山东省威海市荣成市16校联盟（五四制）2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省威海市荣成市16校联盟（五四制）2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、最高次项的次数是2，故A不符合题意；
B、第二个方程不是整式方程，故B不符合题意；
C、为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1，故C符合题意；
D、整个方程组含有3个未知数，故D不符合题意．
故选：C．
2. 已知一次函数与的交点坐标为，则方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把代入得，
可化为，可化为，
方程组的解为，
故选B．
3. 下列句子中，属于命题的是（ ）
A. 直线和垂直吗？
B. 过线段的中点作的垂线
C. 同旁内角不互补，两直线不平行
D. 已知，求的值
【答案】C
【解析】A．是问句，不是命题，故该选项不符合题意，
B．是作图，没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意，
C．对一件事情作出判断，是命题，故该选项符合题意，
D．没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意，，
故选：C．
4. 用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是( )
A. 假设三角形中至少有两个钝角B. 假设三角形中最多有两个钝角
C. 假设三角形中最少有一个钝角D. 假设三角形中没有钝角
【答案】A
【解析】用反证法证明：三角形中最多有一个钝角，第一步假设三角形中至少有两个钝角，
故选：A．
5. 如图，将一副三角板按如图方式摆放，，，．若，过点作，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，∴，
∵，，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
故选：B．
6. 某商店在节日期间开展优惠促销活动：凡购买原价超过200元的商品，超过200元的部分可以享受打折优惠若购买商品的实际付款金额y（单位：元）与商品原价x（单位：元）之间的函数关系的a图象如图所示，则图中a的值是（ ）
A. 300B. 320C. 340D. 360
【答案】C
【解析】设超过200元实际付款金额与商品原价的函数关系式为
由图像可知，一次函数经过（200,200）（500,410），将其代入解析式，
得，解得
即函数解析式，
将x=400代入解析式，可得a=340.
7. 古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”其大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x、y，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可列方程组为：，
故选：C．
8. 如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M，N，若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
，
∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
，
∴；
故选：B．
9. 定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（ ）
A. 8B. 4C. 3D. 10
【答案】D
【解析】根据题意得：，解得：，
即，
∴.
故选：D．
10. 如图，中，，，D、E为上两点，且，F为外一点，且，，则下列结论：
①；②垂直但不平分；③；
④．其中正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】∵，，∴，
∵ ，∴
∵，∴，
∴，
在和，
，
∴，
∴，故①符合题意；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
根据等腰三角形的三线合一，得垂直平分，故②不符合题意；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，故③是符合题意；
连接，如图所示：
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
在中，，
则，
故④是符合题意的．
故选：C
二、填空题
11. 若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为_________ ．
【答案】
【解析】方程组，解得：，
∵方程组的解恰为等腰三角形的两边长，
∴当腰长为2时，三边长为2，2，4，，不能构成三角形；
当腰长为4时，三边长为4，4，2，，能构成三角形，
此时等腰三角形的周长为，
故答案为：．
12. 已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中1个白球，3个红球．若在原袋子中再放入m个白球和m个红球（），搅拌均匀后，使得随机从袋子中摸出1个小球是白球的概率为，则m的值为 _______ ．
【答案】3
【解析】由题意可得，，
解得，
经检验：为原分式方程的解，
故答案为：3．
13. 在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 __________．
【答案】44
【解析】设小长方形的长、宽分别为，，
依题意得，
解之得，
小长方形的长、宽分别为，，
，
．
故答案为：44．
14. 如图，是一正方形纸片，上下对折后得到折痕再沿过点的折痕将角翻折．使得点落在上，折痕交于点，那么_________ ．
【答案】
【解析】过作交于M，则，
∵四边形为正方形，
∴，
利用折叠性质可知：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点E在直线的上方，当的度数为 _______________ 时，三角板的直角边与边平行．
【答案】或
【解析】分两种情况：当时，如图：
∵，∴，
∵，
∴；
当时，如图：
∵，
∴；
综上所述：如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为或，
故答案为：或．
16. 图1是一张足够长的纸条，其中，点A、B分别在、上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕依此类推，第次折叠后，____（用含a和n的代数式表示）

【答案】
【解析】折叠2次可得：，
折叠3次可得：，
折叠4次可得：，
…
由折叠的性质折叠次可得，
在四边形内有四边形的内角和为知：
．
故答案为：．
三、解答题
17. 解方程组：．
解：将原方程组整理得，
得：，
解得：，
将代入，得，
∴．
18. 已知实数m，n满足，且，求k的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值．
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值．
丙同学：先解方程组，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题．
（2）试说明在关于不x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变．
（1）解：甲同学方法：
，
解方程组得：，
∵，
∴，
解得；
乙同学方法；
得到，，
∵，
∴，
解得．
丙同学方法：
得到，，
将代入①得：，
将，代入得：，
解得：；
（2）解：，
①－②得，
带入①得，
，
∴不论a取什么实数，的值始终不变．
19. 小明研究一道尺规作图题：作一边上的高线．他的作法如下：如图，在中，，以为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以、为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点，则为边上的高线．
（1）你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由．
（2）若，，，求的面积．
解：（1）同意，证明如下：
连接，
由作图可知：，
∴垂直平分，
∴，即：为边上的高线．
（2）由（1）知：，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴面积．
20. 如图所示的程序是函数型的数值转换程序，其中．
（1）若输入x的值为，求输出的结果y；
（2）事件“输入任一符合条件的x，则输出的结果y不小于1”是一个必然事件吗？为什么？
（3）若所输入的值是满足条件的整数，求输出结果为1的概率．
（1）解：当时，；
（2）解：一个必然事件．
因为①当时，
②当时，，
③当时，，
所以“输入任一符合条件的x，则输出的结果y不小于1”是一个必然事件；
（3）解：因为①当时，输出结果是整数的情况有3种，
②当时，输出结果是整数的情况有2种，其中输出结果为1的有1种，
③当时，输出结果是整数的情况有2种，其中输出结果为1的有1种，
所以P（结果为1）．
21. 运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲，乙，丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如下表所示．(假设每辆车均满载)
解答下列问题：
（1）安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车___________辆可将全部物资一次运完；
（2）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车各需多少辆?
（3）若用甲、乙，丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各需多少辆?此时总运费为多少元?
解：（1），
，
，
（辆），
即安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车4辆可将全部物资－次运完，
故答案为：4；
（2）设需要甲型车辆，乙型车辆，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：需要甲型车8辆，乙型车10辆；
（3）设需要甲型车辆，乙型车辆，则需要丙型车辆，
由题意得：，
整理得：，
则，
均为正整数，
只能等于5，
，，
此时总运费（元），
答：需要甲型车2辆，乙型车5辆，丙型车7辆，此时总运费为8800元．
22. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是的中点．
（1）求直线的解析式；
（2）在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
则有：时，；时，；
A，B，
，
点C是的中点，
，
C，
设直线的解析式为：，代入A，C可得：
，解得：，
直线的解析式为：；
（2）A，C，
，，
，
设点D，则，
，
解得：或，
点D的坐标为或；
（3）假设存在，设点P的坐标为，
A，B，C，
，，，
因为确定，所以是直角三角形需分2种情况分析：
①，此时点P与原点O重合，坐标为；
②，，即，
解得：，
此时点P的坐标为，
综上所述，满足条件的P点的坐标为或．
23. 如图，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，过点A作，且．
（1）若点，求点C的坐标；
（2）点D在x轴的负半轴上且，连接交y轴的正半轴于点E，求证：．
（1）解：过点作轴，如图1；
由题可知，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）证明：过点作轴，如图2，
由（1）可得，
，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，．
24. 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．
（1）如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ．
（2）如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P．
①判断和的数量关系，并说明理由；
②若，，，则的长为 ．
解：（1）在和中，，，，
∴，∴，
∵，∴在中，，∴，
故答案为：；
（2）①．理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接．
∵E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵平分，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
由①得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
车型
甲
乙
丙
运载量(吨/辆)
5
8
10
运费(元/辆)
450
600
700