新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第1章1.4基本不等式（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第1章1.4基本不等式（含答案解析），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是( )
A．9 B．18 C．9eq \r(3) D．27
2．已知a>0，b>0，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，则4a＋9b的最小值是( )
A．23 B．26 C．22 D．25
3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．“∀x∈(1,4]，不等式x2－mx＋m>0恒成立”的充分不必要条件是( )
A．m>4 B．my>0且4x＋3y＝1，则eq \f(1,2x－y)＋eq \f(2,x＋2y)的最小值为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
二、多项选择题
7．已知x，y是正数，且x＋y＝2，则( )
A．x(x＋2y)的最大值为4
B．lg2x＋lg2y的最大值为0
C．2x＋2y的最小值为4
D.eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的最小值为eq \f(3,2)＋eq \r(2)
8．(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
三、填空题
9．若x1，b>2，a＋b＝5，则eq \f(1,a－1)＋eq \f(4,b－2)的最小值为________．
12．已知正数a，b满足(a＋5b)(2a＋b)＝36，则a＋2b的最小值为________．
四、解答题
13．已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：
(1)xy的最大值；
(2)2x＋y的最小值．
14．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为eq \f(900a1＋x,x)元(a>5)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求实数a的取值范围．
15．已知x，y为正实数，则eq \f(y,x)＋eq \f(16x,2x＋y)的最小值为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
16．设a＞b＞0，则a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,aa－b)的最小值是________．
§1.4 基本不等式
1．B 2.D 3.D 4.D 5.C 6.B
7．BCD
8．BC [因为ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)，
由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x＋y)2－1＝3xy≤3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2，
解得－2≤x＋y≤2，
当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，
当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；
由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x2＋y2)－1＝xy≤eq \f(x2＋y2,2)，
解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确；
因为x2＋y2－xy＝1可变形为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(y,2)))2＋eq \f(3,4)y2＝1，
设x－eq \f(y,2)＝cs θ，eq \f(\r(3),2)y＝sin θ，
所以x＝cs θ＋eq \f(\r(3),3)sin θ，y＝eq \f(2\r(3),3)sin θ，
因此x2＋y2＝cs2θ＋eq \f(5,3)sin2θ＋
eq \f(2\r(3),3)sin θcs θ
＝1＋eq \f(\r(3),3)sin 2θ－eq \f(1,3)cs 2θ＋eq \f(1,3)
＝eq \f(4,3)＋eq \f(2,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，2))，
所以D错误．]
9．－4 10.eq \f(3,7)
11.eq \f(9,2)
解析 因为a>1，b>2，
所以a－1>0，b－2>0，
又a＋b＝5，
所以(a－1)＋(b－2)＝2，
即eq \f(1,2)[(a－1)＋(b－2)]＝1，
所以eq \f(1,a－1)＋eq \f(4,b－2)＝eq \f(1,2)[(a－1)＋(b－2)]·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－1)＋\f(4,b－2)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋\f(b－2,a－1)＋\f(4a－1,b－2)＋4))
≥eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(b－2,a－1)·\f(4a－1,b－2))))
＝eq \f(1,2)×(5＋4)＝eq \f(9,2)，
当且仅当eq \f(b－2,a－1)＝eq \f(4a－1,b－2)，
即a＝eq \f(5,3)，b＝eq \f(10,3)时取等号，
所以eq \f(1,a－1)＋eq \f(4,b－2)的最小值为eq \f(9,2).
12．4
解析 因为a>0，b>0，
所以36＝(a＋5b)(2a＋b)
≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a＋5b＋2a＋b,2)))2
＝eq \f(9,4)(a＋2b)2，所以a＋2b≥4，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋5b＝2a＋b，,a＋5b2a＋b＝36，))
即a＝eq \f(8,3)，b＝eq \f(2,3)时，等号成立，
所以a＋2b的最小值为4.
13．解 (1)因为x>0，y>0，
根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2eq \r(2xy)＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)，
令eq \r(xy)＝t(t>0)，
则t2＋2eq \r(2)t－30≤0，
解得－5eq \r(2)≤t≤3eq \r(2)，又t>0，
所以0