2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第十章10.1计数原理与排列组合(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第十章10.1计数原理与排列组合(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了1　计数原理与排列组合，两个计数原理，排列与组合的概念，排列数与组合数，排列数、组合数的公式及性质，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m＋n种不同的方法.
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.
2.排列与组合的概念
3.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号Anm表示.
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号Cnm表示.
4.排列数、组合数的公式及性质
【名师点拨】
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.
(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.
(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.
2.排列数、组合数常用公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq \\al(m－1,n).
(2)Aeq \\al(m,n)＝nAeq \\al(m－1,n－1).
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(4)kCeq \\al(k,n)＝nCeq \\al(k－1,n－1).
(5)Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m,n－1)＋…＋Ceq \\al(m,m＋1)＋Ceq \\al(m,m)＝Ceq \\al(m＋1,n＋1).
3.解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)“小集团”排列问题先整体后局部.
(9)构造模型.
(10)正难则反，等价转化.
【随堂训练】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )
(3)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( )
(4)若组合式Ceq \\al(x,n)＝Ceq \\al(m,n)，则x＝m成立.( )
2.从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有 种选法( )
A.11B.12
C.30D.36
3.(多选)下列结论正确的是( )
A.3×4×5＝A53
B.C52＋C53＝C62
C.若C10x＝C102x−2，则x＝3
D.C70＋C72＋C74＋C76＝64
4.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有 条.
【必练核心题型】
题型一 计数原理
【典例】1.用3种不同颜色给如图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有_________种不同的涂色方案( )
A.243B.32
C.48D.1 280
【典例】2.如图，在某海岸P的附近有三个岛屿Q，R，S，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥直线连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有( )
A.24种B.20种
C.16种D.12种
【变式训练】
变式1.某高中运动会设有8个项目，甲、乙两名学生每人随机选取3个项目报名参加，则至少选中2个相同项目的报名方法有( )
A.420种B.840种
C.476种D.896种
变式2.如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为1~8号.若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有( )
A.68种B.136种
C.272种D.544种
题型二 排列、组合问题
【典例】1.甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有( )
A.27种B.18种
C.36种D.48种
【典例】2.某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖和鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是( )
A.15B.18
C.22D.26
【变式训练】
变式1.(2025·德阳模拟)甲、乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲、乙两名同学中间恰有1人，则不同的站法数为( )
A.144B.192
C.360D.480
变式2.某学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则两个小组不同的分配方案有( )
A.20种B.40种
C.60种D.80种
题型三 排列、组合的综合问题
命题点1 相邻、相间问题
【典例】1.(多选)某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，现将5道工序按不同的顺序安排流程，则下列说法正确的是( )
A.如果甲工序不能放在第一道，共有96种加工顺序
B.如果甲、乙两道工序必须相邻，共有12种加工顺序
C.如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有72种加工顺序
D.如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有40种加工顺序
命题点2 定序问题
【典例】2.花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法种数为 .
命题点3 分组、分配问题
【典例】3.第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月16~22日在重庆市育才中学成功举办.在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加.若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有( )
A.108种B.114种
C.150种D.240种
【变式训练】
变式1.8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，则所有可能的分组方案数量是( )
A.28B.2 520
C.105D.128
变式2.(多选)身高各不相同的六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，则说法正确的是( )
A.A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B.A与C同学不相邻，共有A44A52种站法
C.A，C，D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D.A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
【拓展训练】
递推数列在计数原理中的应用
在计数原理中，当计数的基数较大时，用枚举法会显得非常困难.如果问题带有明显的递推特征，把此类计数问题的基数从有限个且数目很少推广到n个，运用数列知识建立递推关系，经过推广就可以解决这类计数问题.
【典例】1.有A1，A2，…，A6共六个人，他们的座位分别为B1，B2，…，B6，现在求每一个人坐一个座位，且都不坐自己座位，则共有 种不同的坐法( )
A.9B.16
C.44D.265
【典例】2.如图，一个环形的大会场被分成了n个区域，现有k种不同颜色的服装提供给n个区域的观众，要求同一区域的观众着装颜色相同，且相邻区域的观众着装颜色不同.当k＝5，n＝6时，共有 种不同的着装方法.
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2024·徐州模拟)甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有( )
A.18种B.48种
C.108种D.192种
2.已知A，B两个公司承包6项工程，每项工程均被承包且至多被一个公司承包，每个公司至少承包2项，则承包方式共有( )
A.24种B.70种
C.48种D.50种
3.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，则这样的排法种数是( )
A.5 040B.36
C.18D.20
4.(2025·南京模拟)北京大兴国际机场拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题.现有3辆不同的车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有______种( )
A.16B.18
C.24D.32
5.将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的情况种数是( )
A.10B.20
C.18D.40
6.有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是( )
A.90B.150
C.390D.420
7.把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为( )
A.70B.99
C.110D.165
8.某同学计划用他姓名的首字母T，X，身份证的后4位数字(4位数字都不同)以及3个符号α，β，θ设置一个六位的密码.若T，X必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母的相对顺序和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为( )
A.864B.1 009
C.1 225D.1 441
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.下列说法正确的是( )
A.已知A2n3＝100An2(n∈N*，n≥2)，则n＝13
B.已知C12x＋2＝C122x−5，则x＝5
C.4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种
D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法
10.有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，下列说法正确的是( )
A.若5位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种
B.若5位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C.若甲、乙、丙3位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种
D.若5位同学被分配到3个社区参加志愿活动，每个社区至少1位同学，则不同的分配方案有150种
11.定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为Hnm.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以Hnm＝Anmm.现有2个女生，4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则( )
A.共有H66种排法
B.若两名女生相邻，则有2H55种排法
C.若两名女生不相邻，共有4H44种排法
D.若男生甲位置固定，则有5H55种排法
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.某员工在开办公室四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码确实由“3”“6”“9”这三个数字组成，则该密码有 种可能.(用数字作答)
13.10人的身高各不相同，排成前后两排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有 种排法.
14.A，B，C，D，E，F同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D必须相邻，这样的排队方法有 种.
【尖子拔高训练】每小题5分，共10分
15.“四平方和定理”最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.“四平方和定理”的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，【典例】如正整数11＝32＋12＋12＋02.设36＝a2＋b2＋c2＋d2，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是( )
A.26B.28
C.29D.30
16.三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练(不能传给自己)，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有( )
A.6种B.10种
C.11种D.12种
考点
考情分析（2021-2024）
命题趋势
计数原理与排列组合
2024·北京、2024·全国甲卷
2024·天津、2024·新课标Ⅱ卷
2023·全国甲卷、2023·全国乙卷
2023·天津、2023·新课标Ⅰ卷
2023·新课标Ⅱ卷、2022·天津
2022·浙江、2022·新高考全国Ⅱ卷
2022·全国甲卷、2022·全国乙卷
2022·北京、2021·北京
理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义；理解排列、组合的概念；能利用计数原理、排列组合解决简单的实际问题。
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
作为一组
公式
(1)Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n−m)！(n，m∈N*，且m≤n).
(2)Cnm＝AnmAmm＝n！m！(n−m)！(n，m∈N*，且m≤n).
性质
(1)0！＝1；Ann＝n！.
(2)Cn0＝1；Cnm＝Cnn−m；Cn＋1m＝Cnm＋Cnm−1.