2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第十章10.4事件的相互独立性与条件概率、全概率公式(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第十章10.4事件的相互独立性与条件概率、全概率公式(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了相互独立事件，条件概率，全概率公式等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B ，A与B也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝n(AB)n(A)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
(3)条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).
③设B和B互为对立事件，则P(B|A)＝1－P(B|A).
3.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝n∑i=1P(Ai)P(B|Ai).
【名师点拨】
1.计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
2.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.( )
(2)全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率.( )
(3)P(A)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－))).( )
(4)P(A)＝P(BA)＋P(Beq \(A,\s\up6(－))).( )
2.若P(A|B)＝19，P(B)＝13，则P(AB)的值是( )
A.127B.13
C.19D.14
3.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为( )
A.15B.25
C.35D.920
4.甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球，则从乙箱中取出白球的概率是 .
【必练核心题型】
题型一 相互独立事件
命题点1 事件相互独立性的判断
【典例】1.(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立
命题点2 相互独立事件的概率
【典例】2.小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a，a，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为( )
A.12B.13
C.14D.16
【拓展训练】
概率问题中的递推数列
在概率与统计的问题中，经常会出现概率统计与数列综合考查的问题，一般以压轴题的形式出现.主要有四种类型：(1)an＝pan－1＋q型；(2)an＋1＝pan＋f(n)型；(3)an＋1＝anf(n)型；(4)an＋1＝pan＋qan－1型.
【典例】(多选)甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的.从一个人传球到另一个人称传球一次.若传球开始时甲持球，记传球n次后球仍回到甲手里的概率为Pn，则下列结论正确的是( )
A.P2＝12B.P4＝58
C.Pn＝12(1－Pn－1)D.Pn＝13－13−12n−1
【变式训练】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则( )
A.两人都中靶的概率为0.12
B.两人都不中靶的概率为0.42
C.恰有一人中靶的概率为0.46
D.至少有一人中靶的概率为0.74
题型二 条件概率
命题点1 条件概率
【典例】1.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加4×100米接力赛跑.记事件A为“甲同学不跑第一棒”，事件B为“乙同学跑第二棒”，则P(B|A)的值为( )
A.19B.49
C.13D.29
命题点2 条件概率性质的应用
【典例】2.(多选)下列结论中错误的是( )
A.P(B|A)＝P(A|B)
B.P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
C.P(AB)＝P(B|A)P(A)
D.P(B|A)P(A)≥P(A)＋P(B)
【变式训练】
变式1.为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛.某班级在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第一次抽到选择题”，事件B为“第二次抽到选择题”，则P(B|A)等于( )
A.35B.310
C.34D.12
变式2.(多选)一个箱子中装有大小、形状均相同的8个小球，其中白球5个、黑球3个，现在从箱子中不放回地取两次球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用A，B表示事件“第一次取出白球”“第一次取出黑球”；分别用C，D表示事件“第二次取出的两球都为黑球”“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是( )
A.P(C|B)＝121B.P(D|A)＝37
C.P(B)＝38D.P(BC)＝156
题型三 全概率公式的应用
【典例】1.某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是( )
【典例】2.设5支枪中有2支未校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为 .
【变式训练】(多选)湖南张家界是国家5A级景区，有许多好看的景点.李先生和张先生预选该景区的玻璃栈道和凤凰古城游玩，他们第一天去玻璃栈道和凤凰古城游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他们第一天去玻璃栈道，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.3；如果第一天去凤凰古城，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.6.设A1＝“第一天去玻璃栈道”，A2＝“第二天去玻璃栈道”，B1＝“第一天去凤凰古城”，B2＝“第二天去凤凰古城”，则( )
A.P(A2|A1)＝0.3B.P(A2|B1)＝0.3
C.P(A2)＝0.51D.P(B2)＝0.49
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为( )
A.712B.12
C.512D.13
2.某车队派出两辆车参加比赛，假设这两辆车在比赛中不出现故障的概率均为p，则比赛结束时两辆车不同时出现故障的概率为( )
A.p2B.2p－p2
C.1－p2D.p－2p2
3.以事件A，B分别表示“某城市的甲、乙两个区在一年内出现停水”，若P(B)＝0.30，P(A|B)＝0.15，则两个区一年内都出现过停水的概率为( )
A.0.6
4.某公司的两名同事计划从大理古城、丽江古城、洱海、玉龙雪山、泸沽湖这5个著名旅游景点中随机选择一个游玩.则在两人中至少有一人选择大理古城的条件下，两人选择的景点不同的概率为( )
A.58B.89
C.78D.67
5.已知P(A)＝14，P(B|A)＝13，P(B|A)＝12，则P(B)等于( )
A.512B.58
C.38D.14
6.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为( )
A.0.8B.0.6
C.0.5D.0.3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.随机事件A，B满足P(A)＝12，P(B)＝13，P(A|B)＝12，下列说法正确的是( )
A.事件A与事件B相互独立
B.P(A∪B)＝16
C.P(AB)＝16
D.P(B)＝P(AB)
8.一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品.先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以A1，A2和A3表示由甲盒取出的产品是一等品、二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以B表示由乙盒取出的产品是一等品的事件.则下列结论中正确的是( )
A.P(B|A1)＝611
B.P(B)＝2755
C.事件B与事件A1相互独立
D.P(A1|B)＝49
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.某公司研发6G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为 .
10.已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是 ；得0分的概率是 .
四、解答题(共27分)
11.(13分)甲、乙、丙3名同学各自独立去做某道题，已知甲能解出该题的概率为23，乙能解出而丙不能解出该题的概率为18，甲、丙都能解出该题的概率为12.
(1)求乙、丙各自解出该题的概率；(6分)
(2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.(7分)
12.(14分)人工智能是用于研究模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能地摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率).
(1)求首次试验结束的概率；(4分)
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率；(4分)
②将首次试验摸出的白球放回原来的袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来的袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.(6分)
【尖子拔高训练】13题5分，14题6分，共11分
13.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1 h，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1 h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为( )
A.12B.38
C.58D.34
14.(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0