期末复习易错题37个考点（举一反三期末专项训练）七年级数学下学期新教材人教版+答案

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14407" 【考点1 对顶角】 PAGEREF _Tc14407 \h 2
\l "_Tc30651" 【考点2 点到直线的距离】 PAGEREF _Tc30651 \h 4
\l "_Tc31653" 【考点3 同位角、内错角、同旁内角】 PAGEREF _Tc31653 \h 6
\l "_Tc32066" 【考点4 平行线的判定】 PAGEREF _Tc32066 \h 9
\l "_Tc5071" 【考点5 平行线的性质】 PAGEREF _Tc5071 \h 12
\l "_Tc29618" 【考点6 平行线的判定与性质】 PAGEREF _Tc29618 \h 16
\l "_Tc18518" 【考点7 定义、命题、定理】 PAGEREF _Tc18518 \h 22
\l "_Tc4270" 【考点8 平移】 PAGEREF _Tc4270 \h 24
\l "_Tc15181" 【考点9 平方根、算术平方根】 PAGEREF _Tc15181 \h 27
\l "_Tc27945" 【考点10 立方根】 PAGEREF _Tc27945 \h 29
\l "_Tc19544" 【考点11 实数的分类】 PAGEREF _Tc19544 \h 30
\l "_Tc29362" 【考点12 无理数】 PAGEREF _Tc29362 \h 32
\l "_Tc3422" 【考点13 坐标与图形性质】 PAGEREF _Tc3422 \h 35
\l "_Tc18400" 【考点14 点的坐标规律探索】 PAGEREF _Tc18400 \h 39
\l "_Tc7612" 【考点15 二元一次方程（组）的定义】 PAGEREF _Tc7612 \h 42
\l "_Tc23855" 【考点16 二元一次方程（组）的解】 PAGEREF _Tc23855 \h 44
\l "_Tc10286" 【考点17 代入消元法解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc10286 \h 46
\l "_Tc1501" 【考点18 加减消元法解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc1501 \h 47
\l "_Tc24767" 【考点19 由实际问题抽象出二元一次方程（组）】 PAGEREF _Tc24767 \h 50
\l "_Tc9341" 【考点20 二元一次方程组的应用】 PAGEREF _Tc9341 \h 52
\l "_Tc2947" 【考点21 解三元一次方程组】 PAGEREF _Tc2947 \h 54
\l "_Tc29024" 【考点22 三元一次方程组的应用】 PAGEREF _Tc29024 \h 57
\l "_Tc6638" 【考点23 认识不等式】 PAGEREF _Tc6638 \h 60
\l "_Tc20738" 【考点24 不等式的基本性质】 PAGEREF _Tc20738 \h 61
\l "_Tc7165" 【考点25 一元一次不等式（组）的定义】 PAGEREF _Tc7165 \h 63
\l "_Tc8985" 【考点26 一元一次不等式（组）的解法】 PAGEREF _Tc8985 \h 64
\l "_Tc27534" 【考点27 一元一次不等式（组）的整数解】 PAGEREF _Tc27534 \h 67
\l "_Tc30467" 【考点28 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 PAGEREF _Tc30467 \h 70
\l "_Tc27548" 【考点29 一元一次不等式（组）的应用】 PAGEREF _Tc27548 \h 72
\l "_Tc14489" 【考点30 全面调查与抽样调查】 PAGEREF _Tc14489 \h 76
\l "_Tc16954" 【考点31 总体、个体、样本、样本容量】 PAGEREF _Tc16954 \h 78
\l "_Tc16569" 【考点32 统计表】 PAGEREF _Tc16569 \h 79
\l "_Tc27522" 【考点33 条形统计图】 PAGEREF _Tc27522 \h 81
\l "_Tc20231" 【考点34 扇形统计图】 PAGEREF _Tc20231 \h 84
\l "_Tc13518" 【考点35 折线统计图】 PAGEREF _Tc13518 \h 86
\l "_Tc24232" 【考点36 频数分布直方图】 PAGEREF _Tc24232 \h 89
\l "_Tc27386" 【考点37 趋势图】 PAGEREF _Tc27386 \h 92
【考点1 对顶角】
1．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对顶角定义即可求解．
【详解】解：A、选项中∠1与∠2不是对顶角，不符合题意；
B、选项中∠1与∠2是对顶角，符合题意；
C、选项中∠1与∠2不是对顶角，不符合题意；
D、选项中∠1与∠2不是对顶角，不符合题意．
2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，如果∠1+∠2=262°，则∠3=_____
【答案】49°
【详解】解：由图可知 ∠1 与∠2是对顶角，根据对顶角相等可得∠1=∠2，
因为 ∠1+∠2=262°，
所以 ∠1=12×262°=131°，
又因为 ∠1 与 ∠3 互为邻补角，
所以∠1+∠3=180°，
所以 ∠3=180°−131°=49°
3．（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOD=50°，∠AOC=2∠AOE，求∠DOE的度数．
【答案】105°
【分析】由对顶角相等、邻补角互补可得∠AOC=50°、∠AOD=130°，则∠AOE=25°，再根据角的和差即可解答．
【详解】解：∵∠BOD=50°，
∴∠AOC=∠BOD=50°，∠AOD=180°−∠BOD=130°，
∵∠AOC=2∠AOE，
∴∠AOE=12∠AOC=25°，
∴∠EOD=∠AOD−∠AOE=130°−25°=105°．
4．如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠COA=28°，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O．
(1)求∠EOF的度数；
(2)试判断射线OE是否平分∠AOF？并说明理由．
【答案】(1)62°
(2)射线OE平分∠AOF，理由见解析
【分析】（1）根据对顶角相等得出∠COA=∠BOD=28°，再由角平分线得出∠DOF=∠BOD=28°，结合垂直及图形即可求解；
（2）根据题意得出∠EOD=EOC=90°，确定∠AOE=∠EOC−∠COA=62°，再由角平分线的定义即可得出结果．
【详解】（1）解：∵∠COA=28°，
∴∠COA=∠BOD=28°．
∵ OD平分∠BOF，
∴∠DOF=∠BOD=28°．
又∵OE⊥CD，
∴∠EOD=∠EOC=90°．
∴∠EOF=∠EOD−∠DOF=62°．
（2）射线OE平分∠AOF，理由如下：
∵OE⊥CD，
∴∠EOD=EOC=90°．
∵∠EOC=∠AOE+∠COA，
∴∠AOE=∠EOC−∠COA=62°
又∵∠EOF=62°
∴∠EOF=∠AOE．
∴射线OE平分∠AOF．
【考点2 点到直线的距离】
1．如图，点A，B在直线l上，点P在直线l外，连接PA，PB，若PA=3，PB=5，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据垂线段最短判断即可．
【详解】解：因为垂线段最短，
∴点P到直线l的距离小于3，
观察四个选项，只有选项A符合题意．
2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足为点B，PA⊥PC，则下列正确的语句是（ ）
A．线段PC的长是点P到直线a的距离
B．线段PC的长是点C到直线AP的距离
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段AC的长是点C到直线AP的距离
【答案】B
【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键．
根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．
【详解】解：A、线段PC的长是点C到直线AP的距离，故此选项不符合题意；
B、线段PC的长是点C到直线AP的距离，故此选项符合题意；
C、线段AP的长是点A到直线PC的距离，故此选项不符合题意；
D、线段PC的长是点C到直线AP的距离，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，在△ABC中，AB=10，BC=8，AE为BC边上的高，AE=7，P为AB上一动点，则PC的最小值为_______．
【答案】285
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，利用等面积法求出CD长．根据垂线段最短，得出当CP⊥AB时，即点P与点D重合时，PC最小．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∴S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AE，
∴AB⋅CD=BC⋅AE，
∴10CD=8×7
解得CD=285，
∵垂线段最短，
∴当点P与点D重合时，PC最小，即PC最小值为285．
4．如图，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，则A点到BC的距离是______cm，C点到AB的距离是______cm，AC>CD的依据是______．
【答案】 5 6013 垂线段最短
【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由S△ABC=12AC×BC=12AB×CD，求出CD=6013cm，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴S△ABC=12AC×BC=12AB×CD，
∴12×5×12=12×13×CD，
∴CD=6013cm，
∴A点到BC的距离是AC=5cm，C点到AB的距离是CD=6013cm，
∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴AC>CD，
故答案为：5，6013，垂线段最短．
【考点3 同位角、内错角、同旁内角】
1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列图形中，∠1与∠2的位置关系属于同旁内角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断．
【详解】解：A、∠1与∠2是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
B、∠1与∠2是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
C、∠1与∠2是同旁内角，故本选项符合题意；
D、∠1与∠2不是同旁内角，故本选项不符合题意；
故选C．
2．若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有_______对内错角．
【答案】24
【分析】本题考查了内错角的定义与计数，解题的关键是先确定线段数量，再根据每条线段两侧内错角的对数计算总对数．
先根据4条直线两两相交且无三线共点，求出线段数量，再结合每条线段两侧内错角的对数，计算内错角的总对数．
【详解】∵平面上4条直线两两相交且无三线共点，
∴共有3×4=12条线段．
又∵每条线段两侧各有一对内错角，
∴共有内错角12×2=24对．
故答案为：24．
3．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b−c的值是____________
【答案】6
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义分别得到a，b，c的值，即可求解．
【详解】∵同位角有：∠8与∠4，∠5与∠1，∠7与∠3，∠6与∠2，∠4与∠9，∠7与∠9，共6对；内错角有：∠7与∠1，∠6与∠4，∠5与∠9，∠2与∠9，共4对，同旁内角有：∠7与∠4，∠6与∠1，∠1与∠9，∠6与∠9共4对，
∴a=6，b=4,c=4，
∴a+b−c=6，
故答案是：6．
【点睛】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角的定义，掌握它们的定义，是解题的关键．
4．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线EF与AB交于点M，与CD交于点O，OG平分∠DOF，若∠COM=120°，∠EMB=12∠COF．
(1)求∠FOG的度数；
(2)写出∠AMO的所有内错角，同旁内角的度数之和．
【答案】(1)60°
(2)∠AMO的所有内错角为∠DOE，∠MOG，同旁内角∠MOC，300°
【分析】（1）根据对顶角相等，得∠DOF=∠COM=120°，结合OG平分∠DOF，
求∠FOG的度数即可；
（2）确定∠AMO的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可．
本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：根据对顶角相等，得∠DOF=∠COM=120°，
∵OG平分∠DOF，
∴∠FOG=∠DOG=12∠DOF=60°．
（2）解：根据题意，得∠AMO的所有内错角为∠DOE，∠MOG，
同旁内角∠MOC，
∵∠COM=120°，
∴∠DOE=60°，
∴∠MOG=∠DOE+∠DOG=120°，
∴∠MOG+∠DOE+∠COM=300°．
【考点4 平行线的判定】
1．（25-26七年级上·河南周口·期末）若∠1+∠2=180°，则下列图形一定能得到l1∥l2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
根据平行线的判定方法，逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A、∠1+∠2=180°不能推出l1∥l2，不符合题意；
B、∠1+∠2=180°不能推出l1∥l2，不符合题意；
C、∵∠1+∠2=180°，
∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行），符合题意；
D、∠1+∠2=180°不能推出l1∥l2，不符合题意；
故选：C．
2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，若∠1=∠2，则下列条件中，不能判定AB ∥ CD的是（ ）
A．∠3=∠4
B．∠3+∠4=90°
C．∠1和∠3互余且∠2和∠4互余
D．BM平分∠ABC，且CN平分∠BCD
【答案】B
【分析】本题考查的是平行线的判定，根据∠1=∠2，结合各选项的条件逐一分析判断即可．
【详解】解：∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠DCB=∠ABC，
∴AB∥CD；故A不符合题意；
∵∠1=∠2，∠3+∠4=90°，
∴∠DCB,∠ABC不一定相等，
∴不能得到AB∥CD；故B符合题意；
∵∠1=∠2．∠1和∠3互余且∠2和∠4互余，
∴∠3=∠4，
∴∠DCB=∠ABC，
∴AB∥CD；故C不符合题意；
∵∠1=∠2，BM平分∠ABC，且CN平分∠BCD，
∴∠DCB=∠ABC，
∴AB∥CD；故D不符合题意；
故选：B
3．如图，在△ABC中，∠A=38°，∠C=72°，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转过程中，点B的对应点为B′，旋转角为α，当CB′∥AB时，旋转角α为______°．
【答案】70或250/250或70
【分析】本题考查旋转的性质，平行线的判定，三角形内角和定理．当∠BCB′=∠B=70°时，或∠ACB′=∠A=38°时，CB′∥AB，画出图形，即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=38°，∠C=72°，
∴ ∠B=180°−72°−38°=70°，
当CB′∥AB时，分两种情况：
①当∠BCB′=∠B=70°时，CB′∥AB，此时α=∠BCB′=70°；
②当∠ACB′=∠A=38°时，CB′∥AB，此时α=70°+180°=250°；
故答案为：70或250．
4．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF．
(1)求证：OC⊥OD；
(2)若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明；
（2）利用∠COD=90°，结合已知求得∠D=∠BOD，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明．
【详解】（1）证明：∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，
∴∠COF=12∠AOF，∠DOF=12∠BOF，
∴∠COD=∠COF+∠DOF=12∠AOF+∠BOF=90°，
∴OC⊥OD；
（2）证明：∵∠COD=90°，
∴∠1+∠BOD=90°，
∵∠D与∠1互余，
∴∠1+∠D=90°，
∴∠D=∠BOD，
∴ED∥AB．
【考点5 平行线的性质】
1．如图，已知AB∥DC​，Rt△FEG​直角顶点在CD​上，已知∠FEC=35°​，则∠GHB=​（ ）
A．35°​B．45°​C．55°​D．65°​
【答案】C
【分析】由平角和直角三角形的定义可求得∠GED的度数，再由平行线的性质即可得解．
【详解】解：∵Rt△FEG直角顶点在CD上，
∴∠FEG=90°，∠FEC+∠FEG+∠GED=180°，
∴∠GED=180°−∠FEC−∠FEG=180°−35°−90°=55°，
∵AB∥DC，
∴∠GHB=∠GED=55°．
2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点A处铺设到点B处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿与AB平行的DE方向继续铺设，如果∠BCD=50°，则∠ABC+∠CDE=______．
【答案】230°
【分析】延长ED交BC于点F，如图所示，先由平行线性质得到∠BFD=∠ABC，在△CDF中，由三角形内角和定理及外角性质列等式求解即可得到答案．
【详解】解：延长ED交BC于点F，如图所示：
∵AB∥EF，
∴∠BFD=∠ABC，
在△CDF中，∠C+∠CFD+∠CDF=180°，∠BFD=∠C+∠CDF，∠CDE=∠C+∠CFD，
∴∠ABC+∠CDE=∠BFD+∠CDE=∠C+∠CDF+∠C+∠CFD=∠C+∠C+∠CFD+∠CDF=50°+180°=230°．
3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点C在点A北偏东50°28′方向，点C在点B北偏西30°32′方向，则∠ACB的度数为______．
【答案】81°/81度
【分析】过点C作CF∥AD，可得AD∥BE∥CF，根据两直线平行内错角相等可得∠ACF=∠DAC=50°28′，∠BCF=∠EBC=30°32′，再根据角的和差即可求解．
【详解】解：过点C作CF∥AD，
∵AD∥BE，
∴AD∥BE∥CF，
∴∠ACF=∠DAC=50°28′，∠BCF=∠EBC=30°32′，
∴∠ACB=∠ACF+BCF=50°28′+30°32′=81°，
4．探索下面不同的情境，回答问题：
(1)【探索发现】已知：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP．
易证：∠APC=∠BAP+∠PCD．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
请你选择一位同学的方法，并进行证明；
(2)【深入思考】如图4，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点P，连接AC，EG，若∠PAC+∠PEG=∠AGE，求证：AC∥EF；
(3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH交点H，若∠CAH=25°，∠AHF=∠AEG，∠PGE=2∠CAH+3∠PEG．求∠PFC的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)90°
【分析】（1）小刚的证明：过点P作PQ∥AB，可得AB∥PQ∥CD，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长AP交CD于点M，可得∠BAP=∠PMC，再利用三角形内角和定理即可求证；
（2）利用三角形内角和定理证明∠APE=∠PAC即可求证；
（3）由角平分线的定义得∠PAC=2∠CAH=50°，设∠PEG=α，则∠PGE=2∠CAH+3∠PEG=50°+3α，得∠AGE=180°−∠PGE=130°−3α，再根据（2）的条件得50°+α=130°−3α，解得∠PEG=20°，设∠PFH=β，同理可得∠PFC=2β=90°，即可求解；
【详解】（1）解：小刚的证明如下：
如图2，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠APQ=∠BAP，∠CPQ=∠PCD，
∴∠APQ+∠CPQ=∠BAP+∠PCD，
即∠APC=∠BAP+∠PCD；
小红的证明如下：
如图3，延长AP交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴∠BAP=∠PMC，
∵∠PCD+∠CPM+∠PMC=180°，∠CPM+∠APC=180°，
∴∠APC=∠PMC+∠PCD，
即∠APC=∠BAP+∠PCD；
（2）证明：∵∠PGE+∠APE+∠PEG=180°，∠AGE+∠PGE=180°，
∴∠AGE=∠APE+∠PEG，
∵∠AGE=∠PAC+∠PEG，
∴∠APE=∠PAC，
∴ AC∥EF；
（3）解：∵AH平分∠PAC，∠CAH=25°，
∴∠PAC=2∠CAH=50°，
设∠PEG=α，则∠PGE=2∠CAH+3∠PEG=50°+3α，
∴∠AGE=180°−∠PGE=130°−3α，
∵在（2）的条件下，
∴∠PAC+∠PEG=∠AGE，
∴50°+α=130°−3α，
解得α=20°，
∴∠PEG=20°，
设∠PFH=β，
∵FH平分∠PFC，
∴∠PFC=2∠PFH=2β，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠PFC=2β，
∴∠AEG=∠AEF−∠PEG=2β−20°，
∴∠AHF=∠AEG=2β−20°，
∵在（2）的条件下，
∴ AC∥EF，
同理可得，∠AHF=∠CAH+∠PFH，即2β−20°=25°+β，
解得β=45°，
∴∠PFC=2β=90°．
【考点6 平行线的判定与性质】
1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形ABCD沿EF折叠，点C，D分别落在C′，D′的位置，C′F的延长线交CD于点G,∠EFG=2∠AED′，则∠BHD′的度数为（ ）
A．36°B．54°C．72°D．108°
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键．
由折叠可得D′E∥C′F，∠D′EF=∠DEF，∠ED′H=∠D=90°，可得∠DEF=∠D′EF=∠EFG=2∠AED′，根据∠AED′+∠D′EF+∠DEF=180°可得∠AED′=36°，过点D′作D′M∥AD，则D′M∥BC，可得∠ED′M=∠AED′=36°，则可得∠BHD′=∠HD′M=54°．
【详解】解：如图，过点D′作D′M∥AD，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴D′M∥AD∥BC，
由折叠可得，D′E∥C′F，∠D′EF=∠DEF，∠ED′H=∠D=90°，
∴∠D′EF=∠DEF=∠EFG，
∵∠EFG=2∠AED′，
∴∠DEF=∠D′EF=2∠AED′，
∵∠AED′+∠D′EF+∠DEF=180°，
∴∠AED′+2∠AED′+2∠AED′=180°，
∴∠AED′=36°，
∴∠ED′M=∠AED′=36°，
∴∠BHD′=∠HD′M=∠ED′H−∠ED′M=54°．
故选：B．
2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知∠A=∠AGE，∠D=∠1，且∠1+∠2=180°，则下列结论：①CE∥BF，②∠A=∠D，③AB∥CD，④∠C=∠B，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先结合邻补角互补以及∠1+∠2=180°得∠CGD=∠1，故CE∥BF，又因为对顶角相等得∠AGE=∠1，进行等量代换得∠A=∠D，故AB∥CD，运用平行线的性质进行分析，即可得出∠C=∠B．
【详解】解：∵∠1+∠2=180°，∠CGD+∠2=180°，
∴∠CGD=∠1，
∴CE∥BF，
故①符合题意；
∵∠AGE=∠CGD，
∴∠AGE=∠1，
∵∠D=∠1，∠A=∠AGE，
∴∠A=∠D，
故②符合题意；
∵∠A=∠D，
∴AB∥CD，
故③符合题意；
∵AB∥CD
∴∠DFB=∠B，
∵CE∥BF，
∴∠DFB=∠C，
∴∠C=∠B，
故④符合题意；
故选：D
3．如图，直线EF与直线AB、CD分别交于点M、N，∠ENC的平分线NP交AB于点P，Q是直线CD上一点，若∠EMB=120°，∠MNP=30°，∠APQ:∠QPN=1:4．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠PQN的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30°
【分析】（1）求得∠CNE+∠AMN=180°，即可得到AB∥CD；
（2）根据三角形的外角性质求得∠APN=150°，再根据∠APQ:∠QPN=1:4，求得∠APQ=30°，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠ENC的平分线NP交AB于点P，∠MNP=30°，
∴∠CNE=2∠MNP=60°，
∵∠AMN=∠EMB，∠EMB=120°，
∴∠AMN=120°，
∴∠CNE+∠AMN=180°，
∴ AB∥CD；
（2）解：∵∠MNP=30°，∠AMN=120°，
∴∠APN=∠MNP+∠AMN=150°，
∵ ∠APQ:∠QPN=1:4，
∴∠APQ=15∠APN=30°，
∵ AB∥CD，
∴∠PQN=∠APQ=30°．
4．如图1，E点在BC上，∠A=∠D，∠ACB+∠BED=180°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，请直接写出∠DEB的度数．
(3)保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK ，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)100°
(3)∠PBM的度数不变，理由见解析
【分析】（1）先根据同角的补角相等得∠ACB=∠CED，再根据“内错角相等，两直线平行”得AC∥DE，然后根据平行线的性质说明∠ACD+∠A=180°，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案；
（2）作EM∥CD,HN∥CD，根据平行线的性质得∠1+∠EDF=180°，∠MEB=∠ABE,再结合角平分线的定义和平行线的性质说明12∠ABE+∠β=∠3，然后推导出∠EDF−∠ABE=2∠β，接下来设∠DEB=∠α =180°−2∠β，再结合题意可得∠α−60°=∠β,最后联立求出答案即可；
（3）作ES∥CD,设直线DF和直线BP相交于点G，先根据角平分线的定义得∠EBM=12∠EBK，∠CDN=12∠CDE，再根据平行线的性质得∠DES=∠CDE，∠BES=∠ABE=180°−∠EBK，∠G=∠PBK，然后由（2）可知∠DEB=100°，即可得出∠EBK−∠CDE=80°，接下来根据平行线的性质得∠PBK=∠G=∠CDN=12∠CDE，最后根据∠PBM=∠MBK−∠PBK =12(∠EBK−∠CDE)得出答案．
【详解】（1）证明：∵∠ACB+∠BED=180°,∠BED+∠CED=180°，
∴∠ACB=∠CED，
∴AC∥DE，
∴∠ACD+∠D=180°．
∵∠A=∠D，
∴∠ACD+∠A=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：作EM∥CD,HN∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥HN∥CD，
∴∠1+∠EDF=180°，∠MEB=∠ABE,
∴BG平分∠ABE，
∴∠ABG=12∠ABE．
∵AB∥HN，
∴∠2=∠ABG．
∵CF∥HN，
∴∠2+∠β=∠3，
∴12∠ABE+∠β=∠3．
∵DH平分∠EDF，
∴∠3=12∠EDF，
∴12∠ABE+∠β=12∠EDF，
∴∠EDF−∠ABE=2∠β．
设∠DEB=∠α，∠α=∠1+∠MEB=180°−∠EDF+∠ABE=180°−(∠EDF−∠ABE) =180°−2∠β．
∵∠DEB比∠DHB大60°，
∴∠α−60°=∠β,
∴∠α=180°−2(∠α−60°)，
解得∠α=100°，
所以∠DEB的度数是100°；
（3）解：∠PBM的度数不变，理由如下：
如图，过点E作ES∥CD,设直线DF和直线BP相交于点G，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠EBM=∠MBK=12∠EBK，∠CDN=∠EDN=12∠CDE．
∵ES∥CD，AB∥CD，
∴ES∥AB∥CD，
∴∠DES=∠CDE，∠BES=∠ABE=180°−∠EBK，∠G=∠PBK．
由（2）可知∠DEB=100°，
∴∠CDE+180°−∠EBK=100°，
∴∠EBK−∠CDE=80°．
∵BP∥DN，
∴∠CDN=∠G，
∴∠PBK=∠G=∠CDN=12∠CDE，
∴∠PBM=∠MBK−∠PBK，
=12∠EBK−12∠CDE
=12(∠EBK−∠CDE)
=12×80°
=40°．
【考点7 定义、命题、定理】
1．用三个不等式a>b,ab>0,a>b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】由题意得出三个命题，根据不等式的性质判断命题的真假.
【详解】若a>b,ab>0，则a>b为假命题.反例：a=-1,b=-2
若a>b,a>b，则ab>0为假命题.反例：a=2,b=-1
若ab>0,a>b，则a>b为假命题.反例:a=-2,b=-1
故选：A
【点睛】本题考查了命题与不等式的性质，解题的关键在于根据题意得出命题，根据不等式的性质判断真假.
2．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A．5B．12C．14 D．16
【答案】C
【详解】解：∵5不是偶数，且也不是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例，故A错误；
∵12是偶数，且是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例，故B错误；
∵14是偶数但不是4的倍数，
∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例，故C正确；
∵16是偶数，且也是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例，故D错误.
故选：C.
3．将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成________________，该命题是_________（填“真命题”或“假命题”）．
【答案】 如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 真命题
【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论．题设成立，结论也成立的叫真命题；而题设成立，不保证结论成立的为假命题．
【详解】解：把“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等；这个命题正确，是真命题，
故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4．如图，△ABC中，点D，F在边AB上，点G，E分别在边AC，BC上，连接DG，DC，EF．①EF⊥AB，CD⊥AB；②∠DGA=∠BCA；③DG平分∠ADC；④∠B=∠BEF，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
你选择的条件；________，结论：_____(填序号)．
【答案】①②③；④，证明见解析
【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义；
选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到DG ∥ BC，则根据平行线的性质得到∠ADG=∠B，∠GDC=∠BCD，再有②得到∠ADG=∠GDC，所以∠B=∠DCB，接着由③得到EF ∥ CD，然后根据平行线的性质得到∠BCD=∠BEF，然后利用等量代换得到∠B=∠BEF．
【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④．
证明如下：∵∠DGA=∠BCA，
∴DG ∥ BC，
∴∠ADG=∠B，∠GDC=∠BCD，
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG=∠GDC，
∴∠B=∠DCB，
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF ∥ CD，
∴∠BCD=∠BEF，
∴∠B=∠BEF．
故答案为：①②③；④．
【考点8 平移】
1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）下面四个花窗图案，可看作由一个基本图形平移而成的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
根据平移的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、不是由一个基本图形平移而成，故A选项不符合题意；
B、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故B选项不符合题意；
C、是由一个基本图形平移而成，故C选项符合题意；
D、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故D选项不符合题意；
故选：C．
2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，AB=12，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．60B．48C．36D．24
【答案】A
【分析】本题主要考查了平移的性质，梯形面积公式等，解题的关键是熟练掌握平移的性质．
根据平移的性质得出EO=8，BE=6，然后根据梯形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据图形平移的性质可得，EO=DE−DO=AB−DO=12−4=8，BE=6，
S阴影+S△OEC=S梯形OABE+S△OEC，
S阴影=S梯形OABE=12OE+AB⋅BE=12×8+12×6=60，
故选：A．
3．（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形ABC平移得到三角形A′B′C′，下列结论中，正确的有（ ）
①AA′∥BB′或AA′与BB′在同一条直线上
②BB′∥CC′或BB′与CC′在同一条直线上
③AA′=BB′=CC′
④BC=A′C′
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等，据此逐一判断即可得到答案．
【详解】解：由平移的性质可得AA′∥BB′或AA′与BB′在同一条直线上，BB′∥CC′或BB′与CC′在同一条直线上，AA′=BB′=CC′，故①②③正确，
根据现有条件无法证明BC=A′C′，故④错误．
4．（24-25七年级上·四川眉山·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点．
(1)请画出平移后的△DEF；
(2)连接AD，CF，则这两条线段之间的关系是 ；
(3)求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)AD∥CF，AD=CF
(3)7
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据平移的性质即可得AD∥CF，AD=CF；
（3）利用补形法结合三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，△DEF为所求．
（2）解：如图，
由平移的性质可得：AD∥CF，AD=CF．
（3）解：S△ABC=4×4−12×2×4−12×2×3−12×1×4=16−4−3−2=7．
∴△ABC的面积为7．
【考点9 平方根、算术平方根】
1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）已知正数x的两个不同的平方根是2−m和3m+4，则x= ．
【答案】25
【分析】本题考查平方根定义和性质，根据平方根的性质：一个正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，可得2−m和3m+4互为相反数，再根据互为相反数的两个数和为0，求得m的值，再得出3m+4的值，从而得出x的值.
【详解】解：∵正数x的两个不同的平方根是2−m和3m+4
∴2−m和3m+4互为相反数
∴2−m+3m+4=0
解得m=−3
则3m+4=3×(−3)+4=−5
∴x=(−5)2=25.
故答案为25.
2．64的算术平方根是 ．
【答案】22
【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：64=8，
∴64的算术平方根是8=22，
故答案为：22．
3．（2025·湖北·模拟预测）已知a、b均为实数且1−2a与4b−2互为相反数，则a+b=（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键．
根据相反数的性质得1−2a+4b−2=0，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出1−2a=0，4b−2=0，从而可求出a 、b的值，进而可求解．
【详解】解：∵1−2a与4b−2互为相反数，
∴1−2a+4b−2=0
∴1−2a=0，4b−2=0，
解得：a=12，b=12．
∴a+b=1．
故选：B．
4．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵．
根据数阵规律，第八行第十三个数是( )
A．72B．71C．70D．69
【答案】D
【分析】本题考查了数字的变化规律，根据数字的变化找出规律求值是解本题的关键．找出规律，计算求值即可．
【详解】解：第一行有2个数，
第二行有4个数，
第三行有6个数，
⋯⋯，
第n行有2n个数，
∴前n行（包含第n行）数的总个数为：2+4+6+⋯+2n=n（n+1），
第八行数的个数为：2×8=16，
前八行（包含第八行）数的总个数为：8×（8+1）=72，
根据规律，可知第八行的最后一个数为：72，
16−13=3，72−3=69，
∴第八行第十三个数是69．
故选：D．
【考点10 立方根】
1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知30.0468=0.3604，则3x=3.604，则x= ．
【答案】46.8
【分析】本题考查立方根的性质，根据被开方数的小数点每向左或向右移动3位，立方根的小数点向左或向右移动1位，进行求解即可．
【详解】解：∵30.0468=0.3604，3x=3.604，
∴x=46.8；
故答案为：46.8．
2．（2024七年级下·上海·专题练习）计算：3−27= ．
【答案】−3
【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据−33=−27，则3−27=−3，即可作答．
【详解】解：∵−33=−27，
∴3−27=−3，
故答案为：−3．
3．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A．32B．2C．2D．8
【答案】B
【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键．
【详解】解：当x=64时，64算术平方根为64=8，是有理数，
再取立方根38=2，是有理数，
倒回再取2的算术平方根为2，是无理数，
∴输出的值为2，
故选：B．
4．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+5与3a−17．
(1)求a, m的值；
(2)求关于x的方程ax3−81=0的解．
【答案】(1)a=3，m=64；
(2)x=3．
【分析】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并能进行正确地计算．
（1）运用平方根知识列出方程并求解；
（2）将该方程变形后，运用立方根知识进行求解．
【详解】（1）解：由题意得，
a+5+3a−17=0，
解得a=3，
∴m=a+52=3+52=82=64；
（2）解：由（1）所求a=3，
∴关于x的方程ax3−81=0为3x3−81=0，
移项，得3x3=81，
化系数为1，得x3=27，
开立方，得x=3．
【考点11 实数的分类】
1．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（ ）
A．实数可分为正实数和负实数两类B．正实数包括正有理数和正无理数
C．实数在数轴上都有唯一对应的点D．数轴上任一点都有唯一对应的实数
【答案】A
【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识．
根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可．
【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意；
B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意；
C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；；
D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意；
故选：A．
2．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）下列计算结果是有理数的是（ ）
A．±16B．8C．36D．π−3
【答案】A
【分析】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无线循环小数是解题的关键．
根据有理数和无理数的定义，只有选项A是有理数，其他选项均为无理数．
【详解】A、±16=±4是有理数，故A符合题意；
B、8=22是无理数，故B不符合题意；
C、36是无理数，故C不符合题意；
D、π−3是无理数，故D不符合题意．
故选：A．
3．在①17 ②−π ③0 ④3.14 ⑤−2 ⑥0.3 ⑦−49 ⑧3.12 ⑨31.331
属于有理数的有：________________；（填序号）
属于无理数的有：________________；（填序号）
属于实数的有：________________．（填序号）
【答案】见解析
【分析】根据有理数、无理数和实数的定义分别填空即可．
【详解】解：∵−49=-7，31.331=1.1，
∴属于有理数的有：①③④⑥⑦⑧⑨；
属于无理数的有：②⑤；
属于实数的有：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨．
【点睛】本题考查了实数，无理数是无限不循环小数，有理数是无限循环小数或有限小数，大于零的实数是正实数，小于零的实数是负实数．
4．把下列各数分别填入相应的集合中：
−π3，−2213，7，3−27，0.324371，0.5，39，−0.4，16，0.8080080008…(相邻的两个8之间依次多一个0)．
(1)无理数集合：{________________________________________…}
(2)有理数集合：{________________________________________…}．
(3)分数集合：{_______________________…}．
(4)负无理数集合：{_____________…}．
【答案】(1)−π3，7，39，−0.4，0.8080080008…（相邻的两个8之间依次多一个0)
(2)−2213，3−27，0.324371，0.5，16
(3)−2213，0.324371，0.5
(4)−π3，−0.4
【分析】此题考查了实数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据无理数，有理数，分数，负无理数的定义求解即可．
【详解】（1）无理数集合：{ −π3，7，39，−0.4，0.8080080008…（相邻的两个8之间依次多一个0)，…}
故答案为：−π3，7，39，−0.4，0.8080080008…（相邻的两个8之间依次多一个0)，
（2）有理数集合：{ −2213，3−27，0.324371，0.5，16，…}
故答案为：−2213，3−27，0.324371，0.5，16，
（3）分数集合：{ −2213，0.324371，0.5，…}
故答案为：−2213，0.324371，0.5，
（4）负无理数集合：{ −π3，−0.4，…}
故答案为：−π3，−0.4，
【考点12 无理数】
1．（25-26八年级上·上海·月考）如果a