2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第一章1.4基本不等式(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第一章1.4基本不等式(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了4　基本不等式，两个重要的不等式，利用基本不等式求最值等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
【名师点拨】
1.ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2).要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.
2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是相同的.( )
(2)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.( )
(3)函数y＝sin x＋eq \f(4,sin x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最小值是4.( )
(4)“x＞0且y＞0”是“eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2”的充要条件.( )
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)×
【解析】(1)不等式ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)成立的条件是a，b∈R，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是a≥0，b≥0.
(2)由于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
故函数y＝x＋eq \f(1,x)无最小值.
(3)由于sin x＝eq \f(4,sin x)时sin x＝2无解，
故sin x＋eq \f(4,sin x)的最小值不为4.
(4)“eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2”的充要条件是“xy＞0”.
2.若函数f(x)＝x＋1x−2(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A.1＋2B.1＋3
C.3D.4
【答案】C
【解析】当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋1x−2＋2≥2(x−2)·1x−2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x−2(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3.
3.(多选)下列命题正确的是( )
A.若x0，则x－1x≤－2
C.若x∈R且x≠0，则x＋1x≥2
D.x2＋1x2＋1≥1
【答案】ACD
【解析】当x0，
则x＋1x＝－−x＋1−x≤－2−x·1−x＝－2，
当且仅当－x＝1−x，即x＝－1时等号成立，A选项正确；
当x>0时，y＝x－1x单调递增，其值域为R，B选项错误；
若x∈R且x≠0，则x＋1x＝|x|＋1x≥2|x|·1x＝2，
当且仅当|x|＝1x，即x＝－1或x＝1时等号成立，C选项正确；
x2＋1x2＋1＝x2＋1＋1x2＋1－1≥2(x2＋1)·1x2＋1－1＝1，
当且仅当x2＋1＝1x2＋1，即x＝0时等号成立，D选项正确.
4.已知x，y∈(0，＋∞)，若2x＋3y＝1，则1x＋1y的最小值为 .
【答案】5＋26
【解析】1x＋1y＝1x＋1y(2x＋3y)＝5＋3yx＋2xy≥5＋26，当且仅当3yx＝2xy，即x＝6−22，y＝3−63时等号成立.
【解题技巧】
1.灵活应用两个基本不等式的变形公式
(1)ab＋ba≥2(a，b同号，当且仅当a＝b时，等号成立)；
(2)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0，当且仅当a＝b时，等号成立).
2.谨防两个易误点
(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误.
(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.
【必练核心题型】
题型一 基本不等式的理解及常见变形
例1.(多选)下列说法不正确的是( )
A.x＋4x的最小值是4
B.不等式ab≤a＋b22与ab≤a＋b2成立的条件是相同的
C.x2＋2＋1x2＋2的最小值为2
D.存在a，使得a＋1a0时，x＋4x≥2x·4x＝4(当且仅当x＝2时取等号)，
当x0，b>0，故B错误；
对于C，y＝x2＋2＋1x2＋2≥2，等号成立的条件是x2＋2＝1x2＋2，即x2＋2＝1，显然不能取到，故C错误；
对于D，存在a＝－1，使得a＋1aabB.b>ab>a＋b2>a
C.b>a＋b2>ab>aD.b>a>a＋b2>ab
【答案】C
【解析】∵0a＋b2>ab.
∵b>a>0，∴ab>a2，∴ab>a.
故b>a＋b2>ab>a.
【解题技巧】
基本不等式的常见变形
(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22.
(2)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0).
【变式训练】
变式1.已知p：a>b>0，q：a2＋b22>a＋b22，则p是q成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，
∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，
∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，
∴a2＋b22>a＋b22，∴由p可推出q；
当a0时，a＋b2>0，则a＋b22－a2＋b222＝a2＋b2＋2ab−2a2−2b24＝−(a−b)24≤0恒成立，即a＋b2≤a2＋b22恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；
C选项，当a＋b>0时，2ab－(a＋b)22＝−(a−b)22≤0，即2ab≤(a＋b)22，2aba＋b≤a＋b2恒成立，当a＋b0，b>0，且1a＋1＋2b＋1＝1，则a＋b的最小值为 .
【答案】22＋1
【解析】由a>0，b>0，1a＋1＋2b＋1＝1，
得a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2
＝1a＋1＋2b＋1[(a＋1)＋(b＋1)]－2
＝b＋1a＋1＋2(a＋1)b＋1＋1≥2b＋1a＋1·2(a＋1)b＋1＋1
＝22＋1，
当且仅当b＋1a＋1＝2(a＋1)b＋1，即a＝2，b＝2＋1时取等号，所以a＋b的最小值为22＋1.
【拓展训练】与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型
如图，对于函数f(x)＝x＋kx，k>0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，＋∞).
(1)当k∈[a，b]时，f(x)＝x＋kx≥2k，f(x)min＝f(k)＝k＋kk＝2k；
(2)当kb时，f(x)＝x＋kx在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋kb.
因此，只有当k∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当k∉[a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值.
典例.函数f(x)＝x2＋3x2＋2的最小值是 .
【答案】32
【解析】由f(x)＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋3x2＋2－2，
令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋3t－2，
由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f(t)min＝32，
即当x＝0时，f(x)min＝32.
命题点3 常数代换法
典例.(多选)已知a，b为正实数，且a>1，b>1，(a－1)(b－1)＝1，则下列结论正确的是( )
A.1a＋1b＝1
B.ab的最大值为4
C.2a＋b的最小值为3＋22
D.1a−1＋1b−1的最小值为2
【答案】ACD
【解析】因为a>1，b>1，所以a－1>0，b－1>0.
对于A，因为(a－1)(b－1)＝1，所以ab＝a＋b，得1a＋1b＝1，A正确；
对于B，由ab＝a＋b，得ab＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以ab≥2，ab≥4，
所以ab的最小值为4，B错误；
对于C，2a＋b＝(2a＋b)1a＋1b＝3＋2ab＋ba≥3＋22当且仅当a＝1＋22，b＝1＋2时取等号，C正确；
对于D，因为(a－1)(b－1)＝1，所以1a−1＋1b−1≥21(a−1)(b−1)＝2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，D正确.
命题点4 消元法
典例.已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是( )
A.23B.223C.22D.32
【答案】B
【解析】因为实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，
所以x＝1−y23y，
则2x＋y＝2−2y23y＋y＝23y＋y3≥223y·y3＝223，
当且仅当23y＝y3，即y＝2时，等号成立，
所以2x＋y的最小值是223.
命题点5 构造不等式法
典例.(多选)已知正数a，b满足a2＋b2＝1＋ab，则下列结论正确的是( )
A.a2＋b2的最小值为2
B.a＋b的最大值为2
C.1a2＋1b2的最小值为2
D.lg a＋lg b0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是( )
A.a＋b≤8B.ab≥16
C.a＋3b≥4＋63D.1a−1＋4b−1≥43
【答案】BCD
【解析】对于选项A，由a＋b＋8＝ab≤a＋b22，当且仅当a＝b时等号成立，不妨设a＋b＝t，
则t2－4t－32≥0，
解得t≥8或t≤－4，
因为a>0，b>0，则a＋b≥8，故A项错误；
对于选项B，由ab－8＝a＋b≥2ab，
当且仅当a＝b时等号成立，
不妨设ab＝s，则s2－2s－8≥0，
解得s≥4或s≤－2，
因为s>0，则s≥4，
即ab≥16，故B项正确；
对于选项C，由ab＝a＋b＋8可得a(b－1)＝b＋8，则b－1>0，且a＝b＋8b−1，
则a＋3b＝b＋8b−1＋3b＝1＋9b−1＋3b＝4＋9b−1＋3(b－1)≥4＋227＝4＋63，
当且仅当9b−1＝3(b－1)，即b＝3＋1，a＝33＋1时取等号，a＋3b有最小值4＋63，故C项正确；
对于选项D，由ab＝a＋b＋8可得ab－a－b＋1＝9，即(a－1)(b－1)＝9，且a－1>0，b－1>0，
则1a−1＋4b−1≥21a−1·4b−1＝43，当且仅当1a−1＝4b−1时等号成立，
由1a−1＝4b−1,ab＝a＋b＋8解得a＝52,b＝7,
即当且仅当a＝52，b＝7时，1a−1＋4b−1有最小值43，故D项正确.
题型三 与基本不等式有关的恒(能)成立问题
例1.(1)若不等式1a＋2b≥ma＋2b恒成立，则实数m的最大值为( )
A.2B.3C.4D.9
【答案】D
【解析】由题意a＋2ba＋2a＋4bb≥m恒成立，即5＋2ba＋2ab≥m恒成立.
又5＋2ba＋2ab≥5＋22ba·2ab＝9，当且仅当a＝b时取等号.
故实数m的最大值为9.
例2.若两个正实数x，y满足1x＋4y＝1，且不等式x＋y40，
所以x＋ax＋1＝x＋1＋ax＋1－1≥2(x＋1)·ax＋1－1＝2a－1，
当且仅当x＋1＝ax＋1，即x＝a－1时取等号，
所以x＋ax＋1有最小值2a－1，
因为不等式x＋ax＋1≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以2a－1≥3，
解得a≥4，所以a的最小值为4.
变式2.已知正数x，y满足(x－1)(y－2)＝2，不等式3x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，4＋62)B.(6＋42，＋∞)
C.(－∞，7＋43)D.(8＋43，＋∞)
【答案】C
【解析】因为(x－1)(y－2)＝2，x>0，y>0，
所以xy＝2x＋y，即1x＋2y＝1，
所以由基本不等式可得
3x＋2y＝(3x＋2y)1x＋2y＝7＋2yx＋6xy≥7＋22yx·6xy＝7＋43，
当且仅当2yx＝6xy,x>0,y>0,(x−1)(y−2)＝2,
即x＝1＋233,y＝2＋3时等号成立，
综上所述，3x＋2y的最小值为7＋43.
因为不等式3x＋2y>m恒成立，
所以实数m的取值范围是(－∞，7＋43).
题型四 基本不等式的实际应用
例1.随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km的B地，出发前汽车电池存量为75 kW·h，汽车到达B地后至少要保留5 kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计).
(1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；
(2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15 kW(充电量＝充电功率×时间)，求到达B地的最少用时(行驶时间与充电时间总和).
解析
(1)设匀速行驶速度为v km/h，耗电量为f(v)，则f(v)＝P(v)·500v＝v＋2 500v－20(60≤v≤120)，
易知函数f(v)在区间[60，120]上单调递增，
所以f(v)min＝f(60)＝2453>75－5，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，
所以该车不能在不充电的情况下到达B地.
(2)设匀速行驶速度为v km/h，总时间为t h，行驶时间与充电时间分别为t1 h，t2 h.
若能到达B地，则初始电量＋充电电量－消耗电量≥保障电量，
即75＋15t2－f(v)≥5，
解得t2≥v15＋5003v－6.
所以t＝t1＋t2≥500v＋v15＋5003v－6＝v15＋2 0003v－6≥2v15·2 0003v－6＝223.
当且仅当v15＝2 0003v，即v＝100时取等号，
所以该汽车到达B地的最少用时为223 h.
思维升华 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
【变式训练】某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(00，b>0，若ln 3是ln 3a与ln 9b的等差中项，则2a＋1b的最小值为( )
A.6B.8C.9D.12
【答案】B
【解析】∵ln 3是ln 3a与ln 9b的等差中项，
∴2ln 3＝ln 3a＋ln 9b，
即ln 3＝ln(3a·9b)＝ln 3a＋2b＝(a＋2b)ln 3，
∴a＋2b＝1，又a>0，b>0，
∴2a＋1b＝2a＋1b(a＋2b)＝4＋ab＋4ba≥4＋2ab·4ba＝8，
当且仅当ab＝4ba，即a＝12，b＝14时等号成立.
例2.(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离的最大值为( )
A.25B.225C.425D.2
【答案】D
【解析】方法一 设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得
d＝|−λ＋1|λ2＋1＝λ2−2λ＋1λ2＋1＝1−2λλ2＋1，
显然当λ0，
所以cs B＝3(a2＋c2)−2ac8ac≥4ac8ac＝12.
又y＝cs x在区间(0，π)上单调递减，
所以00，y>0，12x＋y＋3x＋y＝2，则6x＋5y的最小值为 .
【答案】132＋23
【解析】12x＋y＋3x＋y＝12x＋y＋124(x＋y)＝122x＋y＋(23)24(x＋y)≥(1＋23)26x＋5y＝13＋436x＋5y，即2≥13＋436x＋5y，
因为x>0，y>0，则6x＋5y≥132＋23，
当且仅当12x＋y＝234(x＋y)，
即x＝33−44，y＝5−32时取等号.
典例2.已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则x2y＋2z＋y2z＋2x＋z2x＋2y的最小值为 .
【答案】13
【解析】x2y＋2z＋y2z＋2x＋z2x＋2y≥(x＋y＋z)2y＋2z＋z＋2x＋x＋2y＝13，
当且仅当xy＋2z＝yz＋2x＝zx＋2y，
即x＝y＝z＝13时取等号.
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
基本不等式
2024·北京卷，
2021·全国乙卷，
2021·全国新Ⅰ卷
理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”，能正确处理常数“1”求最值，能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值，能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值。