2026年四川省遂宁市船山区九年级中考二模数学试题（含解析）

这是一份2026年四川省遂宁市船山区九年级中考二模数学试题（含解析）试卷主要包含了76×10⁶ 吨， 在平面直角坐标系中，已知点A等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共12小题）
1. 年月，宁波舟山港即使受到台风影响，铁矿石吞吐量仍然超过了万吨，环比上升．其中万吨用科学记数法表示为（ ）
A. 吨B. 吨C. 吨D. 吨
【答案】B
【解析】
【详解】解：万吨吨=7.76×10⁶ 吨
2. 如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（ ）
A. 60°B. 120°C. 30°D. 15°
【答案】A
【解析】
【分析】先根据对顶角相等求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵∠1=120°，∠1与∠3是对顶角，
∴∠1=∠3=120°，
∵直线a∥b，

故选：A．
本题考查的是对顶角的性质，平行线的性质，掌握“两直线平行，同旁内角互补”是解本题的关键．
3. 在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，3）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A. （﹣4，﹣3）B. （4，3）C. （4，﹣3）D. （﹣4，3）
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数解答．
【详解】解：∵点A（﹣4，3），点A与点B关于原点对称，
∴点B（4，﹣3）．
故选C．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记“关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数”是解题的关键．
4. 下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（ ）
A. 正方体B. 正四棱锥
C. 圆柱D. 球
【答案】B
【解析】
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．
【详解】解：A.正方体的主视图与俯视图都是正方形，此选项不符合题意；
B. 正四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的正方形，此选项符合题意；
C. 圆柱的主视图与俯视图都是长方形，此选项不符合题意；
D. 球的主视图与俯视图都是圆，此选项不符合题意；
故选：B．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
5. 使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵有意义
∴
解得：
在数轴上表示为：
6. 如图，四边形内接于圆O，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是求出的度数和得出．
根据圆周角定理求出的度数，根据圆内接四边形的性质得出，代入求出即可．
【详解】解：∵对的圆周角是，圆心角是，，
∴，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴，
∴，
故选：C．
7. 如果等腰三角形的周长为16，那么这个等腰三角形腰长x的取值范围是（ ）
A. x＞3B. x＜6C. 3＜x＜6D. 4＜x＜8
【答案】D
【解析】
【分析】由等腰三角形的周长是16，腰长为x，可得底边长为：16﹣2x，然后由三角形三边关系可得2x＞16﹣2x，由底边大于0可得16﹣2x＞0，继而求得答案．
【详解】∵等腰三角形的周长是16，腰长为x，
∴底边长为：16﹣2x，
∴，解得：4＜x＜8．
故选D．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系以及不等式组的应用，利用三角形的三边关系得到关于x的不等式组是解题的关键．
8. 已知一次函数的图象如图所示，则与的图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得，从而得到一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比函数的图象位于第一、三象限内，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比函数的图象位于第一、三象限内．
故选：A
本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
9. 小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）
A. 31元B. 30元C. 25元D. 19元
【答案】A
【解析】
【分析】设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价=单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y=x+7，再将其代入5x+3y+10-8x中即可求出结论．
【详解】设每支玫瑰x元，每支百合y元，
依题意，得：5x+3y+10=3x+5y-4，
∴y=x+7，
∴5x+3y+10-8x=5x+3（x+7）+10-8x=31．
故选A．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
10. 将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A. 98B. 100C. 102D. 104
【答案】B
【解析】
【分析】观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行第一个数，故可求解．
【详解】观察数字的变化可知：
第n行有n个偶数，
因为第1行的第1个数是： ；
第2行的第1个数是： ；
第3行的第1个数是：；
…
所以第n行的第1个数是： ，
所以第10行第1个数是：，
所以第10行第5个数是： ．
故选：B．
本题考查了数字的规律探究，推导出一般性规律是解题的关键．
11. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．正确的有（ ）
A. 只有①B. ①②C. ①③D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】先根据正方形的性质和中位线定理证明图中所有三角形是等腰直角三角形，再证明四边形MPEB是平行四边形但不是菱形，最后再证明四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO＝∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD、△BCD是等腰直角三角形，
∵，
∴∠APF＝∠APE＝90°，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，CE＝BC，CF＝CD，
∴ CE＝CF，
∵∠C＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EFBD，EF＝BD，
∴∠APE＝∠AOB＝90°，∠APF＝∠AOD＝90°，
∴△ABO、△ADO是等腰直角三角形，
∴AO＝BO，AO＝DO，
∴BO＝DO，
∵M，N分别为BO，DO的中点，
∴OM＝BM＝BO，ON＝ND＝DO，
∴OM＝BM＝ON＝ND，
∵∠BAO＝∠DAO＝45°，
∴由正方形是轴对称图形，则A、P、C三点共线，PE＝PF＝EF＝ON＝BM＝OM，
连接PC，如图，
∴NF是△CDO的中位线，
∴NFAC，NF＝OC＝OD＝ON＝ND，
∴∠ONF＝180°－∠COD＝90°，
∴∠NOP＝∠OPF＝∠ONF＝90°，
∴四边形FNOP是矩形，
∴四边形FNOP是正方形，
∴NF＝ON＝ND，
∴△DNF是等腰直角三角形，
∴图中的三角形都是等腰直角三角形；
故①正确，
∵PEBM，PE＝BM，
∴四边形MPEB是平行四边形，
∵BE＝BC，BM＝OB，
在Rt△OBC中，BC＞OB，
∴BE≠BM，
∴四边形MPEB不是菱形；
故②错误，
∵PC＝PO＝PF＝OM，∠MOP＝∠CPF＝90°，
∴△MOP≌△CPF（SAS），
∴
，
故③正确，
故选：C
此题考查了七巧板，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键．
12. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根．
【详解】解：①抛物线图象开口向上，
，
对称轴在直线轴左侧，
，同号，，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故①正确．
②，
当时，由图象可得，
当时，，由图象可得，
，即，
故②正确．
③，，
，
点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，
，
故③错误．
④抛物线的顶点坐标为，
，
，
无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系．
二．填空题（共6小题）
13. 分解因式：____．
【答案】
【解析】
【分析】直接提公因式分解即可．
【详解】解：
故答案为：
此题主要考查了因式分解，注意分解要彻底．
14. 分式方程的解是________
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可求解；
【详解】解：方程两边同时乘以2x(x+1)，得
3(x+1)=4x
3x+3=4x
x=3，
检验：把x=3代入2x(x+1)=2×3(3+1)=24≠0，
∴原分式方程的解为：x=3．
故答案为：x=3．
本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是将分式方程转化成整式方程求解，注意：解分式方程一定要验根．
15. 如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．
【详解】解：在中，
∵，
∴．
在中，
．
故答案为：10．
本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键．
16. 半径为，则圆心角为的扇形周长是_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：扇形周长弧长
17. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴
18. 如图，菱形的周长为8，，点M为边的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当是直角三角形时，的长度为_____．
【答案】或1
【解析】
【分析】根据菱形的周长为8，可得菱形的边长为2，根据翻折的性质可得，根据题意分两种情况进行讨论：①当时，根据菱形的性质可得，，从而得到，，根据直角三角形的性质求得的值；②当时，点E落在菱形对角线上，推出为等边三角形，从而得到的值．
【详解】解：∵菱形的周长为8，
∴，
∵点M为的中点，
∴．
由翻折可知，
∴．
①当时，
∵菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
②当时，
则：点E落在菱形对角线上，
∵点M为的中点，为折痕，此时于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
当或1时，是直角三角形．
故答案为：或1．
本题考查了菱形的性质，翻折变换，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．解题关键是熟练掌握各个知识点．
三．解答题（共8小题）
19. 计算：；
【答案】
【解析】
【分析】先求出特殊角的三角函数值：，然后根据二次根式的性质：，化简，再根据负整数指数幂： （， 为正整数），可求出 ，再根据零指数幂： （），可得，最后将它们的结果代入求值即可。
【详解】解：原式
20. 化简求值，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，因式分解．熟练掌握分式的化简求值，整体代入是解题的关键．
先通分计算括号，然后进行因式分解，计算除法，可得化简结果，最后整体代入计算求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
21. 已知，，，试问与相等吗？请说明理由．
【答案】相等，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论．
【详解】解：与相等，理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
22. 某中学为了解学生每学期诵读经典的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：
请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了__________名学生；表中_________，_________，_________．
（2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数．
（3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率
【答案】（1）50 ，，
（2）众数为4，平均数为
（3）
【解析】
【分析】对于（1），先求出总数，根据总数×频率求出a，再根据频数÷总数求出b，最后用1分别减去三组数据的频率求出c即可；
对于（2），根据众数和平均数的定义解答即可；
对于（3），列出所有可能出现的结果，再根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
12÷0.24=50，，，；
故答案为：50 20，0.28，0.08；
【小问2详解】
∵阅读量为4本的同学最多，有20人，
∴众数为4；
平均数为；
【小问3详解】
记男生为A，女生为，，，列表如下：
∴由表可知，在所选2名同学中共有12种选法，其中必有男生的选法有6种，
∴所求概率为：．
本题主要考查了频数分布表，求众数和平均数，列表（树状图）求概率等，掌握定义和计算公式是解题的关键．
23. 已知：如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，连接，是的切线，与的延长线相交于点D．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】
【分析】（1）由切线的性质得到，即，然后由得到，推出，等量代换证明即可；
（2）连接，由垂径定理得到，，证明，得到，即可得到．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
24. 小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第天（且为整数）时每盒成本为元，已知与之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为盒，与之间的关系如下表所示：
（1）求与的函数关系式；
（2）若每天的销售利润为元，求与的函数关系式；
（3）请你帮小张求出第几天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？
【答案】（1）
（2）
（3）第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元
【解析】
【分析】（1）设，然后根据第3天和第7天的成本利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据销售利润=每盒的利润×盒数列出函数关系式；
（3）根据（2）的关系式，利用一次函数的增减性和二次函数的最值问题求解．
【小问1详解】
解：设，
第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，
，
解得，
；
【小问2详解】
解：当时，，
当时，，
与的函数关系式为；
【小问3详解】
解：当时，
，
随的增大而减小，
当时，最大为，
当时，，
当时，最大为361，
综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元．
本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，正确读懂题意，掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键．
25. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为__________．
(2)当时，求的最小值．
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC ，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．

【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25
【解析】
【分析】（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于-x＞0，-＞0，则也可以按照公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将的分子分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】解：（1）当x＞0时，
当x＜0时，
∵
∴
∴当时，的最小值为2；当时，的最大值为-2；
（2）由
∵x＞0，
∴
当 时，最小值为11；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD
∴x：9=4：S△AOD
∴：S△AOD=
∴四边形ABCD面积=4+9+x+
当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．
本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．
26. 如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②存在，或．
【解析】
【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①，即可求解；
②分点P在直线BC下方，则H点在BC的垂直平分线上，求出其垂直平分线及CD的直线方程求出交点H,从而求出BP的方程，并与二次函数联立即可求解.
点P在直线BC上方时，BP与CD平行求出BP的方程，并与二次函数联立即可求解．
【详解】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：…①，
令，则或，
即点；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：…②，
设点，则点，
，
，有最大值，当时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
，点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：，将点代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：…③，
同理直线CD的表达式为：…④，
联立③④并解得：，即点，
同理可得直线BH的表达式为：…⑤，
联立①⑤并解得：或（舍去），
故点；
当点在直线BC上方时，
，，
则直线BP′的表达式为：，将点B坐标代入上式并解得：，
即直线BP′的表达式为：…⑥，
联立①⑥并解得：或（舍去），
故点；
故点P的坐标为或．
本题考查的是二次函数综合运用，熟练掌握计算法则是解题关键.等级
一般
较好
良好
优秀
阅读量/本
3
4
5
6
频数
12
a
14
4
频率
0.24
0.40
b
c
A
A
第x天
每天的销售量y/盒
10