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山东省威海市荣成市16校联盟（五四制）2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题
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一、单项选择（共10题，计30分）
1. 下列方程：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥，其中是二元一次方程的是（ ）
A. ①B. ①④C. ①③D. ①②④⑥
2. 下列命题错误的是（ ）
A. 等腰三角形两腰上中线相等B. 等腰三角形的中线与高重合
C. 等腰三角形两腰上的高相等D. 等腰三角形两底角平分线相等
3. 如图，在中，，平分，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（ ）
A. 三边垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条高所在直线的交点D. 三条中线的交点
5. 如图，已知，下列条件中不能使的是（ ）
A. B. C. D.
6. 在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是180°”的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7. 小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（ ）
A. 以上，以下B. 以上，以下
C. 以上，以下D. 以上，以下
8. 现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ）
A. B.
C. D.
9. ①如图1，，则；
②如图2，，则；
③如图3，，则；
④如图4，直线，点O在直线上，则．
以上结论正确的是（ ）
A. ①②③④B. ③④C. ①②④D. ①②
10. 我们知道等边三角形的每个内角都是．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，若，．则的度数为（ ）
A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
二．填空题（共6题，计18分）
11. 如图，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处，若，则__．
12. 如图，设是已知线段，经过点B作，使，连接，在上截取；在上截取．已知线段的长为2，则线段的长为 _________________．
13. 如图，一次函数的图像经过点与，则关于的不等式的解集是______．
14. 在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为__________．
15. 已知关于的不等式组的整数解有3个，则的取值范围是______．
16. 在等腰三角形中，，的垂直平分线交直线于点E，连接，如果，那么的度数为___．
三．解答题（共8题，计72分）
17. 解下列的二元一次方程组、不等式组
（1）；
（2）；
（3）；
（4），并写出的所有整数解．
18. （1）我们规定．关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组．根据上述规定，回答下列问题，
①判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）；
②若关于的二元一次方程是“幸福”方程，求的值；
③若是关于的“幸福”方程组的解，求的值．
（2）对于实数我们定义一种新运算（其中均为非零常数）．等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对．
①若，则 ， ；
②已知，若正格线性数求满足不等式组的所有的值．
19. 如图，在中，D是的垂直平分线上一点，过点D作，垂足为点E，F，．求证：点D在的平分线上．
20. 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直半分线交于点E，与相交于点O，连接，若的周长为，的周长为．
（1）求线段的长；
（2）连接，求线段的长；
（3）若，求度数．
21. 某住宅小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共株已知甲种树苗每株元，乙种树苗每株元．
（1）若购买树苗共用元，问甲、乙两种树苗应各买多少株？
（2）据统计，甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为和，若要保证该小区的空气净化指数之和不低于，则甲树苗最多可以买多少株？
22. 某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图1所示，发射杆始终平分同一平面内两条固定轴所成的，且，，发射中心D能沿着发射杆滑动，、为橡皮筋．
（1）证明：；
（2）当由图2中等边变成直角的过程中，发射中心D向下滑动的距离是多少?
23. 如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．
（1）求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解；
（2）求的面积；
（3）若垂直于x轴直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值．
24. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
一、单项选择（共10题，计30分）
1. 下列方程：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥，其中是二元一次方程的是（ ）
A. ①B. ①④C. ①③D. ①②④⑥
2. 下列命题错误的是（ ）
A. 等腰三角形两腰上中线相等B. 等腰三角形的中线与高重合
C. 等腰三角形两腰上的高相等D. 等腰三角形两底角平分线相等
3. 如图，在中，，平分，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（ ）
A. 三边垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条高所在直线的交点D. 三条中线的交点
5. 如图，已知，下列条件中不能使的是（ ）
A. B. C. D.
6. 在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是180°”的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7. 小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（ ）
A. 以上，以下B. 以上，以下
C. 以上，以下D. 以上，以下
8. 现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ）
A. B.
C. D.
9. ①如图1，，则；
②如图2，，则；
③如图3，，则；
④如图4，直线，点O在直线上，则．
以上结论正确的是（ ）
A. ①②③④B. ③④C. ①②④D. ①②
10. 我们知道等边三角形的每个内角都是．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，若，．则的度数为（ ）
A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
二．填空题（共6题，计18分）
11. 如图，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处，若，则__．
12. 如图，设是已知线段，经过点B作，使，连接，在上截取；在上截取．已知线段的长为2，则线段的长为 _________________．
13. 如图，一次函数的图像经过点与，则关于的不等式的解集是______．
14. 在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为__________．
15. 已知关于的不等式组的整数解有3个，则的取值范围是______．
16. 在等腰三角形中，，的垂直平分线交直线于点E，连接，如果，那么的度数为___．
三．解答题（共8题，计72分）
17. 解下列的二元一次方程组、不等式组
（1）；
（2）；
（3）；
（4），并写出的所有整数解．
18. （1）我们规定．关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组．根据上述规定，回答下列问题，
①判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）；
②若关于的二元一次方程是“幸福”方程，求的值；
③若是关于的“幸福”方程组的解，求的值．
（2）对于实数我们定义一种新运算（其中均为非零常数）．等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对．
①若，则 ， ；
②已知，若正格线性数求满足不等式组的所有的值．
19. 如图，在中，D是的垂直平分线上一点，过点D作，垂足为点E，F，．求证：点D在的平分线上．
20. 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直半分线交于点E，与相交于点O，连接，若的周长为，的周长为．
（1）求线段的长；
（2）连接，求线段的长；
（3）若，求度数．
21. 某住宅小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共株已知甲种树苗每株元，乙种树苗每株元．
（1）若购买树苗共用元，问甲、乙两种树苗应各买多少株？
（2）据统计，甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为和，若要保证该小区的空气净化指数之和不低于，则甲树苗最多可以买多少株？
22. 某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图1所示，发射杆始终平分同一平面内两条固定轴所成的，且，，发射中心D能沿着发射杆滑动，、为橡皮筋．
（1）证明：；
（2）当由图2中等边变成直角的过程中，发射中心D向下滑动的距离是多少?
23. 如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．
（1）求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解；
（2）求的面积；
（3）若垂直于x轴直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值．
24. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
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