把方程的左边分解因式化为从而可得答案．
解答过程：解：，

或
解得：
故选B
方法提示：本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．
6. 若，化简的正确结果是（ ）
A. B. 1C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查的是二次根式的化简，绝对值的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键，先判断，，再根据 ，化简代数式并合并即可．
解答过程：解： ，
，，



故选：D．
7. 如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于( ).
A. 22.5°B. 45°C. 30°D. 135°
答案：A
解析：
思路：根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=0.5∠CAB，即可解决问题．
解答过程：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°，
故选：A．
方法提示：本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型．
8. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）
A. B. 4C. 7D. 14
答案：A
解析：
思路：利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解．
解答过程：解：∵四边形为菱形，且周长为28，
∴，
∵H为边的中点，
∴．
9. 把根号外的因式移入根号内，其结果是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题主要考查二次根式的性质．根据可得，所以移入括号内为进行计算即可．
解答过程：解：根据根式的性质可得可得，
因此
故选：B．
10. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，连接交于点M，连接，．若，，则下列结论：
①，；
②；
③四边形是菱形；
其中正确结论的个数是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
答案：B
解析：
思路：本题考查了矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是解题关键．连接，先根据矩形的性质可得点共线，，，，再根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，则垂直平分，由此即可判断①正确；假设成立，根据全等三角形的性质可得，再根据在直角三角形中，斜边大于直角边可得，由此即可判断②错误；先证出，根据全等三角形的性质可得，则可证四边形是平行四边形，再证出，根据全等三角形的性质可得，根据菱形的判定即可得③正确．
解答过程：解：如图，连接，
∵在矩形中，为对角线中点，
∴点共线，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，，则结论①正确；
假设成立，则，
在中，，与矛盾，
∴假设不成立，则结论②错误；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，则结论③正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：B．
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为_____ ．
答案：8
解析：
思路：先把化简为，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式建立方程求解即可．
解答过程：解：，
∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，
∴，
解得．
12. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为________．
答案：5
解析：
思路：根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长即可．
解答过程：解：如图，根据题意得，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
故答案为：5．
13. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______．
答案：##
解析：
思路：本题考查了解一元二次方程．由题意得方程，利用公式法解方程即可．
解答过程：解：由题意得：，
解得：或（舍）
故答案为：
14. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为，现已知的三边长分别为1，，3，则的面积为____________________ ．
答案：
解析：
思路：根据题目中的面积公式和的三边长即可解答．
解答过程：解：∵的三边长分别为1，，3，
则的面积为．
15. 如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图③中，的度数为__________．
答案：##30度
解析：
思路：由折叠的性质可知，然后可得，进而问题可求解．
解答过程：解：由折叠的性质可知：，，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
方法提示：本题主要考查折叠的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16. 如图，在矩形中，，点E，F分别在上，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为______．
答案：
解析：
思路：连接，并延长交于点P，证明得，，进而得，再求出，在中，由勾股定理得，然后证明是的中位线，再根据三角形中位线定理即可得出的长．
解答过程：解：连接，并延长交于点P，连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点G是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∵，点H是的中点，
∴是的中位线，
∴．
三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
17. 计算：．
答案：
解析：
思路：本题考查了二次根式的混合运算和乘法公式，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键．先运用完全平方公式和平方差公式进行计算，再化为最简二次根式，最后合并同类项即可．
解答过程：解：原式
．
18. 解方程：2x2﹣4x﹣3＝0．
答案：x＝
解析：
思路：用配方法解一元二次方程即可.
解答过程：解：∵2x2﹣4x﹣3=0，
∴2x2﹣4x=3，
则x2﹣2x=，
∴x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，
∴x﹣1=±，
∴x=．
方法提示：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数.
19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求此时方程的根．
答案：（1）
（2），
解析：
思路：本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键．
（1）根据判别式即可求出答案；
（2）根据m的范围可知，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．
（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
，
；
（2）为正整数，且，
，
当时，方程为，
解得：，．
20. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
答案：（1）20% （2）38元
解析：
思路：本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，根据题意得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设这种台灯售价应定为元，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
（1）解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，
根据题意，得，
解得，舍去，
答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为；
（2）设这种台灯售价应定为元，
根据题意，得，
解得，，
售价在元至元范围内，
，
答：这种台灯售价应定为元．
21. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若四边形是菱形，，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
思路：（1）根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以，于点，于点，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可；
（2）根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出即可．
本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
．
，
，
于点，于点，
，
四边形是平行四边形
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，，
，，
，，
在中，，
，
即，
．
22. 阅读理解：我们一起来探究代数式的值．
探究一：当时，代数式的值为4，当时，代数式的值为3，可见，代数式的值随x的值的变化而变化．
探究二：把代数式进行配方变形，如：
，可得：即当______时，代数式有最大值，最大值为________．
尝试探究：
（1）请补充完成探究二，直接在答题卡填空；
（2）当x取何值时，代数式有最大值，最大值为多少？
拓展应用：
（3）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园ABCD（围墙MN足够长），现在已备足可以砌40m长的墙的材料，设AB为x米，请用含x的代数式表示围成的长方形花园ABCD的面积S，并探究当x为多少米时，面积S有最大值，最大面积是多少？
答案：（1）1，4； （2）当时，代数式最大值为59； （3）当时，面积S有最面积为200平方米；
解析：
思路：本题主要考查了新定义题型，配方法等知识点，根据题目已有的模式按照此模式，得到答案，解决此题的关键是正确的配方．
（1）根据一元一次方程的解法得到x的值，在根据一个数或者式子的平方为非负数得到整个代数式的最大值即可；
（2）由题意先把代数式配成含完全平方形式的结果，得到答案即可；
（3）根据题意列出关于S的等式，再根据前面的步骤得到S的最大值即可解决问题；
解答过程：（1）当时，，
∵
∴，
故答案为：1，4；
（2）∵，
∴当时，代数式最大值为59；
故答案为：当时，代数式最大值为59；
（3）由题意得：
∴当时，面积S有最大面积为200平方米.
23. 在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张，，，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题．
根据以上各小组探究内容，求解下列问题．
（1）根据第一小组探究内容，求证：是等腰三角形．
（2）根据第二小组探究内容，当，，三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度．
答案：（1）见解析 （2）或，图见解析
解析：
思路：（1）首先根据矩形的性质得到，进而得到，然后根据折叠的性质得，即可证明出是等腰三角形；
（2）根据题意画出图形，分两种情况讨论，分别根据折叠的性质得到，然后进一步得到，利用勾股定理得到，进而求解即可．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵把沿折叠到，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图所示，当点P在线段上时，
∵把矩形沿折叠，使得与重合，
∴，
由题意可得，四边形是矩形，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，，
∴，
由（1）可得，，
∴；
如图所示，当点P在线段上时，
同理可得，，，，
∴，
由（1）可得，，
∴；
综上所述，BP的长度为或．
方法提示：本题主要考查矩形的折叠问题，折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，勾股定理．
小组
探究内容
图形
第一小组
把沿折叠，与重叠部分记为．
第二小组
步骤1：把矩形沿折叠，使得与重合，点，分别为，上的点．
步骤2：为边上动点（与点B，C不重合），沿折叠得到．

小组
探究内容
图形
第一小组
把沿折叠，与重叠部分记为．
第二小组
步骤1：把矩形沿折叠，使得与重合，点，分别为，上的点．
步骤2：为边上动点（与点B，C不重合），沿折叠得到．