3.5利用导数证明不等式（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.5  利用导数证明不等式

【题型解读】

【知识储备】

1.导数证明不等式方法：

（1）构造单函数求最值证明不等式；

（2）构造双函数比较最值证明不等式；

（3）参变分离转化为具体函数最值证明不等式；

（4）不等式放缩证明不等式；

（5）双变量不等式证明转化为单变量不等式证明。

2.常用不等式的生成

在不等式“改造”或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与、有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与、有关的常用不等式的生成．

（1）生成一：利用曲线的切线进行放缩

设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．

设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．

利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数．

生成二：利用曲线的相切曲线进行放缩

由图可得；由图可得；由图可得，（），（）；由图可得，（），（）．

综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式：

与有关的常用不等式：

（1）（）；

（2）（）．

与有关的常用不等式：

（1）（）；

（2）（）；

（3）（），（）；

（4）（），（）．

用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式．

【题型精讲】

【题型一　构造单函数证明不等式】

方法技巧    构造单函数证明不等式

待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．

例1　（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.

【题型精练】

1．（2022·天津·崇化中学期末）已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（1）求、的值；

（2）证明：当，且时，．

2. （2022·山东济南高三期末）设函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当且时，证明：．

【题型二　构造双函数比较最值证明不等式】

方法技巧   构造双函数比较最值证明不等式

若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x与ex，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．

例2　（2022·山东青岛高三期末）设函数，曲线在点处的切线方程为

（I）求

（II）证明：

【题型精练】

1．（2022·天津市南开中学月考）已知函数f(x)＝aln x＋x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a＝1时，证明：xf(x)<ex.

2. （2022·安徽省江淮名校期末）已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.

【题型三　放缩法证明不等式】

方法技巧  放缩法证明不等式

导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号．(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．

例3　（2022·河南高三期末）已知函数f(x)＝aex－1－ln x－1.

(1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)证明：当a≥1时，f(x)≥0.

【题型精练】

1．（2022·广东·高三期末）已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）解关于的不等式

【题型四　双变量不等式证明】

方法技巧   双变量不等式证明

对于两个未知数的函数不等式问题，其关键在于将两个未知数化归为一个未知数，常见的证明方法有以下4种：

方法1：利用换元法，化归为一个未知数

方法2：利用未知数之间的关系消元，化归为一个未知数

方法3：分离未知数后构造函数，利用函数的单调性证明

方法4：利用主元法，构造函数证明

例4　（2022·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末）已知函数．

⑴讨论的单调性；

⑵若存在两个极值点，，证明：．

【题型精练】

1.（2022·全国高三课时练习）已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝xlnx－m(x2－1)(m∈R)．

(1)若函数f(x)，g(x)在区间(0，1)上均单调且单调性相反，求实数m的取值范围；

(2)若0＜a＜b，证明：＜＜．

2. （2022·全国高三课时练习）已知函数f(x)＝ax2－x－ln．

(1)若f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝2x＋1平行，求f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若函数f(x)在定义域内有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)＜2ln2－3．

【题型五　数列不等式证明】

例5　（2022·辽宁省实验中学分校高三期末）已知函数.

（1)若，求的值

（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值.

【题型精练】

1. （2022·江苏·昆山柏庐高级中学期末）设函数，，，其中是的导函数．

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）设，比较与的大小，并加以证明．