甘肃省平凉市庄浪县乡村20校2025-2026学年八年级下学期期中监测卷 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省平凉市庄浪县乡村20校2025-2026学年八年级下学期期中监测卷 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 计算-的结果是（ ）
A. -3B. 3C. -9D. 9
2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 7，8，10B. 8，24，25C. 5，12，13D. 5，10，13
3. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. D. 4
6. 农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，，若，则等于（ ）
A. 32B. 16C. 20D. 25
8. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直D. 对角线平分对角
9. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若，则正方形的面积为（ ）
A. 2B. 1C. 8D. 12
10. 如图，在中，对角线与相交于点O，的平分线交于点E，F为的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 如果在实数范围内有意义，则的取值范围___________．
12. 如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可）
13. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点到点的距离为_____．
14. 如果最简二次根式与二次根式是同类二次根式，那么x的值为___________．
15. 如图，Rt中，，以、、三边为边长的三个正方形面积分别为．若，则的值等于________．
16. 如图，正方形的边长为5，E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形，连接、，当的值最小时________．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 如图，在中，，求的长．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如图，矩形的对角线相交于点．
（1）尺规作图：请在右侧作出点，连接，使四边形是菱形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，当时，求菱形的周长．
21. 如图，、、分别是三边的中点．连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求证：四边形为菱形．
22. 古代护城河上有座吊桥，如图是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，在点正上方固定一个定滑轮（大小忽略不计），绳子通过定滑轮与杆的另一端相连，且．某人站在点处，拉绳子的手的位置与地面的距离为．已知点在上，点在上，图中所有点均在同一平面内，，，，，，求从到定滑轮，再到点的绳子总长度（即）．（结果保留根号）
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接，求证：．
24. 如图，在四边形中，连接，，，，，且，求的度数．
25. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，且，连接、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长度．
26. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形．
（1）求长方形木板的面积；
（2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．
27. 问题提出
（）如图，在正方形中，分别为边上的点，，连接，求证：．
小明是这样思考的：延长至点G，使，连接，如图，通过求证，此时即是，再证明即可证得结论．请你帮小明写出证明过程．
问题探究
（）如图，在直角梯形中，，，，是边上的一点，连结．若，，求的长．
问题解决
（）年月日，国家卫生健康委员会相关负责人在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某小区为积极响应国家号召，拟规划一所健身中心，如图4所示，健身中心由和正方形组成．根据设计要求，，现要在健身中心里修建一条笔直的训练长廊，为了满足健身需求，长廊要尽可能的长，请问长廊的长是否存在最大值？若存在，求出长廊的最大值；若不存在，请说明理由．
数学
满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 计算-的结果是（ ）
A. -3B. 3C. -9D. 9
答案：A
解析：
思路：根据二次根式的性质即可求出答案．
解答过程：解：原式=-3，
故选：A．
方法提示：本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 7，8，10B. 8，24，25C. 5，12，13D. 5，10，13
答案：C
解析：
思路：根据勾股数的定义，勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，利用勾股定理的逆定理逐一判断即可得到答案．
解答过程：解：选项A中， ， ，，故A不符合题意．
选项B中， ，，，故B不符合题意．
选项C中，，，即，且三个数均为正整数，故C符合题意．
选项D中， ，，，故D不符合题意．
3. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据平行四边形的性质得到，即可求出答案．
解答过程：解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵
∴，
故选：B．
方法提示：此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查了二次根式的加法，减法，以及乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
根据二次根式的加法，减法，以及乘除法运算计算即可．
解答过程：解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B选项，属于同类二次根式相减，即，故错误；
C选项，根据二次根式的除法运算法则，，故错误；
D选项，根据二次根式的乘法运算法则，，故正确．
故选：D ．
5. 如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. D. 4
答案：D
解析：
思路：本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据矩形的对角线相等，得到即可．
解答过程：解：∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选D．
6. 农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题主要考查了二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
根据题意可得，蓄水池的占地面积为蓄水池的长乘以蓄水池的宽，即，然后利用二次根式的性质化简即可．
解答过程：解：根据题意可得：
蓄水池的占地面积为：
，
故选：．
7. 在中，，若，则等于（ ）
A. 32B. 16C. 20D. 25
答案：A
解析：
思路：根据勾股定理得到两条直角边的平方和等于斜边的平方，整体代入所求式子计算即可．
解答过程：解：∵在中，，且为斜边，
∴，
∴．
8. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直D. 对角线平分对角
答案：B
解析：
思路：此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．
因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．
解答过程：解：矩形、菱形、正方形的对角线相互平分，
故选：B．
9. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若，则正方形的面积为（ ）
A. 2B. 1C. 8D. 12
答案：B
解析：
思路：利用勾股定理求解，再进一步求解即可.
解答过程：解：∵正方形，，
∴，
，
小正方形的面积是．
10. 如图，在中，对角线与相交于点O，的平分线交于点E，F为的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5
答案：C
解析：
思路：取的中点G，连接，在中，根据，是的平分线，可得，即得，根据三角形中位线的性质可得，，根据即可求出答案．
解答过程：解：取的中点G，连接，
在中，，
，
又是的平分线，
，
，
，
O是的中点，F为的中点，
，，
G是的中点，F为的中点，
，，
，
O，F，G在同一条直线上，
，
故选：C．
方法提示：本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 如果在实数范围内有意义，则的取值范围___________．
答案：
解析：
思路：本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
根据二次根式在实数范围内有意义的条件，被开方数必须大于或等于零求解即可．
解答过程：解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
12. 如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可）
答案：（答案不唯一）
解析：
思路：根据矩形和平行四边形的关系即可解答．
解答过程：解：对角线相等的平行四边形是矩形，即；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，即，……．
13. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点到点的距离为_____．
答案：
解析：
思路：由点A和点P的坐标可知点A在y轴上，点P在x轴上，可得为直角三角形，利用勾股定理即可求出点A到点P的距离．
解答过程：解：∵点的坐标为，点的坐标为
∴点在轴上，点在轴上，， ，，
在中，由勾股定理得．
14. 如果最简二次根式与二次根式是同类二次根式，那么x的值为___________．
答案：5
解析：
思路：先化简成最简二次根式，比较被开方数，相同即可．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．
解答过程：解：由，且最简二次根式与二次根式是同类二次根式，
∴，
解得，
故答案为：5．
15. 如图，Rt中，，以、、三边为边长的三个正方形面积分别为．若，则的值等于________．
答案：20
解析：
思路：本题考查勾股定理与三角形、正方形的面积，根据勾股定理求出即可．
解答过程：解：∵
∴，
∵
∴
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：20．
16. 如图，正方形的边长为5，E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形，连接、，当的值最小时________．
答案：
解析：
思路：连接，证明，可得，从而可得，即当A，E，F，C四点共线时，的值最小，即可得到结论．
解答过程：解：如图，连接，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当A，E，F，C四点共线时，的值最小，最小值为的值，
如图，
此时，
故答案为：．
方法提示：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及最值问题，作出辅助线是解题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
答案：
解析：
思路：本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
利用完全平方公式以及二次根式的性质化简即可．
解答过程：解：原式
．
18. 如图，在中，，求的长．
答案：
解析：
思路：本题主要考查了勾股定理，在直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边的平方，据此列式求解即可．
解答过程：解；∵在中，，
∴．
19. 先化简，再求值：，其中．
答案：，
解析：
思路：本题考查的是乘法公式的应用，二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算乘法运算，再合并，最后把代入计算即可．
解答过程：解：
，
当时，
原式；
20. 如图，矩形的对角线相交于点．
（1）尺规作图：请在右侧作出点，连接，使四边形是菱形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，当时，求菱形的周长．
答案：（1）见解析 （2）40
解析：
思路：（1）分别以点C、D为圆心为半径画弧，两弧相交于E，连接，即可；
（2）根据矩形的性质及勾股定理确定，，再求菱形的周长即可．
（1）解：如图，四边形即为所求作的菱形．
（2）解：∵矩形的对角线相交于点．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵菱形，
∴菱形的周长为：．
21. 如图，、、分别是三边的中点．连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求证：四边形为菱形．
答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
解析：
思路：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，三角形中位线定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据三角形中位线定理可得，即可得出结论；
（2）根据三角形中位线定理可得，，根据等边对等角可得，即可得出结论．
（1）证明：∵、、分别是三边的中点，
∴，是的中位线，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）知，、是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形EDFA是菱形．
22. 古代护城河上有座吊桥，如图是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，在点正上方固定一个定滑轮（大小忽略不计），绳子通过定滑轮与杆的另一端相连，且．某人站在点处，拉绳子的手的位置与地面的距离为．已知点在上，点在上，图中所有点均在同一平面内，，，，，，求从到定滑轮，再到点的绳子总长度（即）．（结果保留根号）
答案：绳子总长度为m
解析：
思路：易知为等腰直角三角形，用勾股定理可求出的长，再利用勾股定理可求出的长．
解答过程：解：在直角中，
（m），
（m），
（m），
在直角中，
（m），
（m），
答：绳子总长度为m．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接，求证：．
答案：见解析
解析：
思路：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
解答过程：证明：如图，连接、，
，是的中点，
，
点是的中点，
．
24. 如图，在四边形中，连接，，，，，且，求的度数．
答案：
解析：
思路：本题考查勾股定理及其逆定理，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，进而得到的度数．
解答过程：解：∵，，，
∴，
∵，，
∴
∴是直角三角形，
∴．
25. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，且，连接、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长度．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
思路：本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定及性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形为矩形是解题的关键．
（1）先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
（2）根据题意可证得，都是等边三角形，进而可求出，，由勾股定理即可得出答案．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，都是等边三角形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：．
26. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形．
（1）求长方形木板的面积；
（2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．
答案：（1）
（2）木工乙的想法可行，理由见解析
解析：
思路：（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可；
（2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可．
（1）解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形．
∴正方形的边长为，
∴，，
∴长方形木板的面积为；
（2）解：木工乙的想法可行，理由如下：
∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，
∴裁出的长方形的长为，
由（1）得长方形的长为，宽为，
，， ，
∴，，
∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行．
27. 问题提出
（）如图，在正方形中，分别为边上的点，，连接，求证：．
小明是这样思考的：延长至点G，使，连接，如图，通过求证，此时即是，再证明即可证得结论．请你帮小明写出证明过程．
问题探究
（）如图，在直角梯形中，，，，是边上的一点，连结．若，，求的长．
问题解决
（）年月日，国家卫生健康委员会相关负责人在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某小区为积极响应国家号召，拟规划一所健身中心，如图4所示，健身中心由和正方形组成．根据设计要求，，现要在健身中心里修建一条笔直的训练长廊，为了满足健身需求，长廊要尽可能的长，请问长廊的长是否存在最大值？若存在，求出长廊的最大值；若不存在，请说明理由．
答案：（）见解析；（）；（）存在，的最大值为
解析：
思路：本题主要考查正方形、直角梯形及组合图形的几何性质展开，核心考查全等三角形的判定与性质，同时结合图形的旋转变换思想、勾股定理、三角形三边关系以及一元二次方程的解法，利用“截长补短”或旋转构造全等的几何转化能力，将线段和差、最值问题转化为全等三角形的对应边相等问题来求解．
（）利用旋转全等思想，将绕点顺时针旋转得到，通过证，得到；结合，推导出，再用证明，得出；利用线段和的关系，完成证明；
（）先由已知条件推得四边形为正方形，得等关键线段长度；再结合()中的结论，设未知数表示相关线段；最后在中，利用勾股定理列方程，求解未知线段长度；
（）先作辅助线构造等腰直角三角形，通过证明，将转化为等长的；再依据“三角形两边之和大于第三边”，当三点共线时取最大值，进而得到的最大值．
解答过程：（1）证明：四边形为正方形，
，，
，
又，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：过点作交的延长线于点，则，
，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
根据（1）中的结论，可知，
设，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
故．
（3）解：过点作，取，连结，，
四边形为正方形，
，，
，
又，
，
，
线段有最大值时，只需最大即可，
由题可得，
当、、三点共线时，取最大值，此时，
，
，
最大值为：，
的最大值为．