2026年高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第02讲排列、组合(专项训练)(学生版+解析)

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17943" 01 常考题型过关练
题型01 排列数与组合数的计数
题型02 直接法
题型03 间接法
题型04捆绑法与插空法
题型05 分组与分配问题
题型06 定序问题
题型07 相同元素分配问题
\l "_Tc20184" 02 核心突破提升练
\l "_Tc5699" 03 真题溯源通关练
01 排列数与组合数的计数
1．（多选）下列结论正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．
2．若，则 .
3．已知，则 ．
4．求值、解方程或解不等式
(1)求值：
(2)求值：；
(3)解方程：
(4)解方程：已知（），求
(5)解关于的不等式
5．（1）计算：已知，则求的值．
（2）计算：；
（3）解方程：；
6．计算下列各式.
(1)；
(2).
7．（1）计算：；
（2）计算：.
（3）已知：，求n.
02 直接法
1．2025年高考结束后，某校高三年级一宿舍的6位舍友准备最后拍一张“全家福”.假设6位同学站成一排，舍长与副舍长必须站中间，其他两位1班同学彼此不相邻，两位2班同学彼此不相邻，则不同的站法共有（ ）
A．16种B．32种C．48种D．64种
2．为打造特色校园文化，某学校计划在艺术节期间举办“创意工坊”活动，提供陶艺、木工、剪纸、面塑、扎染5种手工体验项目．现从8名美术老师中任选5人分别负责一个项目，且要求负责陶艺和木工的老师是男老师，已知这8名老师中有5名男老师，3名女老师，则不同的人员安排方案有（ ）
A．1200种B．1800种C．2400种D．3600种
3．小华一家4人（小华，姐姐，爸爸，妈妈）计划去南京自驾游，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．只有爸爸和妈妈会开车，且小华未成年只能坐在后排，则不同的乘坐方式一共有（ ）
A．18种B．27种C．36种D．54种
4．某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有 种．
5．身高不相等的5人站成一排照相，要求最高的人排在中间，按身高向两侧递减，则共有 种不同的排法.
6．一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生．
(1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？
(2)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有多少种选法？
(3)如果从中选出男生2人，女生2人，参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？
03 间接法
1．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ）
A．70B．66C．62D．58
2．如图所示的九宫格中共有个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（ ）种.
A．528B．524C．520D．516
3．有甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．8种C．6种D．4种
4．甲、乙、丙、丁、戊、己站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能站在两端，则不同站法的种数为（ ）
A．128B．144C．160D．210
5．北京的小王和深圳的小李是好朋友，两人恰好都计划于2025年国庆节的7天假期中，到上海连续游玩三日，他们约定至少有一天同时出现在上海，则他们不同的出游安排方案共有（ ）
A．12种B．13种C．19种D．21种
6．将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．48种
7．2025年3月1日起，《新能源汽车运行安全性能检验规程》正式实施，新能源汽车的动力蓄电池安全充电检测和电气安全检测成为必检项目．现将九款新能源汽车分别编号为1，2，3，…，9，从中随机抽取四款汽车进行检测，则使得抽出的汽车号码存在连续编号的取法种数为 ．
04 捆绑法与插空法
1．小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，a，b中组成无重复的五位字符的密码，要求a与b相邻，则可以设置不同的密码的个数为（ ）
A．12B．24C．36D．48
2．甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ）
A．24 种B．16 种C．12 种D．4 种
3．甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（ ）
A．48种B．72种C．96种D．144种
4．现有名男同学和名女同学站成一排合影，则名女同学不相邻的站法种数是（ ）
A．B．C．D．
5．来自3个班的6名同学一起参与登山活动，其中一班有3人，二班有2人，三班1人，到达山顶之后6人排成一排合影留念，则同班同学不相邻的站法总共有（ ）
A．150种B．120种C．84种D．72种
6．某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有 种不同的出场顺序.
05 分组与分配问题
1．现安排6名大学生到4所学校去实习，要求每名大学生去且只能去一所学校实习，每所学校都有大学生去实习，则不同的安排方法共有（ ）．
A．480种B．1080种C．1560种D．2640种
2．包含甲在内的5名在校大学生计划参加学校运动会的志愿者服务，有跳高、跳远、铅球、篮球四个项目可以选择，每个学生只能选择一个项目，每个项目至少招募这5名志愿者中的一名.若甲不能参加跳高，跳远这两个项目的服务，则不同的招募方式共有（ ）
A．180种B．150种C．120种D．90种
3．某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区，每个社区至少去一人，则不同的安排方法有（ ）种．
A．90B．60C．150D．140
4．已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有 种．
5．将个不同的球分给个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），则不同的分配方法的种数为 ．
6．来自国外的博主A，B，C三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5个著名景点.他们约定每人至少选择1个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中A在北京故宫、西安兵马俑中至少选择1个，则不同的打卡方案种数为 .
7．甲、乙、丙等8名同学将作为志愿者参加三个养老院的志愿服务工作，每个养老院至少安排2名志愿者，每名志愿者只能去一个养老院，且甲、乙、丙三人必须在同一养老院进行志愿服务，则有 种不同的分配方案.
8．（1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答）
（2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答）
（3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答）
06 定序问题
1．某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（ ）
A．12种B．16种C．24种D．28种
2．自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（ ）个
A．B．C．D．
3．系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（ ）
A．B．C．D．
4．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：，，现将、、、、的函数值排成一列，则组成的不同五位数的个数为（ ）
A．B．C．D．
5．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A．128B．64C．48D．24
6．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（ ）
A．B．C．D．
07 相同元素分配问题
1．某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（ ）
A．12种B．16种C．24种D．28种
2．自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（ ）个
A．B．C．D．
3．系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（ ）
A．B．C．D．
4．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：，，现将、、、、的函数值排成一列，则组成的不同五位数的个数为（ ）
A．B．C．D．
5．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A．128B．64C．48D．24
6．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（ ）
A．B．C．D．
1．（2025·安徽六安·模拟预测）中国空间站主体由天和核心舱、问天实验室、梦天实验舱构成．某次实验需要位宇航员同时在三个舱中开展，每个人只能去一个舱，每个舱至少安排名宇航员，其中甲宇航员只能去问天实验室和梦天实验舱中的一个，则不同的安排方法有（ ）
A．72B．88C．100D．144
2．（2025·海南·模拟预测）某电影院一排有7个座位，中间有条过道，过道左侧有4个座位，右侧有3个座位，现有包含小明，小刚，小强在内的7位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小强想坐在右侧，则共有（ ）种不同的排法．
A．216B．264C．312D．528
3．（2025·甘肃白银·三模）花江大峡谷被誉为“地球的裂缝”，是贵州喀斯特地貌类型最为齐全的天然亚热带岩溶景观博物馆，自2022年1月花江峡谷大桥正式开工建设以来，贵州桥梁集团等承建单位的建设者们不畏严寒酷暑，奋战在花江大峡谷600多米的云山雾海里，为大桥早日建成攻坚克难、不懈努力．某日，从张师傅、李师傅、王师傅等8名花江峡谷大桥建设工人中选取4人轮休，要求张师傅和李师傅不能同时轮休、且张师傅和王师傅必须同时轮休或在岗，若轮休的4人需要在四个不同时间返回待岗室进行设备检查，且每人只需返回一次，则不同的轮休方案有（ ）
A．360种B．480种C．600种D．720种
4．（2025·湖南永州·模拟预测）用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有 种.
5．（2025·四川眉山·模拟预测）将7个不同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求：
①每个盒子至少放1个球；
②编号为1的盒子中小球数量为偶数；
③若编号为2的盒子放奇数个球，则其中必须有一个小球编号（编号为1至7）是其放入小球总数的倍数（例如放入3个球时，其中至少有一个球编号是3的倍数）.
满足条件的放法共有 种.
1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
2．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．