专题06 一次函数与实际问题11大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材人教版+答案

这是一份专题06 一次函数与实际问题11大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材人教版+答案，共4页。学案主要包含了项目背景，项目准备，项目实施，实验操作，建立模型，模型优化，设计刻度，知识背景等内容，欢迎下载使用。
知识点01 利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤
1）观察图像，获取有效信息；
2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题.
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围.
知识点02 一次函数应用问题的求解思路
1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解；
2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点；
3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
题型一 阶梯收费问题
【典例1】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）某市出租车采取分段收费方式：起步价为元，即路程不超过千米时收费元，超过部分每千米收费元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
(1)由图像知，__________，__________，__________．
(2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为元，请求出与之间的关系式．
(3)若小明共付车费元，那么出租车共行驶了多少千米？
【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下：
(1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式．
(2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？
【变式2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）．
已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍．
(1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围；
(2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元；
(3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量．
【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元．
(1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？
(2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式．
(3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？
(4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量．
题型二 行程问题的函数图象分析
【典例2】（25-26八年级下·吉林长春·期中）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；
(3)直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题：
(1)乙比甲晚出发 s，乙提速前的速度是每秒 ， ， ；
(2)当为 时，乙追上了甲；
(3)何时乙在甲的前面？
【变式2】（25-26八年级下·重庆·期中）某校“书法社”和“音乐社”两个社团开展课外实践活动．如图①，“书法社”同学骑自行车从中央广场出发前往社区文化站参加书法展，“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从区少年宫出发，途经社区文化站后前往中央广场参加活动（两个社团在社区文化站与中央广场之间沿同一路段行驶），两个社团同时出发且匀速行驶．已知旅游观光车的速度是自行车速度的3倍，如图②表示的是两个社团离社区文化站的距离与行驶时间之间的函数图象．观察函数图象回答下列问题：
(1)“书法社”骑自行车的速度为 ；
(2)求图象中a与b的值；
(3)请求出P点的坐标，并说明点P表示的实际意义．
【变式3】（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·月考）同一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从B地出发，先匀速驶向C地，到达C地后立即调头（调头时间不计），途经B地驶往A地；同时乙车从A地出发匀速驶向B地，途中休息一个小时，两车同时到达各自目的地．两车距C地路程y（）与两车行驶时间x（）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题：
(1)乙车行驶速度是_____，B、C两地相距________千米；
(2)求线段所表示的甲车距C地的路程y（）与x（）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)请直接写出两车出发多长时间相距240千米．
题型三 工程与工作量问题
【典例3】（23-24八年级上·山东德州·期末）为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，我区政府拟对部分公路两旁的人行道地砖，排水管道等公用设施，进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案：
方案一：甲队刚好单独如期完成这项工程；
方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用20天；
方案三：若甲、乙两队合作10天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
(1)完成这项工程的规定日期是多少天?
(2)在不耽误工期的前提下，你觉得以上哪一种方案最节省工程款?请说明理由．
(3)因区政府行动迅速，比原计划提前10天投入施工，因此实际规定的日期比计划多出10天，请你重新设计一种方案，既能在实际规定的日期内完工，又能使工程费用最少，并求出最少费用．
【变式1】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·月考）某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合作天可完成；若甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天也可完成．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)现将该教学楼工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了天，每天需付施工费万元，乙工程队做另一部分工程用了天，每天需付施工费万元，若都是正整数，乙工程队做的时间不到天，求出此项工程总施工费用的最小值．
【变式2】（2020·山东济宁·二模）某县为贯彻落实《中华人民共和国河道管理条例》，对辖区内河道阻水障碍物进行清理．甲、乙两个工程队共同承包此项清理工程，甲队单独施工完成此项工程比乙队单独施工完成此项工程多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
（1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若由甲队先施工天，再由甲、乙两队共同施工天，正好完成该工程，请直接写出与之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若每天需支付甲队费用1000元，每天需支付乙队费用2000元，且完成工作总天数不超过24天，则如何安排甲队先施工天数，使总施工费用最少，并求出最少费用．
【变式3】（2025·吉林四平·模拟预测）某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，先由乙队先单独施工20天后甲队返回，两队又共同施工了60天，甲、乙两队共完成土方量108万立方，这时乙队因故暂时停止施工，由甲队单独完成剩余部分，甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系如图所示．
(1)乙队每天完成土方量多少万立方；
(2)若该公司预计工期100天，甲队能否按期完成剩余部分？
(3)当时，求甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系式；
(4)当甲、乙两个工程队共同完成土方量100万立方时，甲、乙两个工程队哪个队完成的土方量多，多多少？
题型四 最优方案选择问题
【典例4】（25-26八年级下·广东深圳·期中）为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球．已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元．
(1)求排球、足球的单价各是多少元？
(2)根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的．若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用．
【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）为响应深圳市在创建国家级文明卫生城市中，提升绿化档次的政策．宝安区某校计划购进，两种树木共100棵进行校园绿化升级．经市场调查：购买种树木2棵，种树木5棵，共需460元；购买种树木3棵，种树木1棵，共需300元．
(1)求种，种树木每棵各多少元；
(2)因布局需要，购买种树木的数量不少于种树木数量的4倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款种树木按市场价八折优惠，种树木按市场价九折优惠．请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【变式2】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）某健身房推出蛋白能量包和碳水补给包两种食物套餐．套餐中的蛋白粉、燕麦片和水果的质量如下表（不完整）：
调研发现：份蛋白能量包中燕麦片与蛋白粉的总质量比份碳水补给包中燕麦片与蛋白粉的总质量多克，且份蛋白能量包和份碳水补给包中燕麦片的总质量为．
(1)求每份蛋白能量包和碳水补给包中的燕麦片质量；
(2)小凯为自己预订了连续天的运动补给套餐（每天只订一种套餐），为了保证训练需求，要求水果的总质量不高于．小凯应怎样选择这两款套餐，才能使这天的套餐中燕麦片的总质量最少？
【变式3】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案：
方案A：按固定价格进货，每本进价8元；
方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元．
文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本．
设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）．
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)分别写出与，与的函数关系式；
(2)文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由．
题型五 销售利润与成本问题
【典例5】（25-26八年级下·四川成都·期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．
(1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值．
(2)在（1）的条件下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克（为正整数），求超市在不同购买方案下哪种方案可获得的利润最大？最大利润值是多少？
【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息：
根据以上信息，完成下列3个任务：
(1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元．
(2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案．
(3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润．
【变式2】（25-26八年级下·河北邢台·期中）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？
问题解决：
(1)任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式
(2)任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值
(3)任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且），问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含a的代数式表示）
【变式3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）综合与实践
【项目背景】
某乡村合作社现有10公顷种植基地计划全部种植花生，品种可选传统花生或新品种花生，土地不允许空置．
传统花生：每公顷产量，出油率，种子、农资等种植成本约为每公顷9000元．
新品种花生：每公顷可产花生油，出油率的增长率是产量增长率的，种子、农资等种植成本比传统品种增加．
【项目准备】
当前市场花生油收购价为20元/千克，无论哪个品种产出的花生油收购价格一致．若改种新品种，每改造一公顷土地需要一次性投入固定改造费用1100元．合作社本次可用于土地改造与全年农资种植的总预算为万元．
【项目实施】
任务1：基础计算
(1)计算新品种花生的种子、农资等种植成本每公顷为__________元．
(2)求出新品种花生产量的增长率，并求出新品种花生每公顷的产量．
任务2：成本与收益建模
(3)设合作社安排公顷种植新品种，剩余土地种植传统花生，用含的代数式表示第一年总净收益．（总净收益花生油总销售额种植与土地改造总投入）
任务3：最优方案
(4)在预算不超过万的前提下，如何安排种植，才能实现第一年总净收益最大?并求出最大净收益．
题型六 跨学科实际应用
【典例6】（25-26八年级下·北京·期中）某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力与弹簧的伸长量之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表：
请帮该兴趣小组解决下列问题：
(1)处理上表的数据，以弹簧的伸长量为横轴，弹簧弹力为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸长量弹簧受力后的长度弹簧原长度）
①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线；
②写出弹簧弹力与弹簧的伸长量的函数关系式______；（不要求写自变量的取值范围）
(2)如果该弹簧受到超过240N的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由．
(3)设弹簧的劲度系数，同学们拿来两根劲度系数不同的弹簧甲、乙，分别挂上两物块（如图所示），且物块的质量大于物块的质量（质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大），由图可知，甲、乙两弹簧的劲度系数的大小关系为_________．（填“”，“”或“=”）
【变式1】（25-26九年级下·福建福州·期中）综合与实践
刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图．
如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
【建立模型】
小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系．
(1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式．
【模型优化】
经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小．
为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：．
把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表：
对于，计算，同理，的值为的值为．
任务2：
(2)计算任务1得到的函数表达式的值；
(3)写出你认为最优的函数表达式：__________．
【设计刻度】
得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务3：
(4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因．
【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：音乐与函数的关系
【知识背景】：小明计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴．小明查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高．
【数据记录】：小明进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表：
【数据查询】：同时小明通过查阅资料，查找出以下七个音阶与频率对照表．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式．
(2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若小明用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问小明应该在玻璃杯中装多少毫升的水．
(3)研究结束后，小明想利用实验中4个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲出图片中的旋律，在（2）的条件下，请帮他设计一个方案．
【变式3】（2026·天津河西·一模）【物理知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关．
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，．
【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示．
【解决问题】
(1)填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N；
②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N；
③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N；
(2)①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式；
②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式；
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可）
题型七 含参数的实际问题建模
【典例7】（21-22八年级上·重庆南岸·期末）为了切实保护长江生态环境，长江实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：
已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要160元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要140元．
(1)求a，b的值；
(2)老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）．
①求出每天销售获利y（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围：
②元旦节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元（m＞0），草鱼售价全部定为8.5元/斤，为保证元旦节这一天销售这两种鱼获得最小利润，且最小利润为630元，求m的值．
【变式1】（2024·河北邯郸·二模）某地铁一号线全线共28个站点，地铁平均速度1.2千米/分．五一假期甲，乙两人去奥体中心练习游泳，两人住同一小区，甲从小区出发，先用公共自行车骑行5分钟到达地铁站口，已知公共自行车速度是地铁平均速度的，然后进站买票等候a分钟后乘坐地铁，再用时20分钟到达奥体中心，乙直接乘坐私家车去奥体中心，结果他们同时到达．图中折线和线段分别表示甲，乙离开小区的路程与离开时间x（分钟）的函数关系的图象．
(1)求的函数解析式，并求s的值；
(2)当私家车平均速度是地铁平均速度的，求买票等候上车时间a的值．
【变式2】（22-23八年级下·湖北宜昌·期末）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本（万元）与产品数量（件）之间具有一次函数关系：．当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为7万元．
(1)求，的值；
(2)当A，B两城生产这批产品的总成本之和为660万元时，求A，B两城各生产产品多少件？
(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为万元／件和3万元／件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元／件和2万元／件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，若A，B两城总运费之和的最小值为150万元，求的值．
【变式3】（22-23八年级下·河北沧州·月考）甲、乙两个水果店销售同一种苹果．如果购买苹果x千克，甲店付款金额为y元，且，乙店付款金额为元，乙店苹果每千克的价格比甲店高1元，但乙店推出促销活动：若一次性购买a千克以上，超过a千克部分的价格打6折．y关于x的函数图象如图所示．

(1)求k的值，并说出k的实际意义；
(2)求关于x的函数解析式；
(3)小明一次性购买m千克苹果时，发现甲、乙两个水果店的付款金额相差4元，请直接写出符合条件的m的值；
(4)甲水果店也推出了促销活动：对一次性购买25千克及以上苹果的客户按批发价售卖，超过25千克的部分打7折．某超市采购员计划购买n千克苹果，他发现在乙水果店购买更省钱，求n的取值范围．
题型八 图象信息类一次函数应用
【典例8】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为10厘米，6个叠放在一起的纸杯的高为14厘米．
(1)2个纸杯叠放在一起的高为 厘米；
(2)若设x个纸杯叠放在一起的高为y厘米（如图2），并将这x个纸杯叠放在一起按如图3所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度不计．
①求y关于x的函数表达式；
②若竖立的方盒的高为33.5厘米，求x的最大值．
【变式1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）根据以下素材，探索完成任务
【变式2】（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示．
(1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________；
(2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间；
(3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围．
【变式3】（24-25八年级下·海南海口·期中）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕．该个体户根据本次销量情况进行了跟踪记录，根据记录的数据绘制出函数图象，其中日销售量（千克）与销售时间（天）之间的函数关系如图①所示，销售单价（元）与销售时间（天）之间的函数关系如图②所示（日销售金额日销售单价日销售量）．
(1)求出与之间的函数表达式．
(2)求出第15天的销售金额．
题型九 表格信息类一次函数应用
【典例9】（25-26八年级下·河北沧州·月考）综合与实践
【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将58辆购物车从一层转运到负一层．
【相关素材】
素材1：如图1，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．下表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系（部分数据不完整）：
素材2：如图2，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内．
【问题解决】
(1)根据表格信息，求购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的函数关系式；
(2)将表格补充完整：①处应填________，②处应填________，③处应填________；
(3)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由．
【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）“水钟”是我国古代原始的计时工具，如图1，水从上面的多个贮水壶中慢慢流入下方的受水壶，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”），漏箭上标有表示时间的刻度，随着漏水量的增加，受水壶中的浮子会均匀升高．某数学实践小组仿制了如图2所示的一个类似“水钟”的实验装置进行模拟实验，实验开始前圆柱容器中有一定高度的水．
表格记录了圆柱容器内水面高度（厘米）与时间（时）的一些变化情况：
(1)圆柱容器内水面的高度每小时上升________厘米，刚开始容器内水面的高度是________厘米；
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表格的各点，作出与的函数图象，并判断容器内水面高度（厘米）与时间（时）符合一次函数关系吗？
(3)已知圆柱容器内壁深50厘米，实验小组早上8时开启装置进行计时实验，第二天早上8时水是否会溢出容器？请通过计算说明．
【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）【问题情境】排箫是中国的传统乐器，如图①，它由长短不同的竹管组成，现用吸管模拟排箫探索这一乐器的“音”．
【实验操作】将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关仪器测得吸管另一出口发出声音的振动频率，不同长度吸管吹出声音的频率的部分数据如表1：
【补充材料】材料一：在到40℃范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：℃）的关系如表2：
表1
表2
材料二：声音的频率（单位：Hz）是指声波每秒振动的次数．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是．
材料三：声音的波长（单位：）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离．声音的频率和波长与声音的传播速度（单位：）满足公式：．
【探索发现】（1）请你根据实验操作中的表格数据，在图②中描点、连线．观察图象发现，吸管越短，振动频率越__________（填“高”或“低”）．
（2）当气温为10℃时，声速为____________；当声速为时，气温为____________℃．
（3）根据材料一中的表格数据，求声速与气温之间函数的关系式（不要求写出的取值范围）．
【实际应用】（4）目前国际通用的钢琴标准音A4频率为，在气温为23℃的情况下，求钢琴标准音A4的波长．
【变式3】（21-22八年级下·山东德州·期末）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式，设一个月内使用移动电话主叫的时间为x分钟（x≥0），方式一，方式二的月使用费分别为y1元，y2元，两种计费方式被叫均免费．其中方式一月使用费详情见如表，方式二的月使用费y2元与主叫时间x分钟的函数图像如图所示．
方式二
(1)根据题意填表：
表格一：
表格二
(2)结合图像信息，求y2与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)选用哪种计费方式花钱少．
题型十 新情境问题
【典例10】（25-26八年级下·福建漳州·期中）项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案
为响应科技强国、人工智能发展的社会热点，某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购智能机器人模型与科创文具作为奖品，激励积极参与科普活动的学生．
学校决定购买款智能机器人模型和款科创笔记本共件，已知款机器人模型单价元/件，款科创笔记本单价元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务：
任务一：建立总费用函数模型
(1)设购买款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与款机器人模型数量之间的函数关系式．
任务二：实际采购费用核算
(2)若本次科普展计划购买件款智能机器人模型，剩余奖品均为款科创笔记本，请计算本次采购的总费用．
任务三：最优采购方案设计
(3)结合活动预算与奖品购置要求，规定款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用．
【变式1】（25-26八年级下·河南周口·期中）第六届亚洲沙滩运动会，是由亚奥理事会主办的沙滩类综合性体育运动会，于年月日至日在中国海南省三亚市举行．某工厂收到加工赛事挡板的订单，该工厂有两种设备加工挡板，已知用台型设备和台型设备，每天可加工块挡板，用台型设备和台型设备，每天可加工块挡板．
(1)求台型设备和台型设备每天分别可以加工多少块挡板；
(2)该工厂计划使用两种设备共台完成此订单，要求型设备的数量不低于型设备的，则该工厂应该怎样分配，才能使每天生产的挡板数量最多，是多少？
【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，需要五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根门条长y是胸腹高的一次函数，且当时，；当时，．单根门条比单根膀条短，图1中、的长均等于胸腹高．单根尾条的长度与总高满足，所有竹条长度单位统一为厘米．
请解答以下问题：
(1)求门条长度关于胸腹高的函数表达式；
(2)①单根膀条的长度为______(用含的式子表示)；单根尾条的长度为______(用含的式子表示)；
②在实际制作过程中，要求门条中的不小于的倍，制作风筝的膀条单根长度不超过．求的取值范围？
(3)费师傅是北京有名的京燕风筝手艺人，其加工门条、膀条、尾条的单价分别元/、元/、元/．从函数的角度分析，求制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用是多少元？
【变式3】（25-26八年级下·重庆·月考）春纳新喜，岁律回周．某厂家推出的“马跃新程”新春文创礼盒深受人们的喜爱．某商店准备购进其中的“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫两种文创品．已知每个“萌能陪伴”手机支架比“艺蕴流光”杯垫进价多15元，用3500元购进“萌能陪伴”手机支架的数量与用2000元购进“艺蕴流光”杯垫的数量相同．
(1)“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫每个的进价各是多少元？
(2)若该商店计划购进“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫共300件，“艺蕴流光”杯垫的数量不超过“萌能陪伴”手机支架数量的2倍．设购进“萌能陪伴”手机支架个（）．请问购进“萌能陪伴”手机支架多少个时，可使总进价最低？最低总进价是多少元？（请用函数的相关知识求解）
题型十一 新考法问题
【典例11】（25-26八年级上·河南·期中）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？
素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计．
素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示．
素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为．
素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的．
请根据以上素材，解答下列问题：
(1)如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
(2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式，直接写出x的取值范围；
(3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度．
【变式1】（22-23八年级上·浙江温州·期末）探究通过维修路段的最短时长，素材1：如图1，某路段（段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯）．
素材2：甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过AB，BC，CD段的时间分别为，，，它的路程y（m）与时间t（s）的关系如图2所示；两车经过BC段的速度相等，乙车经过AB段的速度是．
素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段．
【任务1】求段的总路程和甲车经过段的速度．
【任务2】在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程y（m）与时间t（s）之间的函数图像．
【任务3】丙车沿方向行驶，经段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯的车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，问丙车在段从开始等待至离开点A至少需要几秒钟？
【变式2】（2025·北京·模拟预测）为了解某款饮水机的工作原理与用电情况，综合实践活动小组展开了以下研究．
【问题背景】
如图1，某饮水机内有两个不同大小的立方体水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱的水位为时1号管启动，将乙箱中的水（此时乙箱水满）匀速注入甲箱．甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，两水箱分别注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）．
【解决问题】
小明根据研究过程分别绘制了甲、乙水箱的水位关于时间的函数图象，如图2所示
根据以上信息，回答下列问题：
(1)图中表示甲的函数图象的是_________（填①或②）；
(2)图中a的值为_________，b的值为_________；
(3)当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______；
当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______；
(4)为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.06度，另外每根水管工作1分钟均耗电0.01度，则图2中从到的整个过程中所消耗的电量为_________度．
【变式3】（2024·广西·三模）【综合与实践】
【问题背景】
如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景．
如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置．
【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表：
【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
【问题解决】
(1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
(2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？
(3)经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值；
期末基础通关练（测试时间：15分钟）
1．（23-24八年级下·上海闵行·期中）甲、乙两位同学一次晨跑的路程S（米）与时间t（分）的关系如图所示．已知他们从同一地点出发，跑步的路线和总路程（1500米）也相同，其中甲先出发，途中由于鞋子问题耽误了一些时间．图中．根据图形所提供的信息，回答下列问题：
(1)甲在途中耽误了______分钟；
(2)乙跑步的速度是______米/分；
(3)如果甲想与乙同时到达终点，那么他在解决鞋子问题后速度应提高到______米/分．
2．（2026·贵州·模拟预测）年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等．
(1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？
(2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润．
3．（25-26八年级下·河南郑州·期中）“一窟一世界，一壁一史书”，洛阳龙门石窟，文化底蕴深厚．某校同学分三个小组进行“石窟中的文化”的项目式学习研究，第一小组负责调查龙门石窟的历史及结构特点，第二小组负责研究石窟中蕴含的数学知识，第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
龙门石窟位于河南省洛阳市，始建于北魏孝文帝时期，现有2345座佛龛，十万余尊造像，2800余块碑刻题记，是世界上建造时间最长、造像最多、规模最大的石窟，与敦煌莫高窟、大同云冈石窟并称为中国三大石窟．
【数学情境】
龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．下面是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）：
店员说：“这次进货，B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元．”
【建立模型】
请你解决下列问题．
(1)求A，B两款文创产品的进货单价各是多少元．
(2)已知A款文创产品每件的售价为110元，B款文创产品每件的售价为85元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？
4（25-26八年级下·山东青岛·期中）某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时．两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：
注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费．
(1)设该批发商待运的海产品有x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），试求y1和y2与x的函数关系式；
(2)若该批发商待运的海产品不少于45吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？
期末重难突破练（测试时间：20分钟）
1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）杆秤是中国人发明的人类最早的衡器．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”．
设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为．根据杠杆原理，可得：．已知．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．）
(1)随着的变化而变化，求出关于的函数表达式．
(2)在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离．
(3)在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不变．
①在下列选项中，能使称重范围变大的有___________（填写所有正确的选项）
A．提纽的位置向左移 B．提纽的位置向右移
C．秤砣的质量变小 D．秤砣的质量变大
②若将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为___________．
③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，则生锈秤砣的质量为___________．
2．（22-23八年级下·广东佛山·期末）某果园实验基地推广甲、乙两种芒果苗，已知乙种芒果苗比甲种芒果苗每株贵元，且用元钱购买甲种芒果苗的株数与用元钱购买乙种芒果苗的株数刚好相同．
(1)求甲、乙两种芒果苗每株的价格；
(2)果农准备从甲、乙两种芒果苗中选购一种，已知购买数量相同且数量不少于株，该果园实验基地负责人可给予以下优惠：购买甲种芒果苗每株按原售价九折优惠；购买乙种芒果苗，不多于株按原售价付款不优惠，超过株每株按原售价五折优惠请帮助果农判断购买哪种芒果苗更省钱．
(3)果农计划购买甲、乙两种芒果苗共株调查统计发现，甲、乙两种芒果苗的成活率分别为、，要使这批芒果苗的成活率不低于，且使购买芒果苗的费用最低，应如何选购芒果苗？最低费用是多少？
3．（2023·四川内江·中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值．
专题06 一次函数与实际问题（期末复习讲义）
内 容 导 航
明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径
记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区
破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲
题型一 阶梯收费问题：★★★
题型二 行程问题的函数图象分析：★★★
题型三 工程与工作量问题：★★
题型四 最优方案选择问题：★★★
题型五 销售利润与成本问题：★★★
题型六 跨学科实际应用：★★★
题型七 含参数的实际问题建模：★★★
题型八 图象信息类一次函数应用：★★★
题型九 表格信息类一次函数应用：★★
题型十 新情境问题：★★★
题型十一 新考法问题：★★★
过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点
复习目标
考情规律
分段函数的实际应用
能根据实际情境（如收费、行程）建立分段函数模型，并求解
中档高频考点，常出现在解答题中，需注意分段区间的划分
方案选择问题（成本 / 利润最优）
能建立一次函数模型，分析不同方案的成本或利润，选择最优方案
期末压轴常考题，需结合自变量的取值范围讨论最值
行程问题中的一次函数
能从行程图象中提取信息，建立函数关系并求解速度、时间、路程
数形结合高频考点，需注意图象的横纵坐标意义
工程 / 工作量问题的一次函数
能根据工作效率、时间、总量的关系，建立一次函数模型
中档应用题，常结合实际情境考查函数建模能力
销售利润问题的一次函数
能建立利润关于销量 / 单价的一次函数，分析利润变化趋势
中档常考点，需注意自变量的实际限制条件
跨情境综合应用（如物理、生活场景）
能将实际情境转化为一次函数模型，解决复杂实际问题
培优拔高考点，考查建模能力与跨学科应用能力
外卖送单数量
补贴（元／单）
每月不超过500单
3.5
超过500单但不超过900单的部分
5
超过900单的部分
8
食物套餐
蛋白粉/
燕麦片/
水果/
蛋白能量包
碳水补给包
冰箱贴购进单价信息
商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息：
记录单
型冰箱贴（个）
型冰箱贴（个）
总费用（元）
记录单
记录单
文创店销售信息
信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元．
信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元．
如何选择合适的种植方案？
素
材
1
某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．
素
材
2
甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元．
弹簧受到的弹力（）
弹簧的长度（）
弹簧受到的弹力（）
弹簧的伸长量（）
0
1
2
3
4
观察值
0
1
2
3
4
观察值
0
1
2
3
4
观察值
10
5
2
水位高度
5
10
15
20
25
频率
500
420
340
260
180
音阶
频率





440
进价（元/斤）
售价（元/斤）
鲢鱼
a
6
草鱼
b
销量不超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
9
8.5
探究通过维修路段的最短时长
素材
如图，某路段段需要维修，临时变成双向交替通行，故在，处各设置红绿灯指导交通仅设置红灯与绿灯．
素材
甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过，，段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是．
素材
红绿灯，每秒一个循环，每个循环内红灯，绿灯的时长如图，且每次双向红灯时，已经进入段的车辆都能及时通过该路段．
问题解决
任务
甲车经过段的速度为______；
任务
在图中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图象；
任务
丙车沿方向行驶，经过段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，设红绿灯由绿灯变为红灯后的秒后丙车到达，丙车在段从开始等待至离开点需要秒，求关于的解析式；
购物车数量x/辆
1
2
3
4
5
6
7
…
③
…
车身总长y/米
①
②
…
…
时间（时）
…
1
2
3
4
5
…
圆柱容器内水面高度（厘米）
…
3
5
7
9
11
…
长度
200
150
120
100
80
60
50
振动频率
435
580
725
870
1087.5
1450
1740
气温
0
10
20
30
声速
325
331
337
343
349
月使用费/元
主叫限定时间/分钟
主叫超时费/（元/分钟）
被叫
方式一
38
120
0.1
免费
主叫时间x分钟
x＝100
x＝320
x＞120
方式一计费/元
y1＝
月使用费/元
主叫限定时间/分钟
主叫超时费/（元/分钟）
被叫
方式二
360
免费
双层部分的长度
2
6
10
…
单层部分的长度
116
108
100
…
记录时间
流水时间
0
10
20
30
40
水面高度
30
29
28.1
27
25.8
序号
规格
单位
数量
单价
金额
1
A款
件
28
■
共4190
2
B款
件
30
■
运输工具
运输费单价（元/吨·千米）
冷藏费单价（元/吨·小时）
过路费（元）
装卸及管理费（元）
汽车
2
5
200
0
火车
1.8
5
0
1600
水果种类
进价（元千克）
售价（元）千克）
甲
a
20
乙
b
23