第二十一章 四边形（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册+答案

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第二十章 四边形 考点01 四边形及其多边形 四边形及其多边形相关概念：轴对称与轴对称图形的性质：【题型1】多边形的内角和1．八边形的内角和是（　　）A．1440°B．1080°C．900°D．720°2．一个多边形的内角和为540°，则这个多边形有　 　 条边．【题型2】多边形的对角线3．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（　　）A．11条B．10条C．9条D．8条4．与三角形类似，多条线段首尾依次相连就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形，那么任意一个多边形都能分割成三角形，其中的一种方法是连接多边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段就可以将多边形分割成三角形．如连接四边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把四边形分成2个三角形；连接五边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把五边形分成3个三角形；连接六边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把六边形分成4个三角形…按照这种分割方法，连接n边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把n边形分成的三角形个数是（　　）A．n﹣1B．n﹣2C．12n(n−1)D．12n(n−2)5．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形是（　　）边形A．2026B．2025C．2024D．2023【题型3】多边形的内角和与外角和的关系6．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（　　）A．六边形B．八边形C．十边形D．十二边形【题型4】多边形的截角问题7．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（　　）A．三角形B．四边形C．五边形D．三角形或四边形或五边形8．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（　　）A．5或6B．4或5C．3或4或5D．4或5或6考点02 正多边形正多边形的定义：每条边相等，每个内角也相等的多边形叫做正多边形正多边形的相关计算：正多边形的每个内角计算： 因为正多边形的内角和为，每个内角都相等且有个内角，所以正多边形的每个内角度数为：n−2×180°n。正多边形的每个外角计算：正多边形的外角和是360°，每个外角也相等，所以正多边形的每个外角度数为360°n。正多边形的内角与外交关系：180°；【题型1】与正多边形有关的计算9．若一个八边形的每个外角都是x°，则x的值为（　　）A．30B．45C．135D．15010．一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角相等，则这个多边形的一个外角是（　　）A．30°B．45°C．60°D．135°11．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD，EH，AE，DH，AE与DH交于点O，则∠DAO的度数是（　　） 第11题 第12题A．20°B．22.5°C．25°D．30°12．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝　 　 ．【题型2】实际生活与正多边形13．如图，小明从点O出发，前进15m后向右转θ，再前进15m后又向右转θ…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了270m，则θ的度数是（　　）A．10°B．20°C．24°D．30°14．如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（　　）A．6B．7C．8D．9考点03 平行四边形及其性质平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。用符号“▱”来表示。平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”。平行四边形的性质：【题型1】熟悉平行四边形的性质15．关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　）A．对角相等B．对边相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直16．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）A．OA＝OCB．AB＝CDC．AC＝BDD．∠ABC＝∠ADC【题型2】利用平行四边形的性质计算（角度、线段长、坐标、面积、周长）17．如图，点E，F在▱ABCD的对角线AC上，AE＝EF＝CD＝DE，∠ADE＝21°，则∠BCD＝（　　）A．42°B．53°C．59°D．63°18．如图，在▱ABCD中，∠B+∠D＝126°，则∠A的度数是（　　）A．116°B．117°C．118°D．120°19．如图，在▱ABCD中，∠D＝30°，连接AC，点E、F分别在AC、BC上，连接AF、BE交于点G，AF＝BF，∠AEB＝60°，若AG＝2，CF＝8，则BG的长为　 　 ．20．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB＝2，AE＝3，则DE的长为（　　）A．5B．7C．6D．2.521．如图，▱ABCD的对角线交点在原点，若A（﹣1，2），则点C的坐标是（　　）A．（1，﹣2）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣1，﹣2）22．在平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（1，1），C（3，3）．若第一象限内的点M与A，B，C构成平行四边形，则M的坐标为（　　）A．M（3，5）B．M（4，6）C．M（4，7）D．M（5，7）23．如图，E是▱ABCD内任一点．若S▱ABCD＝9，则图中阴影部分的面积为（　　）A．3B．3.5C．4D．4.524．如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD=2cm2，S△BQC=8cm2，则阴影部分的面积为（　　）cm2A．24B．17C．18D．1025．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝34，AB＝10，则△OCD的周长是（　　）A．44B．27C．34D．1726．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为16，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（　　）A．11B．12C．13D．14考点04 平行线间的距离平行线间的距离的定义：一组平行线中，其中一条平行线上任意一点到另一条平行线的距离是这一组平行间的距离。平行线间的距离的性质：①两条平行线间的距离处处相等。②平行线间的平行线段相等。【题型1】求平行线间的距离27．在同一平面内，a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为5，b与c之间的距离为1，则直线a上任意一点P到直线c的距离是（　　）A．4B．6C．4或6D．无法确定【题型2】平行线间距离的应用28．如图，l1∥l2，平行四边形、三角形、梯形放置于l1和l2之间，它们的面积分别记为S1、S2，则下列正确的是（　　）A．S1＞S2＞S3B．S1＝S2＞S3C．S1＞S2＝S3D．S1＝S2＝S329．如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三格平行横线组成，已知相邻两条平行线间的距离都是1，正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为（　　）A．3B．5C．3D．5考点05 平行四边形的判定平行四边形的判定：【题型1】熟悉平行四边形的判定条件30．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OCB．∠ABC＝∠ADC，AB＝CDC．AD∥BC，OB＝ODD．∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠CBD31．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件后，仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）A．AD∥BCB．AD＝BCC．∠ADC＝∠ABCD．AB＝CD32．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（　　）A．两组对边分别相等B．两组对边分别平行C．一组对边平行且另一组对边相等D．对角线互相平分【题型2】平行四边形的判定证明及其判定与性质综合33．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，且∠1＝∠2．求证：四边形AFCE是平行四边形．34．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BA，DC的延长线上，且BE＝DF，连接AF，交BC于点H，连接EC．（1）求证：四边形EAFC是平行四边形；（2）若∠E＝∠D＝65°，求∠AHB的度数．35．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，AC＝12，求AE的长．36．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；②求证：CD＝CH．考点06 三角形的中位线定理三角形中位线的定义：连接三角形任意两边的中点得到的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。几何语言：∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC【题型1】三角形中位线的性质的应用37．如图，已知四边形ABCD中，R、P分别为BC、CD上的点，E、F分别为AP、RP的中点．当点P在CD上从点C向点D移动，同时点R在BC上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（　　）A．线段EF的长先变大再变小B．线段EF的长先变小再变大C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关38．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则△PMN的周长是（　　）A．6B．9C．12D．1839．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB＝CD，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠GEF的大小是（　　）A．25°B．30°C．45°D．35°考点07 特殊平行四边形的性质矩形、菱形及正方形的性质：【题型1】特殊平行四边形的性质的熟悉40．菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（　　）A．邻边相等B．对角相等C．对边平行且相等D．对角线互相平分41．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角相等42．正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（　　）A．对角相等B．对角线互相垂直C．对边平行且相等D．对角线相等【题型2】利用特殊平行四边形的性质求线段长度43．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接DE，交AC于点F，连接OE，若OF＝2cm，则AC的长是（　　）A．12cmB．15cmC．10cmD．9cm44．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值为（　　）A．512B．2.5C．125D．15445．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝12，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE，若CE＝AF，则DE的长为 ．46．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．47．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF．若∠EAF＝45°，AB＝8，BE=14BC，则EF的长为（　　）A．165B．245C．325D．345【题型3】利用特殊平行四边形的性质求角的度数48．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD的角平分线交BC于点E，若∠AOB＝50°，则∠OAE的度数是（　　）A．15°B．20°C．25°D．30°49．如图，BD是菱形ABCD的对角线，作BC的垂直平分线分别交BD、BC于点E、F，连接AE、CE，若∠ABC＝46°，则∠DAE的度数为（　　）A．105°B．108°C．111°D．114°50．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝53°，则∠CEF的度数为（　　）A．13°B．14°C．15°D．16°【题型2】利用特殊平行四边形的性质求点的坐标51．如图，在长方形ABCD中，A（﹣3，1），B（﹣3，﹣2），C（2，﹣2），则点D的坐标为（　　）A．（2，1）B．（3，1）C．（2，﹣1）D．（3，﹣1）52．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点B，C的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点A的坐标是（　　）A．（﹣4，3）B．（﹣5，4）C．(−5，21)D．（﹣5，3）53．如图，坐标系中四边形ABCD是正方形，若点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（2，4），则点C坐标为　 　 ．考点08 特殊平行四边形的判定矩形、菱形及正方形的判定：【题型1】特殊平行四边形的判定的熟悉54．在下列条件中，能够判定▱ABCD是矩形的是（　　）A．AC＝BDB．AD＝BCC．AC⊥BDD．AB∥CD55．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件，不能使▱ABCD成为菱形的是（　　）A．AB＝ADB．AC⊥BDC．BD＝ACD．AC平分∠BAD56．如图，在▱ABCD中，AC⊥BD．添加一个条件，能判定四边形ABCD是正方形的是（　　）A．AB＝BCB．∠ABC＝90°C．∠BAD＝∠DCBD．AD＝BC57．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确的是（　　）A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形D．当AB＝AC时，四边形ABCD是菱形58．如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以下说法正确的是（　　）A．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形B．若AO＝CO，则▱ABCD是菱形C．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形D．若∠ABC＝90°，则▱ABCD是正方形【题型2】矩形的判定证明及其判定与性质的综合59．如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，∠OBC＝∠OCB．求证：平行四边形ABCD是矩形．60．如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AB，E为BC的中点，分别延长AB和DE交于点F，连接AE、CF．求证：四边形BFCD是矩形．61．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，D为BC中点，四边形ACDE是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）过点E作EH⊥AB于点H，若∠HEB＝3∠HEA，求AH的长．62．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形ADFE是矩形；（2）连接OF，若AD＝8，EC＝6，∠BAE＝30°，求OF的长度．【题型3】菱形的判定证明及其判定与性质的综合63．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形．64．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点O为BD的中点，连接CO并延长交AD于点E，EC⊥BD，连接BE．求证：四边形BCDE是菱形．65．如图，已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD的中点，∠BAC＝90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B＝60°，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积．66．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F，连接BE、DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若AB＝6，AD＝8，∠ABD＝90°，求菱形BEDF的面积．【题型4】正方形的判定证明及其判定与性质的综合67．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．求证：矩形ABCD是正方形．68．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝32，求正方形DEFG的边长．69．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．（1）∠EAF＝　 　 °（直接写出结果不写解答过程）；（2）①求证：四边形ABCD是正方形．②若BE＝EC＝3，求DF的长．考点09 直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边的中线的性质：由矩形的对角线的性质可知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。几何语言：在Rt ABC三角形中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，则CD=12AB=AD=BD【题型1】直角三角形斜边上的中线的性质应用70．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°．若AB＝7，BC＝11，则EF的长为（　　）A．112B．72C．4D．271．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　）A．变小B．不变C．变大D．无法判断72．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（　　）A．6B．9C．72D．9073．如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是边AB，AC上的高，M、N分别是线段BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）连接DM，ME，若∠A＝50°，求∠DME．教学目标熟练掌握四边形全章知识点；熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；通过学习本章知识点及解决相关题型锻炼逻辑思维，空间想象能力等。教学重难点重点（1）四边形及其多边形的相关计算；（2）平行四边形的性质及其判定；（3）特殊的平行四边形的性质及其判定；（4）三角形的中位线与直角三角形斜边上的中线。2. 难点（1）平行四边形以及特殊的平行四边形的判定与性质的综合；（2）平行四边形以及特殊的平行四边形中的折叠问题，动点问题，最值问题以及相关模型问题。相关概念四边形多边形概念由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接得到的封闭图形由多条不在同一直线上的线段首尾顺次连接得到的封闭图形边组成四边形或多边形的线段角内角相邻两边构成的加减外角一边与相邻边的延长线构成的夹角顶点相邻两边的公共点对角线连接任意不相邻的两个顶点得到的线段相关计算四边形多边形（n为多边形的边数）一个顶点的对角线/条1n−3所有对角线/条2nn−32一个顶点的对角线把多边形分成三角形的个数2n−2内角和360°n−2×180°外角和360°360°性质符号语言：若四边形ABCD是平行四边形，则图形边平行四边形的两组对边分别平行且相等AD∥BC，AB∥CD角平行四边形的邻角互补，对角相等∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°...对角线平行四边形的对角线相互平分OA＝OC＝12AC，OB=OD=12BD面积平行四边形的面积等于底×高SABCD=AE⋅BC=AF·CD对角线交点过对角线交点的直线平分平行四边形的面积且直线与对边的交点到对角线的交点的距离相等SABFE=SCDEFOE=OF对称性平行四边形是一个中心对称图形元素判定方法与文字语言数学语言图形边一组对边平行且相等的四边形是平行四边形∵ABCD或ADBC∴四边形ABCD是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形∵AB＝CD，AD＝BC∴四边形ABCD是平行四边形角两组对角相等的四边形是平行四边形∵∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD∴四边形ABCD是平行四边形对角线对角线相互平分的四边形是平行四边形∵OA＝OC，OB＝OD∴四边形ABCD是平行四边形性质矩形菱形正方形均含有平行四边形的一切性质边邻边相互垂直AB⊥BC...四条边都相等AD=DC=CB=AB包含平行四边形、矩形、菱形的一切性质角四个角都是直角∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°对角线对角线相等AC=BD,OA=OB=OC=OD对角线相互垂直且平分每一组对角AC⊥BD∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD面积计算邻边的乘积S=AB∙BC对角线乘积的一半S=12AC∙BD对称性既是中心对称图形，又是轴对称图形判定方法矩形菱形直接判定四个角都是直角的四边形是矩形∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB∴四边形ABCD是矩形四条边都相等的四边形是菱形∵AB=BC=CD=AD∴四边形ABCD是菱形平行四边形＋性质有一个角是直角的平行四边形是矩形在▱ABCD中∵∠ABC=90°∴四边形ABCD是矩形邻边相等的平行四边形是菱形在▱ABCD中∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形对角线相等的平行四边形是矩形在▱ABCD中∵AD=BC∴四边形ABCD是矩形对角线相互垂直的平行四边形是菱形在▱ABCD中∵AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形正方形直接判定四条边都相等且四个角也相等的四边形是正方形∵AB=BC=CD=AD∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB∴四边形ABCD是正方形矩形＋特殊性邻边相等的矩形是正方形在矩形ABCD中∵AB=AD∴四边形ABCD是正方形对角线垂直的矩形是正方形在矩形ABCD中∵AC⊥BD∴四边形ABCD是正方形菱形＋特殊性有一个角是直角的菱形是正方形在菱形ABCD中∵∠ABC＝90°∴四边形ABCD是正方形对角线相等的菱形是正方形在菱形ABCD中∵AC＝BD∴四边形ABCD是正方形