人教版七年级数学下册期末复习专项训练 专题12 期末易错题(22大题型60题)

这是一份人教版七年级数学下册期末复习专项训练 专题12 期末易错题(22大题型60题)，共10页。试卷主要包含了16的算术平方根是，观察下列各式，对于实数a，我们规定等内容，欢迎下载使用。
【答案】25．
【解答】解：∵一个数的平方根是2x+1和x﹣7．
∴2x+1+x﹣7＝0．
∴x＝2．
∴2x+1＝5，x﹣7＝﹣5．
这个正数是：（±5）2＝25．
故答案为：25．
二．算术平方根（共4小题）
2．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A．2B．3C．2D．3
【答案】A
【解答】解：由所给的程序可知，当输入64时，64=8，
∵8是有理数，
∴取其立方根可得到，38=2，
∵2是有理数，
∴取其算术平方根可得到2，
∵2是无理数，
∴y=2．
故选：A．
3．16的算术平方根是（ ）
A．2B．4C．±2D．±4
【答案】A
【解答】解：16=4，4的算术平方根是2，
故选：A．
4．观察下列各式：1+13=213，2+14=314，3+15=415，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来 n+1n+2=(n+1)1n+2 ．
【答案】n+1n+2=(n+1)1n+2
【解答】解：1+13=（1+1）11+2=213，
2+14=（2+1）12+2=314，
3+15=（3+1）13+2=415，
…
n+1n+2=(n+1)1n+2，
故答案为：n+1n+2=(n+1)1n+2．
5．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
（1）求这个正数是多少？
（2）m+5的平方根又是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：（m+3）+（2m﹣15）＝0
解得m＝4．
则这个正数是（m+3）2＝49．
（2）m+5=3，则它的平方根是±3．
三．立方根（共1小题）
6．已知a+1的算术平方根是1，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a+b+c的平方根和立方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a+1的算术平方根是1，
∴a+1＝1，
解得a＝0；
∵﹣27的立方根是b﹣12，
∴b﹣12＝﹣3，
∴b＝9；
∵c﹣3的平方根是±2，
∴c﹣3＝4，
∴c＝7．
（2）由（1）知，a＝0，b＝9，c＝7，
∴a+b+c＝0+9+7＝16，
∴a+b+c的平方根是±4；
∴a+b+c的立方根是316．
四．实数与数轴（共1小题）
7．如图，周长为14的长方形ABCD，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为﹣1，CD＝6，若将长方形ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2023次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 7083 ．
【答案】7083
【解答】解：长方形的周长是14，长为6，则宽为1，点A对应﹣1，点B 对应5．
翻滚1次到达数轴上的点对应6，翻滚2次到达数轴上的点对应12；
翻滚3次到达数轴上的点对应13，翻滚4次到达数轴上的点对应19；
翻滚5次到达数轴上的点对应20，翻滚6次到达数轴上的点对应26；
…
翻滚2021次到达数轴上的点对应7076，翻滚1次到达数轴上的点对应7082；
翻滚2023次到达数轴上的点对应7083，故点P对应的数是7083．
故答案为：7083．
五．估算无理数的大小（共2小题）
8．对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数，称[a]为a的根整数，例如：[9]=3，[10]=3．
（1）仿照以上方法计算：[4]= 2 ；[26]= 5 ．
（2）若[x]=1，写出满足题意的x的整数值 1，2，3 ．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次[10]=3→[3]=1，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 3 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 255 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，
∴5＜26＜6，
∴[4]=[2]＝2，[26]＝5，
故答案为：2，5；
（2）∵12＝1，22＝4，且[x]=1，
∴x＝1，2，3，
故答案为：1，2，3；
（3）第一次：[100]＝10，
第二次：[10]＝3，
第三次：[3]＝1，
故答案为：3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵[225]＝15，[15]＝3，[3]＝1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[256]＝16，[16]＝4，[4]＝2，[2]＝1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255；
故答案为：255．
9．根据下表回答问题：
（1）272.25的平方根是 ±16.5 ；4251.528的立方根是 16.2 ；
（2）27889= 167 ；2.6244= 1.62 ；34741632= 168 ；
（3）设270的整数部分为a，求﹣4a的立方根．
【答案】（1）±16.5，16.2；
（2）167，1.62，168；
（3）﹣4．
【解答】解：（1）272.25的平方根是：±16.5；4251.528的立方根是：16.2；
故答案为：±16.5，16.2；
（2）∵278.89=16.7，
∴27889=167，
∵262.44=16.2，
∴2.6244=1.62，
∵34741.632=16.8，
∴34741632=168，
故答案为：167，1.62，168；
（3）∵256＜270＜289，
∴16＜270＜17，
∴a＝16，﹣4a＝﹣64，
∴﹣4a的立方根为﹣4．
六．实数的运算（共1小题）
10．已知实数a，b，定义运算：a※b=ab(a＞b，且a≠0)ba(a≤b，且a≠0)，若a※（a﹣3）＝1，则a＝ 3或±1 ．
【答案】3或±1
【解答】解：∵a＞a﹣3，
a※（a﹣3）＝1，
根据题中的新定义得：aa﹣3＝1，
∴a﹣3＝0或a＝1或a＝﹣1，
∴a＝3或±1．
故答案为：3或±1．
七．二元一次方程的解（共2小题）
11．若x=ay=b是方程3x+y＝1的一个解，则9a+3b+4＝ 7 ．
【答案】7
【解答】解：把x=ay=b代入方程3x+y＝1，得
3a+b＝1，
所以9a+3b+4＝3（3a+b）+4＝3×1+4＝7，
即9a+3b+4的值为7．
12．关于x、y的方程2x+ay＝7仅有一组正整数解，则满足条件的正整数a的值为 5或3 ．
【答案】5或3
【解答】解：2x+ay＝7，
ay＝7﹣2x，
①当x＝1时，7﹣2x＝5，
∴ay＝5，
∴a＝1，y＝5（舍）或a＝5，y＝1，
②当x＝2时，7﹣2x＝3，
∴ay＝3，
∴a＝1，y＝3（舍）或a＝3，y＝1，
③当x＝3时，7﹣2x＝1，
∴ay＝1，
∴a＝1，y＝1（舍），
综上，满足条件的正整数a的值为5或3，
故答案为：5或3．
八．二元一次方程组的解（共3小题）
13．若关于x，y的二元一次方程组4x+2y=5k−42x+4y=5的解满足x+y＝1，则k的值为（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
【答案】B
【解答】解：4x+2y=5k−4①2x+4y=5②，
方法一：①+②得，6x+6y＝5k+1，
∴x+y=5k+16=1，
解得k＝1；
方法二：①×2﹣②，得6x＝10k﹣13，
解得x=10k−136③，
将③代入②，得10k−133+4y＝5，
解得y=14−5k6，
∴原二元一次方程组是解为x=10k−136y=14−5k6，
∵x+y＝1，
∴10k−136+14−5k6=1，
∴k＝1．
故选：B．
14．已知关于x，y的方程组mx+ny=2tx−7y=8小华正确地解得x=3y=−2小玲看错了t得到的解为x=−1y=2，则m+t−12n的值为 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：将x=3y=−2和x=−1y=2分别代入方程mx+ny＝2，
得到关于m和n的二元一次方程组3m−2n=2−m+2n=2，
解得m=2n=2；
将x=3y=−2代入tx﹣7y＝8，
得到关于t的一元一次方程3t+14＝8，
解得t＝﹣2，
∴m+t−12n＝2﹣2−12×2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组3x−2y=−13x+2y=7，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 x=1y=2 ；
（2）如何解方程组3(m+5)−2(n+3)=−13(m+5)+2(n+3)=7呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 m=−4n=−1 ；
由此请你解决下列问题：
若关于m，n的方程组am+bn=72m−bn=−2的值与3m+n=5am−bn=−1有相同的解，求a、b的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）方程组的解为：x=1y=2；故应填：x=1y=2；
（2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为组3x−2y=−13x+2y=7，由（1）可得：x=1y=2，所以可解得m=−4n=−1，故应填：m=−4n=−1；
由方程组am+bn=72m−bn=−2的值与3m+n=5am−bn=−1有相同的解可得方程组am+bn=7am−bn=−1，解得am=3bn=4，
把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，解得m＝1，
再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，解得n＝2，
把m＝1代入am＝3得：a＝3，
把n＝2代入bn＝4得：b＝2，
所以a＝3，b＝2．
九．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
16．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（ ）
A．x+y=1902×8x=22yB．x+y=1902×22y=8x
C．2y+x=1908x=22yD．2y+x=1902×8x=22y
【答案】A
【解答】解：根据共有190张铁皮，得方程x+y＝190；
根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×8x＝22y．
列方程组为x+y=1902×8x=22y．
故选：A．
十．二元一次方程组的应用（共1小题）
17．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为8，宽为7的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分周长和是 28 ．
【答案】28
【解答】解：设小长方形卡片的长为m，宽为n，
则右上小长方形周长为2×（8﹣m+7﹣m）＝30﹣4m，
左下小长方形周长为2×（m+7﹣2n），
∴两块阴影部分周长和＝44﹣2（m+2n）
∵8＝m+2n，
∴两块阴影部分周长和＝44﹣16＝28
故答案为：28．
十一．三元一次方程组的应用（共1小题）
18．问题提出
已知实数x，y满足3x−y=5①2x+3y=7②，求7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
利用上面的知识解答下面问题：
（1）已知方程组3x+2y=5x+y=3，则2x+y的值为 2 ．
问题探究
（2）请说明在关于x，y的方程组2x−2y=4a−1x+2y=2−a中，无论a取何值，x+y的值始终不变．
问题解决
（3）甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？
【答案】（1）2；（2）答案见解析；（3）购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元．
【解答】解：（1）3x+2y=5①x+y=3②，
∴①﹣②得，2x+y＝2．
故答案为：2．
（2）2x−2y=4a−1①x+2y=2−a②，
∴①+②得，3x＝3a+1，
∴x=3a+13．
把x=3a+13代入②得，
3a+13+2y＝2﹣a，
∴y=5−6a6．
∴x+y=3a+13+5−6a6=6a+26+5−6a6=76．
∴无论a取何值，x+y的值始终不变．
（3）由题意，设购买甲1件x元，乙1件y元，丙1件z元，
则x+2y+2z=135①3x+y+z=105②，
∴①×8+②×4得，20x+20y+20z＝1080+420，
∴2x+2y+2z＝150．
答：购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元．
十二．不等式的性质（共2小题）
19．已知a＜b，下列不等式成立的是（ ）
A．a+2＜b+1B．﹣3a＞﹣2bC．m﹣a＞m﹣bD．am2＜bm2
【答案】C
【解答】解：A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，B选项没有乘以同一个负数，故B错误；
C、∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b
∴m﹣a＞m﹣b，故C正确；
D、∵m2≥0，a＜b
∴am2≤bm2，故D错误；
故选：C．
20．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1B．x+1＞y+1C．﹣2x＜﹣2yD．2x＜2y
【答案】D
【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x﹣1＜y﹣1，不符合题意；
B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意；
C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意；
D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意．
故选：D．
十三．解一元一次不等式（共3小题）
21．若关于x的方程x−23=m+12的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0B．m＜−73C．m＞−73D．m＞0
【答案】B
【解答】解：x−23=m+12，
2（x﹣2）＝3（m+1），
2x﹣4＝3m+3，
2x＝3m+3+4，
2x＝3m+7，
x=3m+72，
由题意得：3m+72＜0，
3m+7＜0，
3m＜﹣7，
m＜−73，
故选：B．
22．若关于x，y的方程组3x+2y=k−12x−3y=2的解使4x+7y＞2，则k的取值范围是k＞3 ．
【答案】k＞3
【解答】解：3x+2y=k−1①2x−3y=2②
由①×2﹣②×3，并解得
y=2k−813；③
由①×3+②×2，得
13x＝3k+1，解得
x=3k+113；④
把③④代入4x+7y＞2，得
4×3k+113+7×2k−813＞2，
不等式的两边同时除以2，得
2×3k+113+7×k−413＞1，
不等式是两边同时乘以13，得
2×（3k+1）+7×（k﹣4）＞13，
去括号，得
13k﹣26＞13，
移项，得
13k＞39，
不等式的两边同时除以13，得
k＞3；
故答案为：k＞3．
或①×2﹣②得到：4x+7y＝2k﹣4，
由题意2k﹣4＞2，
∴k＞3．
23．定义一种运算：a☆b=a(a≥b)b(a＜b)，那么不等式2x☆（x+3）＞1的解集是 x＞﹣2 ．
【答案】x＞﹣2．
【解答】解：分两种情况：
当2x≥x+3时，即x≥3时，
∵2x☆（x+3）＞1，
∴2x＞1，
∴x＞12，
综上所述：x≥3；
当2x＜x+3时，即x＜3时，
∵2x☆（x+3）＞1，
∴x+3＞1，
∴x＞1﹣3，
∴x＞﹣2，
综上所述：﹣2＜x＜3，
∴不等式2x☆（x+3）＞1的解集是x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．
十四．一元一次不等式的应用（共3小题）
24．某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，已知住宿生少于55人，求住宿生人数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设有宿舍x间．住宿生人数 4x+21人．
由题意得 4x+21＜55，
∴x＜8.5
1≤4x+21﹣7（x﹣1）＜7
解得 7＜x≤9．
∴7＜x＜8.5．
因为宿舍间数只能是整数，所以宿舍是8间．
当宿舍8间时，住宿生53人，
答：住宿生53人．
25．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台．
（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？
（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器（50﹣x）台，由题意，得
1000x+2000（50﹣x）≤77000
解得：x≥23．
∴该公司至少购进甲型显示器23台．
（2）依题意可列不等式：
x≤50﹣x，
解得：x≤25．
∴23≤x≤25．
∵x为整数，
∴x＝23，24，25．
∴购买方案有：
①甲型显示器23台，乙型显示器27台；
②甲型显示器24台，乙型显示器26台；
③甲型显示器25台，乙型显示器25台．
26．为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．
（1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设原计划篮球买x个，足球买y个，
根据题意得：x+y=60100x+80y=5600，
解得：x=40y=20．
答：原计划篮球买40个，足球买20个．
（2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，
根据题意得：100a+80（80﹣a）≤6890，
解得：a≤24.5，
答：篮球最多能买24个．
十五．解一元一次不等式组（共3小题）
27．若不等式组1＜x≤2x＞k有解，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2B．k≥2C．k＜1D．1≤k＜2
【答案】A
【解答】解：因为不等式组1＜x≤2x＞k有解，
由同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，如图
当k≥2时，无解，
当1＜k＜2时，有解，
当k≤1时，有解，
∴若不等式组有解，则k＜2．
故选：A．
28．规定[x]为不小于x的最小整数，例如[3.8]＝4，[﹣3.5]＝﹣3，若[2x+1]＝5，[2﹣3x]＝﹣3，则x的取值范围为（ ）
A．32≤x＜2B．32≤x≤53C．32≤x＜53D．53≤x＜2
【答案】D
【解答】解：∵[2x+1]＝5，[2﹣3x]＝﹣3，
∴4＜2x+1≤5−4＜2−3x≤−3，
解得：53≤x＜2，
故选：D．
29．若关于x的不等式组x+5≤2x＜a的解集为x≤﹣3，则a的取值范围为a＞﹣3 ．
【答案】a＞﹣3．
【解答】解：由题意，解不等式x+5≤2得，x≤﹣3，
又∵x＜a，且原不等式组的解集为x≤﹣3，
∴a＞﹣3．
故答案为：a＞﹣3．
十六．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
30．已知关于x的不等式组2a+3x＞03a−2x≥0恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．23≤a≤32B．43≤a≤32C．43＜a≤32D．43≤a＜32
【答案】B
【解答】解：由于不等式组有解，则−2a3＜x≤3a2，必定有整数解0，
∵|3a2|＞|−2a3|，
∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．
若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组−2≤−2a3＜−11≤3a2＜2无解；
若三个整数解为0，1，2，则2≤32a＜3−1≤−23a＜0；
解得43≤a≤32．
故选：B．
十七．一元一次不等式组的应用（共3小题）
31．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＞5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x≤3B．2＜x≤3C．3≤x＜5D．2≤x＜5
【答案】B
【解答】解：由题意得，2x−1≤5①2(2x−1)−1＞5②，
解不等式①得x≤3，
解不等式②得，x＞2，
∴x的取值范围是2＜x≤3．
故选：B．
32．好街坊橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5520元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？
（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过8850元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的利润不少于电压锅的利润的34，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，
根据题意得：x+y=30200x+160y=5520，
解得：x=18y=12，
∴18×（250﹣200）+12×（200﹣160）＝1380（元）．
答：橱具店在该买卖中赚了1380元．
（2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50﹣a）台，
根据题意得：200a+160(50−a)≤8850(250−200)a≥(200−160)(50−a)×34，
解得：1834≤a≤2114．
又∵a为正整数，
∴a可取19，20，21．
故有三种方案：①购买电饭煲19台，购买电压锅31台；②购买电饭煲20台，购买电压锅30台；③购买电饭煲21台，购买电压锅29台．
（3）设橱具店赚钱数额为w元，
w＝（250﹣200）a+（50﹣a）（200﹣160）＝10a+2000，
∵10＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝21时，w有最大值，
即购进电饭煲21台、电压锅29台时，橱具店赚钱最多．
33．根据以下信息，按要求完成下列任务．
【答案】（1）购买1本甲图书60元，购买1本乙图书40元；
（2）当购买甲图书27本、乙图书13本时，购买的总费用W最节省．
【解答】解：（1）由题意，设购买1本甲图书和1本乙图书分别需要x，y元，
∴2x=3yx+y=100，
∴x＝60，y＝40．
答：购买1本甲图书60元，购买1本乙图书40元；
（2）设购买甲图书的数量为n本，则购买乙图书的数量为（40﹣n） 本，
∴购买的总费用W＝60n+40（40﹣n）＝20n+1600．
又由题意得：n≥2(40−n)，20n+1600≤2200，
∴2623≤n≤30．
∵W＝20n+1600，且20＞0，
∴W随n的增大而增大，
又∵n是整数，
∴当n＝27，即40﹣n＝13时，购买的总费用W最节省．
答：当购买甲图书27本、乙图书13本时，购买的总费用W最节省．
十八．点的坐标（共7小题）
34．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（ ）
A．（4，﹣6）B．（﹣4，6）C．（﹣6，4）D．（﹣6，﹣4）
【答案】A
【解答】解：因为点M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，
又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4，
所以点M的坐标为（4，﹣6）．
故选：A．
35．已知点Q的坐标为（﹣2+a，2a﹣7），且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是（ ）
A．（3，3）B．（3，﹣3）
C．（1，﹣1）D．（3，3）或（1，﹣1）
【答案】D
【解答】解：∵点Q（﹣2+a，2a﹣7）到两坐标轴的距离相等，
∴|﹣2+a|＝|2a﹣7|，
∴﹣2+a＝2a﹣7或﹣2+a＝﹣（2a﹣7），
解得a＝5或a＝3，
所以，点Q的坐标为（3，3）或（1，﹣1）．
故选：D．
36．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2022秒瓢虫在（ ）处．
A．（3，﹣2）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣2）D．（1，1）
【答案】D
【解答】解：∵A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴C矩形ABCD＝2（AB+AD）＝14，
∵14÷2＝7（秒），
∴瓢虫爬行一周需要7秒，
∴2022÷7＝288……6，
∴6×2＝12，
∴12﹣3﹣4﹣3＝2，
∴第2022秒瓢虫在（1，1）处．
故选：D．
37．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m，到达A1点，再向正北走6m到达A2点，再向正西走9m到达A3点，再向正南走12m，到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是 （9，12） ．
【答案】（9，12）
【解答】解：依题意得A1点坐标为（3，0），
A2点坐标为（3，0+6）即（3，6），
A3点坐标为（3﹣9，6）即（﹣6，6），
A4点坐标为（﹣6，6﹣12）即（﹣6，﹣6），
A5点坐标为（﹣6+15，﹣6）即（9，﹣6），
∴A6点坐标为（9，12）．
38．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是 （5，0） ．
【答案】（5，0）
【解答】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．
故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）．
39．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．
（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为 （﹣5，﹣7） ．
（2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解．
（3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．
【答案】（1）（﹣5，﹣7）．
（2）1．
（3）14或18．
【解答】解：（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为（﹣3﹣2，﹣1﹣6），即坐标为（﹣5，﹣7）．
故答案为：（﹣5，﹣7）．
（2）∵点B（2，﹣3），
∴点B的“a阶智慧点”为（2a﹣3，2﹣3a）．
又∵（2a﹣3，2﹣3a）在第三象限，
∴2a−3＜02−3a＜0，
解得 23＜a＜32，
∵a取整数，
∴a＝1；
（3）∵点C（m+2，1﹣3m），
∴点C的“﹣5阶智慧点”为（﹣8m﹣9，16m﹣3）．
∵点C的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，
∴|16m﹣3|＝1，
∴16m﹣3＝1 或 16m﹣3＝﹣1．
解得 m=14 或 m=18．
40．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（mx+y，x+my）（其中m为常数且m≠0），则称点B是点A的“m级关联点”．例如：点C（2，3）的“4级关联点”D的坐标为（4×2+3，2+4×3），即D（11，14）．
（1）点E（1，2）的“3级关联点”F的坐标为 （5，7） ；
（2）若G（2，﹣1）的“m级关联点”坐标为H（9，n），求m+n的值；
（3）若点P（a﹣1，3a）的“﹣2级关联点”Q位于坐标轴上，求点Q的坐标．
【答案】（1）（5，7）；
（2）2；
（3）（95，0）或（0，9）．
【解答】解：（1）3×1+2＝5，1+3×2＝7，
∴F的坐标为（5，7）．
故答案为：（5，7）．
（2）根据题意，得2m−1=92−m=n，
解得m=5n=−3，
m+n＝5﹣3＝2．
（3）根据题意，得﹣2（a﹣1）+3a＝a+2，a﹣1﹣2×3a＝﹣5a﹣1，
∴Q（a+2，﹣5a﹣1），
当Q位于x轴上时：
﹣5a﹣1＝0，
解得a=−15，
a+2=−15+2=95，
∴Q（95，0）；
当Q位于y轴上时：
a+2＝0，
解得a＝﹣2，
﹣5a﹣1＝﹣5×（﹣2）﹣1＝9，
∴Q（0，9）．
综上，点Q的坐标为（95，0）或（0，9）．
十九．坐标与图形性质（共1小题）
41．已知点M（3，﹣2），它与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且MN＝4，那么点N的坐标是 （﹣1，﹣2）或（7，﹣2） ．
【答案】（﹣1，﹣2）或（7，﹣2）
【解答】解：∵点M（3，﹣2），MN∥x轴，
∴点N的纵坐标y＝﹣2，
点N在点M的左边时，点N的横坐标为3﹣4＝﹣1，
点N在点M的右边时，点N的横坐标为3+4＝7，
所以，点N的坐标为（﹣1，﹣2）或（7，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）或（7，﹣2）．
二十．平行线的性质（共15小题）
42．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（ ）
A．105°B．120°C．130°D．145°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝25°．
由翻折的性质可知：
图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，
图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
43．如图，AB∥EF，∠C＝60°，则α，β，γ的关系为（ ）
A．β＝α+γB．α+β﹣γ＝60°
C．β+γ﹣α＝90°D．α+β+γ＝180°
【答案】B
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在△BGC中，∠1＝60°﹣α，
∵∠β＝∠2+∠γ，
∴∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴60°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝60°．
故选：B．
44．如图，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，∠EPF＝90°，∠BEP＝∠GEP，则∠1与∠2的数量关系为（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＝2∠2C．∠1＝3∠2D．∠1＝4∠2
【答案】B
【解答】解：如图，过P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH，
∴∠2＝∠FPH，∠BEP＝∠EPH，
∴∠BEP+∠2＝∠EPF＝90°，
∴∠BEP＝90°﹣∠2．
又∵∠BEP＝∠GEP，
∴∠1＝180°﹣2∠BEP＝180°﹣2（90°﹣∠2）＝2∠2，
即∠1＝2∠2．
故选：B．
45．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于E、F，EM平分∠AEF交CD于M，G是射线MD上一动点（不与M、F重合）．EH平分∠FEG交CD于点H，设∠MEH＝α，∠EGF＝β，现有下列四个式子：①2α＝β；②2α﹣β＝180°；③α﹣β＝30°；④2α+β＝180°．其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解答】解：当点G在点F右侧时，如图示：
∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠MEF=12∠AEF，∠FEH=12∠FEG，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠EGF＝β．
∴∠MEH＝α＝∠MEF+∠FEH=12（∠AEF+∠FEG）=12（180°﹣∠BEG）=12（180°﹣β），
∴2α+β＝180°，
故④是正确的；
当点G在M和F之间时，如图：
∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠MEF=12∠AEF，∠FEH=12∠FEG，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGF＝β．
∴∠MEH＝α＝∠MEF﹣∠FEH=12∠AEF−12∠FEG=12（180°﹣∠BEF）−12（180°﹣β﹣∠BEF）=12β，
∴2α＝β，
故①是正确的．
故选：B．
46．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（ ）
A．∠E＝∠FB．∠E+∠F＝180°
C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°
【答案】C
【解答】解：过点E作EM∥AB，如图：
∵AB∥CD，EM∥AB
∴CD∥EM，
∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，
∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，
∴∠ABE=12∠ABF，∠CDE=12∠CDF，
∴∠BED＝∠BEM+∠DEM=12（∠ABF+∠CDF），
∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，
∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，
∴∠BED=12（360°﹣∠BFD），
整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．
故选：C．
47．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC．上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝104°，则∠BEG的度数为（ ）
A．38°B．37.5°C．37°D．40°
【答案】A
【解答】解：∵∠FBE＝∠FEB，∠AFE＝∠FBE+∠FEB，
∴∠AFE＝2∠FEB，
∵∠FEH的角平分线为EG，
∴∠GEH＝∠FEG，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
而∠D＝∠ABC，
∴∠D+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠DEH＝104°，
∴∠CEH＝∠FAE＝76°，
∵∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠GEH＝180°﹣2∠GEH，
∴76°+2∠FEB+180°﹣2∠GEH＝180°，
∴∠GEH﹣∠FEB＝38°，
∴∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝∠GEH﹣∠FEB＝38°．
故选：A．
48．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝ （x+y） 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝ （12）n﹣1（x+y） 度．
【答案】（1）（x+y）；（2）（12）n﹣1（x+y）．
【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB，
∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．
∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°．
（2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，
∴∠BEP2=12∠BEP1=12x°，∠DFP2=12∠DFP1=12y°．
同理可证：∠EP2F=∠BEP2+DFP2=12x°+12y°=12(x°+y°)．
以此类推：P3=(12)2(x°+y°)，P4=(12)3(x°+y°)，...，Pn=(12)n−1(x°+y°)．
故答案为：（x+y），（12）n﹣1（x+y）．
49．如图，在两条笔直且平行的景观道AB，CD上放置P，Q两盏激光灯．其中光线PB按顺时针方向以每秒5°的速度旋转至边PA便立即回转，并不断往返旋转；光线QC按顺时针方向以每秒3°的速度旋转至边QD就停止旋转，此时光线PB也停止旋转．若光线QC先转4秒，光线PB才开始转动，当PB1∥QC1时，光线PB旋转的时间为 6或43.5 秒．
【答案】6或43.5．
【解答】解：当PB1∥QC1，则∠PB1Q＝∠CQC1，如图：
∵AB∥CD，
∴∠PB1Q＝∠BPB1．
∴∠CQC1＝∠BPB1．
设光线PB旋转时间为t秒，
∴4×3+3t＝5t．
∴t＝6．
当PB1∥QC1，则∠CQC1＝∠PB1C，如图：
∵AB∥CD，
∴∠PB1Q＝∠BPB1．
∴∠BPB1＝∠CQC1．
设光线PB旋转时间为t秒，此时光线PB由PA处返回，
∴∠APB1＝5t°﹣180°．
∴∠BPB1＝180°﹣∠APB1＝180°﹣（5t°﹣180°）＝360°﹣5t°．
∴360﹣5t＝4×3+3t．
∴t＝43.5．
综上，光线PB旋转的时间为6或43.5秒．
故答案为：6或43.5．
50．将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中∠ABC＝45°，∠D＝60°），固定三角尺ABC，将三角尺BDE以每秒30°的速度绕点B按逆时针方向旋转180°停止．在这个过程中，当运动时间为 0.5或1.5或3.5或4.5或5 秒时，三角尺BDE的一边与三角尺ABC的某一边平行（不共线）．
【答案】0.5或1.5或3.5或4.5或5．
【解答】解：当DE∥AB时，如图1，
此时∠ABE＝∠E＝30°，
∴∠CBE＝15°，
t＝15°÷30°＝0.5；
当BD∥AC时，如图2，
此时∠DBC＝45°，
t＝45°÷30°＝1.5；
当DE∥AC时，如图3，
此时，∠EBC＝60°+45°＝105°，
t＝105°÷30°＝3.5；
当BE∥AC时，如图4，
此时∠EBC＝90°+45°＝135°，
∴t＝135°÷30°＝4.5；
当DE∥BC时，如图5，
此时∠EBC＝90°+60°＝150°，
t＝150°÷30°＝5，
故答案为：0.5或1.5或3.5或4.5或5．
51．如图，图1是长方形纸带，∠DEF＝26°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数是 102° ．
【答案】102°．
【解答】解：图1中：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE＝26°，
∴∠EFC＝180°﹣∠BFE＝154°，
图2中：
由折叠得：
∠EFC＝154°，
∵∠BFE＝26°，
∴∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝128°，
图3中：
由折叠得：
∠BFC＝128°，
∵∠BFE＝26°，
∴∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝102°，
故答案为：102°．
52．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 110 度；（直接写出答案）
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
故答案为：110．
（2）∠APC＝α+β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α＝∠APE，β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝α﹣β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝β﹣α．
53．在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”．
【概念理解】
（1）若∠P＝90°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“3系数补角”是 ∠3 ；
【初步认识】
（2）在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．
①如图1，点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG＝50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，求∠BEG的大小．
【问题解决】
②如图2，连接EF．若H为平面内一动点（点H不在直线AB，CD，EF上），∠EFH与∠FEH两个角的平分线交于点M．若∠BEH＝m°，∠DFH＝n°，∠N是∠EMF的“2系数补角”，直接写出∠N的大小的所有情况（用含m和n的代数式表示）．
【答案】（1）∠3；
（2）∠BEG＝26°；
（3）14（m+n）﹣45°或45°−14（m+n）或45°−14（m﹣n）或45°−14（n﹣m）．
【解答】解：（1）由题意，∵∠P＝90°，∠3＝30°，
∴∠P+3∠3＝180°，
∴∠P的“3系数补角”是∠3，
故答案为：∠3；
（2）①过点G作MG∥AB，
∵AB∥CD，MG∥AB，
∴MG∥CD，
∴∠MGF＝∠DFG＝50°．
∵MG∥AB，
∴∠MGE＝∠BEG，
∴∠EGF＝50°﹣∠BEG．
∵∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，
∴∠EGF+6∠BEG＝180°，
∴（50°﹣∠BEG）+6∠BEG＝180°，
即∠BEG＝26°；
（3）由题可得，点H可能存在6个位置，所以分6种情况讨论，
①当点H在AB上方，EF左侧时，如图，过H作HG∥AB∥CD，
∴∠GHF＝∠DFH＝n°，∠GHE＝∠BEH＝m°，
∴∠EHF＝∠GHE﹣∠GHF＝m°﹣n°，
∵FM和EM分别是角平分线，
∴∠EMF＝180°﹣（∠MFE+∠MEF）
＝180°−12（∠HFE+∠HEF）
＝180°−12（180°﹣∠EHF）
＝90°+12∠EHF
＝90°+m°−n°2
∵∠N是∠EMF的“2系数补角”，
∴∠EMF+2∠N＝180°，
∴∠N=180°−∠EMF2=45°−14（m°﹣n°）；
②当点H在AB和CD之间，EF左侧时，如图，
同理可得∠H＝360°﹣m°﹣n°，
∴∠EMF＝90°+12∠EHF＝270°−m°+n°2，
∵∠N是∠EMF的“2系数补角”，
∴∠EMF+2∠N＝180°，
∴∠N=180°−∠EMF2=14（m°+n°）﹣45°；
③当点H在CD下方，EF左侧时，如图，
同理可得∠H＝n°﹣m°，
∴∠EMF＝90°+12∠EHF＝90°+n°−m°2，
∵∠N是∠EMF的“2系数补角”，
∴∠EMF+2∠N＝180°，
∴∠N=180°−∠EMF2=45°−14（n°﹣m°）；
④当点H在AB上方，EF右侧时，如图，
同理可得∠H＝n°﹣m°，
∴∠EMF＝90°+12∠EHF＝90°+n°−m°2，
∵∠N是∠EMF的“2系数补角”，
∴∠EMF+2∠N＝180°，
∴∠N=180°−∠EMF2=45°−14（n°﹣m°）；
⑤当点H在AB和CD之间，EF右侧时，如图，
同理可得∠H＝m°+n°，
∴∠EMF＝90°+12∠EHF＝90°+m°+n°2，
∵∠N是∠EMF的“2系数补角”，
∴∠EMF+2∠N＝180°，
∴∠N=180°−∠EMF2=45°−14（m°+n°）；
⑥当点H在CD下方，EF右侧时，如图，
同理可得∠EHF＝m°﹣n°，
∴∠EMF＝90°+12∠EHF＝90°+m°−n°2
∵∠N是∠EMF的“2系数补角”，
∴∠EMF+2∠N＝180°，
∴∠N=180°−∠EMF2=45°−14（m°﹣n°）；
综上所述，∠N的度数为14（m+n）﹣45°或45°−14（m+n）或45°−14（m﹣n）或45°−14（n﹣m）．
54．如图，已知PM∥AN，且∠A＝40°，点C是射线AN上一动点（不与点A重合），PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，交射线AN于点B，D．
（1）求∠BPD的度数；
（2）当点C运动到使∠PBA＝∠APD时，求∠APB的度数；
（3）在点C运动过程中，∠PCA与∠PDA之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例．
【答案】（1）70°；
（2）35°；
（3）∠PCA＝2∠PDA，理由见解答过程．
【解答】解：（1）∵PM∥AN，
∴∠A+∠APM＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠APM＝140°，
∵PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，
∴∠BPC=12∠APC，∠DPC=12∠MPC，
∴∠BPD＝∠BPC+∠DPC=12（∠APC+∠MPC）=12×140°＝70°；
（2）∵PM∥AN，
∴∠PBA＝∠BPM，
∵∠PBA＝∠APD，
∴∠BPM＝∠APD，
∴∠APB＝∠MPD，
由（1）得：∠APM＝140°，∠BPD＝70°，
∴∠APB＝∠MPD=12×70°＝35°；
（3）存在，∠PCA＝2∠PDA，理由如下：
∵PM∥AN，
∴∠ACP＝∠CPM，∠PDA＝∠DPM，
∵PD平分∠MPC，
∴∠CPM＝2∠DPM，
∴∠PCA＝2∠PDA．
55．汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）a＝ 3 b＝ 1 ；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，求A灯转动几秒时，两灯的光束第一次互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，
①用含t的代数式表示∠BCA＝ （180﹣2t）° ；
②过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，探究∠BAC与∠BCD有怎样的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，
∴a−3b=0，a+b−4=0，
解得a=3，b=1，
故答案为：3，1；
（2）设灯A转动x秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质，易知：
3x＝x+30，
解得x＝15；
（3）①易知∠BCA＝∠NAC+∠PBC，
经过t秒，∠PBC＝t°，∠MAC＝3t°，
∴∠BCA＝∠NAC+∠PBC＝180°﹣∠MAC+∠PBC＝180°﹣3t°+t°＝（180﹣2t）°，
故答案为：（180﹣2t）°；
②显然点C一定在AB的右侧，3t＞135，即t＞45，
∵∠BAN＝45°，
∴∠BAC＝45°﹣∠CAN＝45°﹣（180﹣3t）°＝3（t﹣45）°，
∵CD⊥AC，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t°）＝2（t﹣45）°，
∴∠BAC∠BCD=32．
56．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，
∠3+∠4+∠EGH＝180°，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）β＝2α﹣180°，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，
∴∠2+∠3＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠2，
同理可得，∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，
∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）
＝180°﹣（2∠2+2∠3）
＝180°﹣2（∠2+∠3）
＝180°﹣2（180°﹣α）
＝2α﹣180°；
（3）90°+m或150°．
理由如下：①当n＝3时，如图所示：
∵∠BEG＝∠1＝m，
∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m，
∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m，
∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣m），
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
则∠GHK＝120°，
则∠GHC＝30°，
由△GCH内角和，得γ＝90°+m．
②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，
如图所示：
根据三角形外角定义，得
∠G＝γ﹣60°，
由EF∥HK，且由（1）的结论可得，
∠G＝γ﹣60°＝90°，
则γ＝150°．
综上所述：γ的度数为：90°+m或150°．
二十一．平行线的判定与性质（共3小题）
57．已知，DE平分∠ADB交射线BC于点E，∠BDE＝∠BED．
（1）如图1，求证：AD∥BC；
（2）如图2，点F是射线DA上一点，过点F作FG∥BD交射线BC于点G，点N是FG上一点，连接NE，求证：∠DEN＝∠ADE+∠ENG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DN，点P为BD延长线上一点，DM平分∠BDE交BE于点M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的度数．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）∠EDN的度数为45°．
【解答】（1）证明：∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠BED，
∴∠ADE＝∠BED，
∴AD∥BE；
（2）证明：过点E作EH∥BD，
∴∠DEH＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DEH，
∵BD∥FG，
∴EH∥FG，
∴∠HEN＝∠ENG，
∵∠DEN＝∠DEH+∠HEN，
∴∠DEN＝∠ADE+∠ENG；
（3）解：设∠BDM＝2x，
∵DM平分∠BDE，
∴∠BDM＝∠MDE＝2x，
∴∠ADE＝∠BDE＝2∠BDM＝4x，
∴∠ADB＝2∠BDE＝8x，
∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠ADB＝180°﹣8x，
∵DE⊥EN，
∴∠DEN＝90°，
由（2）得：∠DEN＝∠ADE+∠ENG，
∴∠ENG＝∠DEN﹣∠ADE＝90°﹣4x，
∵DN平分∠PDM，
∴∠MDN=12∠PDM=12（180°﹣∠BDM）=12（180°﹣2x）＝90°﹣x，
∴∠EDN＝∠MDN﹣∠MDE＝90°﹣x﹣2x＝90°﹣3x，
∴∠DNE＝90°﹣∠EDN＝3x，∠FDN＝∠ADE﹣∠EDN＝4x﹣（90°﹣3x）＝7x﹣90°，
∵∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，
∴180°﹣8x﹣3x＝7x﹣90°，
解得：x＝15°，
∴∠EDN＝90°﹣3x＝45°，
∴∠EDN的度数为45°．
58．如图1，直线l分别交直线AB、CD于点EF（点在点F的右侧）．若∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点H在直线AB、CD之间，过点H作HG⊥AB于点G，若FH平分∠EFD，∠2＝120°，求∠FHG的度数．
（3）如图3，直线MN与直线AB、CD分别交于点M、N，若∠EMN＝120°，点P为线段EF上一动点，Q为直线CD上一动点，请直接写出∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系．（题中的角均指大于0°且小于180°的角）
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，
∠2+∠DFE＝180°，
∴∠1＝∠DFE（同角的补角相等），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：如图所示，过点H作HP∥AB，则HP∥AB∥CD，
∵GH⊥AB，即∠EGH＝90°，
∴∠PHG＝180°﹣∠EGH＝90°，
∵∠2＝120°，
∴∠EFD＝180°﹣∠2＝60°，
∵FH平分∠EFD，
∴∠HFD＝30°，
∵PH∥CD，
∴∠PHF＝∠HFD＝30°，
∴∠FHG＝∠PHF+∠PHG＝120°；
（3）解：如图3﹣1，当点Q在线段FN上时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，
∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF＝∠HPQ，
∴∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF
＝∠MPQ﹣∠HPQ+∠PMN
＝∠MPH+∠PMN
＝∠EMP+∠PMN
＝∠EMN
＝120°；
如图3﹣2，当点Q在FN的延长线上时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，
∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF＝∠HPQ，
∴∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF
＝∠MPQ+∠PMN﹣∠HPQ
＝∠MPH+∠PMN
＝∠EMP+∠PMN
＝∠EMN
＝120°；
如图3﹣3（1），当点Q在NF的延长线上且点Q在直线MP的右侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，
∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF+∠HPQ＝180°，
∴∠MPQ+∠PMN+∠PQF
＝∠MPQ+180°﹣∠HPQ+∠PMN
＝∠MPH+∠PMN+180°
＝∠EMP+∠PMN+180°
＝∠EMN+180°
＝300°；
如图3﹣3（2），当点Q在NF的延长线上且点Q在直线MP的右侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，
∴∠EMP+∠MPH＝180°，∠PQF＝∠HPQ，
∴∠MPQ﹣∠PMN﹣∠PQF
＝∠MPQ﹣∠PMN﹣∠HPQ
＝∠MPH﹣∠PMN
＝180°﹣∠EMP﹣∠PMN
＝180°﹣∠EMN
＝60°；
综上，∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系为：∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝120°或∠MPQ+∠PMN+∠PQF＝300°或∠MPQ﹣∠PMN﹣∠PQF＝60°．
59．在三角形ABE中，AE⊥BE，直线CD∥AB．
（1）如图1，点E在直线CD上，若∠BAE＝60°，求∠BED的度数；
（2）如图2，点E在直线CD的下方，EB交CD于点F，G是AB上一点，连接GE交CD于点H，点K在AB、CD之间且在GH的右侧，连接GK、FK．若GE、FB分别是∠AGK和∠KFD的平分线，试说明∠GKF＝2∠AEG；
（3）在（1）的条件下，点P、Q在直线CD上，点P在点Q左侧，∠PAQ＝80°，AM平分∠PAE交CD于点M，点N是直线AB上方一点，∠NAB＝2∠BAQ．若∠NAM＝150°．请直接写出∠AQC的度数．
【答案】（1）30°；
（2）说明见解析；
（3）32°．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠CEA＝∠A＝60°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BED＝180°﹣90°﹣60°＝30°；
（2）如图，
作EM∥CD，作KN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD∥KN，
设∠AGK＝2x，∠KFD＝2y，
又∵GE、FB分别平分∠AGK，∠KFD，
∴∠AGE＝∠KGE=12∠AGK＝x，∠KFB＝∠DFB=12∠KFD＝y，
∵AB∥EM，
∴∠GEM＝∠AGE＝x，
∵CD∥EM，
∴∠FEM＝∠DFB＝y，
∴∠GEF＝∠GEM﹣∠FEM＝x﹣y，
又∵AE⊥BE，
∴∠AEG＝90°﹣∠GEF＝90°﹣（x﹣y）＝90°﹣x+y，
∴2∠AEG＝2（90°﹣x+y）＝180°﹣2x+2y，
∵KN∥AB，
∴∠GKN+∠AGK＝180°，
∴∠GKN＝180°﹣∠AGK＝180°﹣2x，
∵KN∥CD，
∴∠NKF＝∠KFD＝2y，
∴∠GKF＝∠GKN+∠NKF＝180°﹣2x+2y，
∴∠GKF＝2∠AEG；
（3）如图2，
当∠BAQ≤60°时，
设∠BAQ＝α，则∠EAQ＝60°﹣α，∠NAB＝2α，
∴∠PAE＝∠PAQ﹣∠EAQ＝80°﹣（60°﹣α）＝α+20°，
∵AM平分∠PAE，
∴∠EAM=12∠PAE=12α+10°，
∵∠BAN+∠BAE+∠EAM＝∠MAN，
∴2α+60°+12α+10°＝150°，
∴α＝32°，
∵AB∥CD，
∴∠AQC＝∠BAQ＝32°，
如图3，
当∠BAQ＞60°时，
设∠BAQ＝β，则∠BAN＝2β，∠QAE＝β﹣60°，
∴∠PAE＝80°+（β﹣60°）＝β+20°，∠FAN＝180°﹣2β，
∴∠MAE=12∠PAE=12β+10°，
∵360°﹣∠MAE﹣∠BAE﹣∠BAN＝∠MAN，
∴360°﹣（12β+10°）﹣60°﹣2β＝150°，
∴β＝56°＜60°，故舍去，
综上所述：∠AQC＝40°．
二十二．生活中的平移现象（共1小题）
60．如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（ ）
A．56m2B．66m2C．72m2D．96m2
【答案】B
【解答】解：由题意得：
（14﹣3）×6
＝11×6
＝66（平方米），
∴绿化区的面积是66平方米，
故选：B．
x
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
x2
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24
x3
4096
4173.281
4251.528
4330.747
4410.944
4492.125
4574.296
4657.463
4741.632
进价（元/台）
售价（元/台）
电饭煲
200
250
电压锅
160
200
图书采购创意探究项目
项目背景
2025年12月19日，“石榴花开声聚同心”——云南省第四届经典诵读大会初选在玉溪市红塔山水小学圆满落幕．本次活动以铸牢中华民族共同体意识为主线，吸引全市小学至社会组百余选手齐聚红塔山水，用诵读传递经典力量．学校需要采购甲、乙两种图书作为活动奖品用于赠书与签书环节．
项目要求
运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性，发展模型观念．
素材展示
素材1
购买2本甲图书与购买3本乙图书需要的费用相等；
素材2
购买1本甲图书与购买1本乙图书共需100元；
素材3
该校计划购买甲、乙两种图书共40本，甲图书和乙图书均需购买，购买甲图书的数量不少于购买乙图书数量的2倍，投入的经费不能超过2200元．
问题解决
任务1
确定单价
通过建立合适的数学模型，计算购买1本甲图书和1本乙图书分别需要多少元．
任务2
优化方案
确定最节省费用的购买方案．